Критическая сила. Формула Эйлера. Влияние закрепления концов стержня на величину критической силы
Рассмотрим стержень постоянного сечения, оба конца которого закреплены шарнирно (рис. 12.3). Стержень сжимается критической силой. Рассматриваем малые перемещения сечений стержня. Задавшись прогибом оси стержня в определенном сечении, найдем величину осевой сжимающей силы, при которой такой прогиб возможен. Будем считать, что напряжения в стержне не превышает предела пропорциональности.
Рис. 12.3. Схема изгиба стержня критической силой Fкр.
Начало координат поместим в точке О, ось z направлена вдоль оси стержня, ось y – влево от начала координат. Определим прогиб стержня в произвольном сечении z.
Воспользуемся приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня:
Определим изгибающий момент в произвольном сечении стержня:
Последнее выражение представляет собой однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
Решение этого уравнения можно записать в виде гармонической функции:
Постоянные интегрирования А и В находятся из граничных условий:
при z = 0, у = 0, В = 0 и дифференциальное уравнение принимает следующий вид:
Стержень изгибается по синусоиде.
Известно, что произведение двух сомножителей равно нулю, лишь в том случае, если один из сомножителей равен нулю. Разберем оба случая.
Пусть А = 0, то у(z) всегда равен нулю и прогиба вообще не существует. Это решение противоречит принятому предположению о том, что стержень прогнулся, т. е. А 
0. Следовательно, должно выполняться условие sinkl = 0, откуда:
kl = 0, 
, 2 , 3 , …, n 
где п – любое целое число.
Определим, какое значение п подходит к решению данной задачи. Рассмотрим условие
Из последнего выражения следует, что если k = 0, то Fкр =0, т. е. стержень не нагружен, а это противоречит условию задачи. Следовательно, значение k = 0 можно исключить из решения. В общем случае имеем:
Приравняв F = Fкр, получим выражение
где 
наименьшее значение сжимающей силы, при котором проис-
ходит продольный изгиб, поэтому следует принять п = 1.
Тогда уравнение для определения критической силы примет вид
Таким образом, стержень изгибается по синусоиде с одной полуволной.
При z = l/2 прогиб стержня имеет максимальное значение.
При n = 2 и n = 3 стержень изгибается по двум и трем полуволнам синусоиды соответственно (рис. 12.4, б, в).
Прогиб стержня в произвольном сечении под воздействием сжимающей силы можно определить по формуле
Потеря устойчивости стержня происходит в плоскостях наименьшей жесткости, т. е. J = Jmin, поэтому при определении критической силы следует учитывать наименьший осевой момент инерции сечения, тогда окончательно:
Таким образом, имеем формулу Эйлера (1744) для определения критической силы для стержня с двумя шарнирно закрепленными концами (основной случай).
Рис. 12.4. Схема изогнутой оси стержня при различных значениях n
Величина критической силы прямо пропорциональна наименьшей жесткости сечения и обратно пропорциональна квадрату длины стержня.
Как видно из формулы Эйлера, величина критической силы зависит от геометрических характеристик стержня и модуля упругости материала, но не зависит от прочностных характеристик материала.
Так, например, критическая сила Fкр практически не зависит от марки стали.
Предельная растягивающая сила зависит от прочностных характеристик (в зависимости от марки стали она будет различной) и не зависит от длины стержня. Таким образом, можно утверждать, что имеется существенное различие между работой стержня на растяжение и сжатие.
Выше был рассмотрен так называемый основной случай закрепления концов сжатого стержня, когда оба конца стержня закреплены шарнирно. На практике применяются и другие способы закрепления концов стержня.
Рассмотрим, как влияют условия закрепления стержня на величину критической силы.
Второй случай: один конец стержня жестко защемлен, второй – свободен (рис. 12.5, а).
Рис. 12.5. Схема закрепления стержня по второму случаю
При потере устойчивости верхний конец стержня отклонится на некоторую величину и повернется, нижний защемленный конец останется вертикальным. Изогнутая ось получится такая же, как для одной половины стержня первого случая (рис. 12.5, б).
Для получения полного соответствия с первым случаем продолжим мысленно изогнутую ось стержня вниз. Тогда форма потери устойчивости будет полностью совпадать с первым случаем. Отсюда можно сделать вывод, что критическая сила для этого случая будет такая же, как и для пропорционально закрепленного по концам стержня длиной 2 м. Тогда
Третий случай: оба конца стержня жестко закреплены (рис. 12.6).
После потери устойчивости концы стержня не поворачиваются. Средняя часть стержня длиной l/2 вследствие симметрии будет работать в таких же условиях, что и стержень с шарнирно опертыми концами, но длиной l. Тогда, исходя из формулы, получим:
Рис. 12.6. Схема закрепления стержня
по третьему случаю
Четвертый случай: один конец стержня жестко защемлен, а другой – закреплен шарнирно. В этом случае верхняя часть стержня длиной приблизительно 2l/3 имеет вид полуволны синусоиды и находится в таких же условиях, что и стержень с шарнирными опорами на концах (рис. 12.7).
Рис. 12.7. Схема закрепления стержня
по четвертому случаю
Анализируя последние выражения для определения критической силы, приходим к выводу, что чем более жестко закреплены концы стержня, тем большую нагрузку данный стержень может воспринимать.
Поэтому зависимости для определения критической силы при различных условиях закрепления стержня можно объединить в одну формулу:
где 
приведенная длина стержня;
коэффициент приведения длины стержня, зависящий от способа
закрепления концов стержня;
фактическая длина стержня.
Понятие о приведенной длине стержня впервые было введено профессором Петербургского института путей сообщения Ф. С. Ясинским в 1892 году.
