Аналитико синтетический способ решения задачи

Таким образом, при синтетическом методе доказательства теоремы цепочка силлогизмов строится так, что мысль движется от условия теоремы к ее заключению.

К достоинствам синтетического метода следует отнести: сжатость, краткость, исчерпывающая полнота, логическая безупречность образца рассуждений. В методическом отношении синтетический метод имеет и свои недостатки: для учащихся остается неясным, как можно обнаружить такое доказательство, почему в рассуждениях поступают так, а не иначе; не аргументируется, почему нужны те или иные дополнительные построения; школьники не представляют, в каком направлении должны протекать рассуждения, так как этому методу свойственна большая неопределенность и многозначность при выборе пути доказательства теоремы. Перечисленные недостатки отрицательно сказываются на развитии у учащихся продуктивного, творческого мышления.

При аналитическом доказательстве теоремы хМ: А(х)В(х) цепочка силлогизмов строится так, что мысль движется от заключения теоремы к ее условию. Различают два вида аналитического метода: восходящий анализ (анализ Паппа), нисходящий анализ (анализ Евклида).

Восходящим анализом (совершенным анализом) называется такая разновидность аналитического метода, при которой, отправляясь от заключения, подбирают для него достаточное условие — такое суждение В1(х), что B1(x)B(x), затем подбирают достаточное условие B2(x) для B1(x), такое чтобы В2(х)B1(x) было истинным, и так далее до тех пор, пока не получат такое достаточное условие Вп(х) для Вп-1(х), что Вп(х)Вп-1(х) и Вп(х) выполняется (истинно). При этом используются как условие А(х) доказываемого предложения, так и некоторая совокупность Т связанных с А(х) и В(х) предложений данной теории, истинность которых уже была установлена.

Сущность метода восходящего анализа состоит в том, что рассуждения строятся по схеме: для того, чтобы В(х) было верно, достаточно, чтобы было верно С(х) и т. д.

Нисходящим анализом (несовершенным анализом) называют такую разновидность аналитического метода, при которой, отправляясь от заключения В(х) доказываемого предложения А(х)В(х), рассуждения ведут путем последовательного получения логических следствий: В(х)В1(х)В2(х). Вп(х),
где Вп(х) есть предложение, истинное значение которого нам точно известно. При выведении следствий из В(х) временно допускают, что оно истинно.

При нисходящем анализе рассуждения также, как и при восходящем анализе, ведут от заключения теоремы, но подбирают уже не достаточные, а необходимые условия.

При использовании нисходящего анализа возможны два основных случая.

1. Следствие Вп(х), полученное из В(х), истинно. В этом случае об истинности доказываемого предложения А(х)В(х) ничего нельзя сказать, так как из ложного предложения может следовать и истинное. Например, из ложного предложения (а-b = b-а, а ≠ b) следует истинное предложение (( a- b)2 = (b-а)2).

Но в том случае, когда применение нисходящего анализа к доказательству теоремы хМ: А(х)В(х) приводит к следствию Вп(х), которое истинно, целесообразно попытаться обратить этот аналитический процесс рассуждений в синтетическое доказательство:

(Вп(х)А(х))Вп-1(х) . В1(х)В(х).

В таком случае нисходящий анализ позволил нам отыскать путь синтетического доказательства.

2. Cледствие Вп(х), полученное из В(х), ложно, тогда всегда ложно и само В(х).

Этот случай нисходящего анализа используется и для доказательства от противного. Так, чтобы доказать истинность предложения А(х)В(х), преобразуют его в предложение А(х), и к доказательству последнего применяют метод нисходящего анализа. Если следствие Вп(х) окажется ложным, то этим будет доказана ложность предложения А(x), а это, в свою очередь, доказывает истинность А(х) В(х).

1. Методика обучения учащихся доказательству математических предложений: Книга для учителя. — М.: Просвещение, 20с.

2. Обучение учащихся доказательству теорем: учебное пособие. — Омск: Изд-во ОмГПУ, 20с.

Источник

Лекция 3. Методы решения задач повышенной трудности в начальной школе

Учебные вопросы:
1. Общий план работы (этапы) над задачей повышенной трудности.
2. Методы решения задач повышенной трудности.

Цель лекции: рассмотреть методику обучения решению задач повышенной трудности в начальной школе.

Задачи лекции:
1) Дать представление об этапах решения задачи повышенной трудности в начальной школе;
2) Познакомить с методами, применяемыми при решении задач повышенной трудности в начальной школе;

Скачать:

Предварительный просмотр:

Лекция 3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

1. Общий план работы (этапы) над задачей повышенной трудности.
2. Методы решения задач повышенной трудности.

Цель лекции: рассмотреть методику обучения решению задач повышенной трудности в начальной школе.

1) Дать представление об этапах решения задачи повышенной трудности в начальной школе;

2) Познакомить с методами, применяемыми при решении задач повышенной трудности в начальной школе;

Список литературы по теме:

1. Лавлинскова Е.Ю. Методика работы с задачами повышенной трудности в начальной школе. – Волгоград, 2006.

