Решить слу тремя способами

Метод Гаусса онлайн

Данный онлайн калькулятор находит решение системы линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса. Дается подробное решение. Для вычисления выбирайте количество переменных и количество уравнений. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Метод Гаусса

Метод Гаусса − это метод перехода от исходной системы линейных уравнений (при помощи эквивалентных преобразований) к системе, которая решается проще, чем исходная система.

Эквивалентными преобразованиями системы линейных уравнений являются:

• перемена местами двух уравнений в системе,
• умножение какого-либо уравнения в системе на ненулевое действительное число,
• прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

(1)

Запишем систему (1) в матричном виде:

(3)

A-называется матрица коэффициентов системы, b − правая часть ограничений, x− вектор переменных, которую нужно найти. Пусть rang(A)=p.

Эквивалентные преобразования не меняют ранг матрицы коэффициентов и ранг расширеннной матрицы системы. Не меняется также множество решений системы при эквивалентных преобразованиях. Суть метода Гаусса заключается в приведении матрцы коэффициентов A к диагональному или ступенчатому.

Построим расшренную матрицу системы:

(4)

Предположим a₁₁≠0. Если это не так, то можно поменять местами эту строку со строкой с ненулевым элементом в столбце 1 (если нет таких строк, то переходим к следующему столбцу). Обнуляем все элементы столбца 1 ниже ведущего элемента a₁₁. Для этого сложим строки 2,3, . m со строкой 1, умноженной на −a₂₁/a₁₁, −a₃₁/a₁₁, . −a_m1/a₁₁, соответственно. Тогда (4) примет следующий вид:

(5)

На следующем этапе обнуляем все элементы столбца 2, ниже элемента . Если данный элемент нулевой, то эту строку меняем местами со строкой, лежащий ниже данной строки и имеющий ненулевой элемент во втором столбце. Далее обнуляем все элементы столбца 2 ниже ведущего элемента a₂₂. Для этого сложим строки 3, . m со строкой 2, умноженной на −a₃₂/a₂₂, . −a_m2/a₂₂, соответственно. Продолжая процедуру, получим матрицу диагонального или ступенчатого вида. Пусть полученная расширенная матрица имеет вид:

(6)

Обратим внимание на последние строки. Если . равны нулю, то система линейных уравнений имеет решение, если же хотя бы один из этих чисел отлично от нуля, то система несовместна. Иными словами, система (2) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A навен рангу расширенной матрицы (A|b).

Пусть . Тогда

(7)

Так как rangA=rang(A|b), то множество решений (7) есть (n−p)− многообразие. Следовательно n−p неизвестных можно выбрать произвольно. Остальные неизвестные из системы (7) вычисляются так. Из последнего уравнения выражаем x_p через остальные переменные и вставляем в предыдущие выражения. Далее из предпоследнего уравнения выражаем x_p−1 через остальные переменные и вставляем в предыдущие выражения и т.д. Рассмотрим метод Гаусса на конкретных примерах.

Примеры решения системы линейных уравнений методом Гаусса

Пример 1. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:

Матричный вид записи: Ax=b, где

Для решения системы, запишем расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a_{1 1}. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -2/3,-1/2 соответственно:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a2 2. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 9/8:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Из вышеизложенной таблицы можно записать:

Подставив верхние выражения в нижние, получим решение.

,,.

Пример 2. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:

Матричный вид записи: Ax=b, где

Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a₁₁. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/5,-6/5 соответственно:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a₂₂. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -1:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Выразим переменные x₁, x₂ относительно остальных переменных.

где x₃, x₄− произвольные действительные числа.

Подставив верхние выражения в нижние, получим решение.

где x₃, x₄− произвольные действительные числа.

Векторный вариант решения:

Запишем вышеизложенное решение, представив свободные переменные в виде тождеств:

Тогда векторное решение можно представить так:

где x₃, x₄− произвольные действительные числа.

Источник

Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Используя этот онлайн калькулятор для решения систем линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса, вы сможете очень просто и быстро найти решение системы.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для решения систем линейных уравнений методом Гаусса, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на решения систем линейных уравнений, а также закрепить пройденный материал.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Изменить названия переменных в системе

Заполните систему линейных уравнений:

Ввод данных в калькулятор для решения систем линейных уравнений методом Гаусса

• В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
• Для изменения в уравнении знаков с «+» на «-» вводите отрицательные числа.
• Если в уравнение отсутствует какая-то переменная, то в соответствующем поле ввода калькулятора введите ноль.
• Если в уравнение перед переменной отсутствуют числа, то в соответствующем поле ввода калькулятора введите единицу.

Например, линейное уравнение x ₁ — 7 x ₂ — x ₄ = 2

будет вводится в калькулятор следующим образом:

Дополнительные возможности калькулятора для решения систем линейных уравнений методом Гаусса

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево», «вправо», «вверх» и «вниз» на клавиатуре.
• Вместо x ₁, x ₂, . вы можете ввести свои названия переменных.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Источник

Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Матричный метод. Метод обратной матрицы.

Используя этот онлайн калькулятор для решения систем линейных уравнений (СЛУ) матричным методом (методом обратной матрицы), вы сможете очень просто и быстро найти решение системы.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для решения систем линейных уравнений матричным методом (методом обратной матрицы), вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на решения систем линейных уравнений, а также закрепить пройденный материал.

Решить систему линейных уравнений матричным методом

Изменить названия переменных в системе

Заполните систему линейных уравнений:

Ввод данных в калькулятор для решения систем линейных уравнений матричным методом

• В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
• Для изменения в уравнении знаков с «+» на «-» вводите отрицательные числа.
• Если в уравнение отсутствует какая-то переменная, то в соответствующем поле ввода калькулятора введите ноль.
• Если в уравнение перед переменной отсутствуют числа, то в соответствующем поле ввода калькулятора введите единицу.

Например, линейное уравнение x ₁ — 7 x ₂ — x ₄ = 2

будет вводится в калькулятор следующим образом:

Дополнительные возможности калькулятора для решения систем линейных уравнений матричным методом

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево», «вправо», «вверх» и «вниз» на клавиатуре.
• Вместо x ₁, x ₂, . вы можете ввести свои названия переменных.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Источник

Примеры решения СЛАУ

Методы решения систем линейных уравнений широко используются в задачах математики, экономики, физики, химии и других науках. На практике, они позволяют не делать лишних действий, а записать систему уравнений в более компактной форме и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять основные методы решения и научиться выбирать оптимальный.

Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по СЛАУ, прочитать все теоремы и методы решения. Список тем находится в правом меню.

Примеры по темам:

СЛАУ: основные понятия, виды

Задание. Проверить, является ли набор $<0,3>$ решением системы $\left\<\begin 3 x-2 y=-6 \\ 5 x+y=3 \end\right.$

Решение. Подставляем в каждое из уравнений системы $x=0$ и $y=3$ :

$$3 x-2 y=-6 \Rightarrow 3 \cdot 0-2 \cdot 3=-6 \Rightarrow-6=-6$$ $$5 x+y=3 \Rightarrow 5 \cdot 0+3=3 \Rightarrow 3=3$$

Так как в результате подстановки получили верные равенства, то делаем вывод, что заданный набор является решением указанной СЛАУ.

Ответ. Набор $<0,3>$ является решением системы $\left\<\begin 3 x-2 y=-6 \\ 5 x+y=3 \end\right.$

Примеры решения СЛАУ не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Задание. Систему $\left\<\begin x-y+z-4 t=0 \\ 5 x+y+t=-11 \end\right.$ записать в матричной форме и выписать все матрицы, которые ей соответствуют.

Решение. Заданную СЛАУ записываем в матричной форме $A \cdot X=B$ , где матрица системы:

$$A=\left(\begin 1 & -1 & 1 & -4 \\ 5 & 1 & 0 & 1 \end\right)$$

$$A=\left(\begin 1 & -1 & 1 & -4 \\ 5 & 1 & 0 & 1 \end\right)$$

вектор-столбец свободных коэффициентов:

то есть, запись СЛАУ в матричной форме:

$$\left(\begin 1 & -1 & 1 & -4 \\ 5 & 1 & 0 & 1 \end\right)\left(\begin x \\ y \\ z \\ t \end\right)=\left(\begin 0 \\ -11 \end\right)$$

Задание. Записать матрицу и расширенную матрицу системы $\left\<\begin 2 x_<1>+x_<2>-x_<3>=4 \\ x_<1>-x_<2>=5 \end\right.$

Решение. Матрица системы $A=\left(\begin 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end\right)$ , тогда расширенная матрица $\tilde=(A \mid B)=\left(\begin 2 & 1 & -1 & 4 \\ 1 & -1 & 0 & 5 \end\right)$

Критерий совместности системы

Задание. При каких значениях $\lambda$ система $\left\<\begin 2 x_<1>-x_<2>+x_<3>+x_<4>=1 \\ x_<1>+2 x_<2>-x_<3>+x_<4>=2 \\ x_<1>+7 x_<2>-4 x_<3>+2 x_<4>=\lambda \end\right.$ будет совместной?