2. Лехов В.П. Дедуктивные рассуждения в курсе математики начальных классов.// Начальная школа. – 1988. — № 5. – С. 28 – 30.

3. Хомякова Л.В. Индуктивные рассуждения в курсе математики начальных классов.// Начальная школа. – 1988. — № 5. – С. 31 – 36.

1. Общий план работы (этапы) над задачей повышенной трудности.

Общий план работы над любой задачей повышенной трудности может выглядеть следующим образом:

1. Самостоятельное обдумывание и поиск путей решения задачи каждым учеником;
2. Коллективное обсуждение полученных результатов;
3. Обсуждение и исправление допущенных ошибок;
4. Поиск других способов решения (если это возможно).

Эта схема может значительно варьироваться в зависимости от результатов, достигнутых на первом этапе решения задачи. Так, если дети затруднились в анализе задачи и не нашли путей решения, лучше предложить им для самостоятельного обдумывания упрощенный вариант задачи, и дальше работать с ней, а первоначальную задачу отложить на некоторое время. Вернуться к первой задаче можно будет когда дети поднимутся в своем развитии на более высокую ступень.

Если решение получено незначительным числом учеников, то с их помощью проводится коллективный анализ задачи, после чего ученики самостоятельно выполняют решение, а уже решившие ищут другие способы решения той же задачи или выполняют другое задание.

Таким образом, наиболее эффективным видом работы с задачами повышенной трудности является самостоятельное решение задачи учащимися. Сначала решение задачи связано с применением указанных учителем средств, методов и способов решения, а затем – с самостоятельным выбором средств, методов, способов и форм решения.

1. Методы решения задач повышенной трудности.

Метод, в данном контексте, рассматривается как способ решения задач.

В решении задач повышенной трудности можно выделить три основным метода:

Аналитический метод решения задач повышенной трудности

Аналитический метод решения задачи представляет собой стройную логическую цепь заключений, органически связанных между собой. Аналитический метод характеризуется тем, что рассуждения начинаются с вопроса задачи.

Таким образом, в основе данного метода решения задачи лежит умении строить дедуктивные рассуждения (от общего к частному). В дедуктивных рассуждениях нельзя получить ложное заключение из истинных посылок. Именно поэтому дедуктивные рассуждения используются в математических доказательствах.

Примеры задач повышенной трудности, решаемые аналитическим способом.

В кружках этого треугольника расставьте все девять значений цифр так, чтобы суммы их на каждой стороне составляла 20.

1. Какие два числа, если разделить большее из них на меньшее, дают столько же, сколько получится при их перемножении.
2. Число 30 легко выразить тремя пятерками: 5х5+5. Трудно это сделать тремя другими одинаковыми цифрами. Попробуй. Может быть, тебе удастся отыскать несколько решений.

Дедуктивные рассуждения используются, как правило, при решении задач на активный подбор вариантов отношений.

Анализ задачи состоит в том, что мы предполагаем её уже решенной и находим различные следствия этого решения, а затем, в зависимости от вида этих предположений, пытаемся найти путь отыскания решения поставленной задачи.

Синтетический метод решения задач повышенной трудности

Сущность синтетического метода поиска решения задачи состоит в установлении связей между данными условия задачи и получение, таким образом, новых данных. Затем устанавливаются связи между полученными данными и так до тех пор, пока не будет получено требуемое.

В основе синтетического метода решения задачи лежит умение строить индуктивные рассуждения. Выводы, полученные индуктивным путем, связаны с наблюдением, анализом. Сравнением и выявлением общих закономерностей с их последующим обобщением.

В начальной школе возможно использование двух видов индукции: полной (когда частные посылки исчерпывают все возможные случаи) и неполной. Неполная индукция является мощным эвристическим средством.

Индуктивные рассуждения, как правило, используются в решении задач на комбинаторные действия.

Аналитико-синтетический метод решения задач повышенной трудности

Большинство задач решается не аналитическим или синтетическим способом в чистом виде, а сочетанием этих способов.

Аналитико-синтетический способ используется в частности при решении задач на установление соответствий между элементами различных множеств. Под множеством здесь понимается коллекция, собрание объектов, объединенных по некоторому признаку. Предметы, входящие во множество, называются его элементами.

Решению таких задач помогает использование таблиц и графиков. Если в рассматриваемой задаче каждому элементу первого множества должен соответствовать единственный элемент второго множества, а двум различным элементам первого множества соответствуют два различных элемента второго множества, то такое соответствие называется взаимнооднозначным.

Пример задачи, решаемой аналитико-синтетическим методом.

Беседуют трое друзей: Белокуров, Рыжов и Чернов. Брюнет сказал Белокурову: «Любопытно, что один из нас блондин, другой – брюнет, третий рыжий, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии». Какой цвет волос у каждого из друзей?

Решение. Для решения задачи мы воспользуемся таблицей, отмечая по горизонтали фамилии, а по вертикали – цвет волос. Заполняя таблицу, мы в каждой строке (столбце) должны получить только одну клетку со знаком «+». Таблица принимает вид:

Источник