Решение. Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк после приведения этой матрицы к ступенчатому виду. Поэтому записываем расширенную матрицу системы $\tilde$ (слева от вертикальной черты находится матрица системы $A$ ):

и с помощью элементарных преобразований приводим ее к ступенчатому виду. Для этого вначале от второй строки отнимаем две вторых строки, а от третьей вторую, в результате получаем:

Третью строку складываем с первой:

и меняем первую и вторую строки матрицы местами

Квадратные СЛАУ. Матричный метод решения

Теоретический материал по теме — матричный метод решения.

Задание. Найти решение СЛАУ $\left\<\begin5 x_<1>+2 x_<2>=7 \\ 2 x_<1>+x_<2>=9\end\right.$ матричным методом.

Решение. Выпишем матрицу системы $\left\<\begin 5 x_<1>+2 x_<2>=7 \\ 2 x_<1>+x_<2>=9 \end\right.$ и матрицу правых частей $B=\left(\begin 7 \\ 9 \end\right)$ . Найдем обратную матрицу для матрицы системы. Для матрицы второго порядка обратную можно находить по следующему алгоритму: 1) матрица должна быть невырождена, то есть ее определитель не должен равняться нулю: $|A|=1$ ; 2) элементы, стоящие на главной диагонали меняем местами, а у элементов побочной диагонали меняем знак на противоположный и делим полученные элементы на определитель матрицы. Итак, получаем, что

$$X=\left(\begin x_ <1>\\ x_ <2>\end\right)=A^ <-1>B=\left(\begin 1 & -2 \\ -2 & 5 \end\right) \cdot\left(\begin 7 \\ 9 \end\right)=$$ $$=\left(\begin -11 \\ 31 \end\right) \Rightarrow\left(\begin x_ <1>\\ x_ <2>\end\right)=\left(\begin -11 \\ 31 \end\right)$$

Две матрицы одного размера равны, если равны их соответствующие элементы, то есть в итоге имеем, что $x_<1>=-11$, $x_<2>=31$

Ответ. $x_<1>=-11$, $x_<2>=31$

Задание. Решить с помощью обратной матрицы систему $\left\<\begin 2 x_<1>+x_<2>+x_<3>=2 \\ x_<1>-x_<2>=-2 \\ 3 x_<1>-x_<2>+2 x_<3>=2 \end\right.$

Решение. Запишем данную систему в матричной форме:

где $A=\left(\begin 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end\right)$ — матрица системы, $X=\left(\begin x_ <1>\\ x_ <2>\\ x_ <3>\end\right)$ — столбец неизвестных, $B=\left(\begin 2 \\ -2 \\ 2 \end\right)$ — столбец правых частей. Тогда

Найдем обратную матрицу $A^-1$ к матрице $A$ с помощью союзной матрицы:

Определитель матрицы $A$

$$\Delta=\left|\begin 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end\right|=2 \cdot(-1) \cdot 2+1 \cdot(-1) \cdot 1+1 \cdot 0 \cdot 3-$$ $$-3 \cdot(-1) \cdot 1-(-1) \cdot 0 \cdot 2-1 \cdot 1 \cdot 2=-4 \neq 0$$

Отсюда искомая матрица

Метод / Теорема Крамера

Теоретический материал по теме — метод Крамера.

Задание. Найти решение СЛАУ $\left\<\begin 5 x_<1>+2 x_<2>=7 \\ 2 x_<1>+x_<2>=9 \end\right.$ при помощи метода Крамера.

Решение. Вычисляем определитель матрицы системы:

$$\Delta=\left|\begin 5 & 2 \\ 2 & 1 \end\right|=5 \cdot 1-2 \cdot 2=1 \neq 0$$

Так как $\Delta \neq 0$ , то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. вычислим вспомогательные определители. Определитель $\Delta_<1>$ получим из определителя $\Delta$ заменой его первого столбца столбцом свободных коэффициентов. Будем иметь:

$$\Delta_<1>=\left|\begin 7 & 2 \\ 9 & 1 \end\right|=7-18=-11$$

Аналогично, определитель $\Delta_<2>$ получается из определителя матрицы системы $\Delta$ заменой второго столбца столбцом свободных коэффициентов:

$$\Delta_<2>=\left|\begin 5 & 7 \\ 2 & 9 \end\right|=45-14=31$$

Тогда получаем, что

Ответ. $x_<-1>=-11$, $x_ <2>= 31$

Задание. При помощи формул Крамера найти решение системы $\left\<\begin 2 x_<1>+x_<2>+x_<3>=2 \\ x_<1>-x_<2>=-2 \\ 3 x_<1>-x_<2>+2 x_<3>=2 \end\right.$

Решение. Вычисляем определитель матрицы системы:

$$\Delta=\left|\begin 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end\right|=2 \cdot(-1) \cdot 2+1 \cdot(-1) \cdot 1+1 \cdot 0 \cdot 3-$$ $$-3 \cdot(-1) \cdot 1-(-1) \cdot 0 \cdot 2-1 \cdot 1 \cdot 2=-4 \neq 0$$

Так как определитель матрицы системы неравен нулю, то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим следующие определители:

$$\Delta_<1>=\left|\begin 2 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & 2 \end\right|=2 \cdot(-1) \cdot 2+(-2) \cdot(-1) \cdot 1+$$ $$+1 \cdot 0 \cdot 2-2 \cdot(-1) \cdot 1-(-1) \cdot 0 \cdot 2-(-2) \cdot 1 \cdot 2=4$$ $$\Delta_<2>=\left|\begin 2 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 3 & 2 & 2 \end\right|=2 \cdot(-2) \cdot 2+1 \cdot 2 \cdot 1+2 \cdot 0 \cdot 3-$$ $$-3 \cdot(-2) \cdot 1-2 \cdot 0 \cdot 2-1 \cdot 2 \cdot 2=-4$$ $$\Delta_<3>=\left|\begin 2 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \\ 3 & -1 & 2 \end\right|=2 \cdot(-1) \cdot 2+1 \cdot(-1) \cdot 2+$$ $$+1 \cdot(-2) \cdot 3-3 \cdot(-1) \cdot 2-(-1) \cdot(-2) \cdot 2-1 \cdot 1 \cdot 2=-12$$

Метод Гаусса. Метод последовательного исключения неизвестных

Теоретический материал по теме — метод Гаусса.

Задание. Решить СЛАУ $\left\<\begin 2 x_<1>+x_<2>+x_<3>=2 \\ x_<1>-x_<2>=-2 \\ 3 x_<1>-x_<2>+2 x_<3>=2 \end\right.$ методом Гаусса.

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований над ее строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду (прямой ход) и далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной диагонали). Вначале поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент $a_<1>$ равнялся 1 (это мы делаем для упрощения вычислений):

Далее делаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей — три первых:

Все элементы третьей строки делим на два (или, что тоже самое, умножаем на $\frac<1><2>$:

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений поменяем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся 1:

От третьей строки отнимаем вторую, умноженную на 3:

Умножив третью строку на $\left(-\frac<1><2>\right)$ , получаем:

Проведем теперь обратный ход метода Гаусса (метод Гассу-Жордана), то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Надо обнулить элемент $$\tilde \sim\left(\begin 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end\right)$$

Далее обнуляем недиагональные элементы второго столбца, к первой строке прибавляем вторую:

Полученной матрице соответствует система

$\left\<\begin x_<1>+0 \cdot x_<2>+0 \cdot x_<3>=-1 \\ 0 \cdot x_<1>+x_<2>+0 \cdot x_<3>=1 \\ 0 \cdot x_<1>+0 \cdot x_<2>+x_<3>=3 \end\right.$ или $\left\<\begin x_<1>=-1 \\ x_<2>=1 \\ x_<3>=3 \end\right.$

Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений

Теоретический материал по теме — однородные СЛАУ.

Задание. Выяснить, имеет ли однородная СЛАУ $\left\<\begin 3 x-2 y=-1 \\ x+3 y=7 \end\right.$ ненулевые решения.

Решение. Вычислим определитель матрицы системы:

$$\Delta=\left|\begin 3 & -2 \\ 1 & 3 \end\right|=9-(-2)=9+2=11 \neq 0$$

Так как определитель не равен нулю, то система имеет только нулевое решение $x=y=0$

Ответ. Система имеет только нулевое решение.

Задание. Найти общее решение и ФСР однородной системы $\Delta=\left|\begin 3 & -2 \\ 1 & 3 \end\right|=9-(-2)=9+2=11 \neq 0$

Решение. Приведем систему к ступенчатому виду с помощью метода Гаусса. Для этого записываем матрицу системы (в данном случае, так как система однородная, то ее правые части равны нулю, в этом случае столбец свободных коэффициентов можно не выписывать, так как при любых элементарных преобразованиях в правых частях будут получаться нули):

$$A=\left(\begin 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 2 & -1 & 0 \\ 4 & -2 & 6 & 3 & -4 \\ 2 & 4 & -2 & 4 & -7 \end\right)$$

с помощью элементарных преобразований приводим данную матрицу к ступенчатому виду. От второй строки отнимаем первую, от третьей — четыре первых, от четвертой — две первых:

$$A \sim\left(\begin 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & -6 & 6 & 15 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & 10 & -5 \end\right)$$

Обнуляем элементы второго столбца, стоящие под главной диагональю, для этого от третьей строки отнимаем три вторых, к четвертой прибавляем вторую:

$$A \sim\left(\begin 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 12 & -4 \end\right)$$

От четвертой строки отнимем $$\frac<4><3>$$ третьей и третью строку умножим на $$\frac<1><3>$$ :

$$A \sim\left(\begin 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end\right)$$

Нулевые строки можно далее не рассматривать, тогда получаем, что

$$A \sim\left(\begin 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \end\right)$$

Далее делаем нули над главной диагональю, для этого от первой строки отнимаем третью, а ко второй строке прибавляем третью:

$$A \sim\left(\begin 1 & 1 & 0 & -6 & 0 \\ 0 & -2 & 2 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \end\right)$$

то есть получаем систему, соответствующую данной матрице:

Или, выразив одни переменные через другие, будем иметь:

Здесь $x_<2>, x_<4>$ — независимые (или свободные) переменные (это те переменные, через которые мы выражаем остальные переменные), $x_<1>,x_<3>,x_<5>$ — зависимые (связанные) переменные (то есть те, которые выражаются через свободные). Количество свободных переменных равно разности общего количества переменных $n$ (в рассматриваемом примере $n=5$ , так как система зависит от пяти переменных) и ранга матрицы $r$ (в этом случае получили, что $r=3$ — количество ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду): $n-r=5-3=2$

Так как ранг матрицы $r=3$ , а количество неизвестных системы $n=5$ , то тогда количество решений в ФСР $n-r=5-3-2$ (для проверки, это число должно равняться количеству свободных переменных).

Для нахождения ФСР составляем таблицу, количество столбцов которой соответствует количеству неизвестных (то есть для рассматриваемого примера равно 5), а количество строк равно количеству решений ФСР (то есть имеем две строки). В заголовке таблицы выписываются переменные, свободные переменные отмечаются стрелкой. Далее свободным переменным придаются любые, одновременно не равные нулю значений и из зависимости между свободными и связанными переменными находятся значения остальных переменных. Для рассматриваемой задачи эта зависимость имеет вид:

Тогда придавая в первом случае, например, независимым переменным значения $x_<2>=1$ , $x_<4>=0$ получаем, что $\left\<\begin x_<1>=-1+6 \cdot 0=-1 \\ x_<3>=1-\frac<5> <2>\cdot 0=1 \\ x_<5>=3 \cdot 0=0 \end\right.$ . Полученные значения записываем в первую строку таблицы. Аналогично, беря $x_<2>=0$ , $x_<4>=2$, будем иметь, что $x_<1>=12,x_<3>=-5,x_<5>=6$ , что и определяет второе решение ФСР. В итоге получаем следующую таблицу:

Эти две строчки и есть фундаментальным решением заданной однородной СЛАУ. Частное решение системы:

Общее решение является линейной комбинацией частных решений:

$$X=C_ <1>X_<1>+C_ <2>X_<2>=C_<1>\left(\begin -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end\right)+C_<2>\left(\begin 12 \\ 0 \\ -5 \\ 2 \\ 6 \end\right)$$

где коэффициенты $C_<1>, C_<2>$ не равны нулю одновременно. Или запишем общее решение в таком виде:

Придавая константам $C_<1>, C_<2>$ определенные значения и подставляя их в общее решение, можно будет находить частные решения однородной СЛАУ.

Источник