Необходимо также отметить, что при составлении формул для определения критических сил в стержнях с различными условиями закрепления по концам использовалась аналогия в формах потери устойчивости отдельных их участков.
Однако эти решения можно получить также строго математически. Для этого необходимо записать для каждого случая дифференциальное уравнение упругой линии стержня при потере устойчивости и решить его с использованием граничных условий.
Коэффициент продольной длины стержня в зависимости от условий его закрепления представлен на рис. 12.8.
Рис.12.8. Коэффициент приведения длины для различных случаев
закрепления концов стержня
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.
Источник
Влияние условии закрепления концов стержня на величину критической силы
Влияние условии закрепления концов стержня на величину критической силы
- Влияние состояния фиксации конца стержня на величину критической силы В § 117 рассматривается так называемый основной случай нагружения и закрепления концов сжатого стержня-стержень с шарнирным концом. После потери устойчивости, как показано Рис пятьсот два Длина стержня будет соответствовать только половине волны (l=1). Рассмотрим другие случаи фиксации конца стержня: 1.
Стержень длины I закрыт на одном конце и сжат продольными силами, приложенными к свободному концу (рис. 502, а). Сравнение цифр. Для 502, а и в можно видеть, что криволинейная ось стержня, запечатанного на одном конце, находится в том же состоянии, что и верхняя половина стержня длиной 2/шарнирного конца. Таким образом, критическое усилие стержня с одним замкнутым
и другим свободным концом такое же, как и для шарнирного стержня по длине L-21. 7L2£7mni»фунтов/мин» Р(2/)2 4/2 • (19.17) В этом случае Людмила Фирмаль
криволинейная ось стержня (рис. 502, а) имеет вид полуволны синусоиды. 2. Стержни длины I плотно запечатаны с обоих концов(рис. 503). После потери устойчивости стержня из-за симметрии средняя часть его длины y работает в тех же условиях, что и стержень с шарнирным концом. В этом случае образуются две полуволны: промежуточная волна длиной L=и две крайние волны длиной I Личинка имеет половину длины. Критической силой в этом случае является формула (19.14) р и Р! Один. «2y7mii (19.18) 3. Стержни
длины I закрыты с одного конца и шарнирно закреплены с другого конца(рис. 504). После потери устойчивости правая часть стержня СВ имеет вид полуволны синусоиды. Как использовать 504 и 502, 6 находим, что участок длины L СВ-0,7/находится в том же состоянии, что и стержень с шарнирным концом. Значение, Минут(19.19) Использование формул (19.14), (19.17) — (19.19) ты же водна YA2^MII(V/)2′ (19.20 )) Где vl= / PR-уменьшение длины стержня;/-
- фактическая длина стержня; v-коэффициент уменьшения длины. Поэтому, вводя в Формулу RCR так называемую приведенную длину / PR=VL, различные случаи опоры и нагружения стержня можно свести к основному случаю. Эта концепция С. Ф. Он впервые ввел Ясинский/ До уравнения Эйлера (19.20) видно, что критическая нагрузка зависит от наименьшей жесткости ЭЙКУКА, длины и коэффициента V стержня I. Для риса. 505 приведено значение v для рассматриваемого бара. Однако практика применения этой расчетной схемы практически не просматривалась. Чаще всего крепление концов становится эластичным. Следующий случай упругого крепления концов наиболее распространен: а) один конец стержня плотно
герметизирован, а другой упруго поддерживается. б)оба конца эластичной герметичной. Рассмотрим первый случай(рис. 506). После потери устойчивости концевая часть упругой опорной стойки перемещается вертикально на величину в / в, следовательно, возникает угловая реакция RB-например, реакция пропорциональна отклонению.]- П Р Р Р Р Р Р в=0,7 в=0,5 в=2 Добро пожаловать на наш сайт! Rb-C ЦКС(я-х). (19.21) Разделите почву на ej MT1 и представьте как обычно, получить Или СВ +=- ^) +к»(cfs19. Двадцать два) Общее интегрирование этого Людмила Фирмаль дифференциального уравнения w-C sinkx+Dcoskx+ ——£— 1> + для определения интеграла I- / VX — (19.23)и постоянной критической нагрузки имеем следующие граничные условия: 7pri х-о Вт(0) — ва=о;-г=0(0)=0Л=о; (19.24) (19.25 )) В X-1 ж(л) — ВБ-ФБ. (19.26) используя граничное условие (19.24), из уравнения (19.23) находим Чтобы применить граничное условие(19.25), вычислите производную перемещения w:=kCcos kx—kDsin kx+—/b, ax’., Г КЛ Или икс С=__/г. Я / КР Подставляя полученную формулу для любой постоянной в Формулу (19.23), получим конечное уравнение криволинейной оси сжатого стержня: w (x)= — — — fB sin k x-fa(1————cos kx+++(19.27) граничное условие X kr* * kr (19.26) используется для получения формулы определения критической нагрузки. Поставим в уравнение (19.27)x=Z и не найдем. (/) =—jjr-fasin— — — 4 — я] Коски+КТ КП\КР/+Ф Б(Л… — Я]+ — р-л ФБ=4е, х г кр/р КП Или —- грех КЛ — (л—Эй, потому что к КЛ=0, Откуда тг£З=А/(Л- $ 19.28)) Если это уравнение решить, то есть определить минимум трассы k, то можно определить значение критической нагрузки, 508так как RCR=k * Ejmin-подумайте о двух случаях ограничения. Если поставить C= = 0, то получится tg L/=co. И приходят к такой конструктивной схеме стержня, когда один конец (левый) строго запечатан, а другой (правый) свободен. Значение критической силы l2E Образовательный сайт для студентов и школьников Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника. © Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института Источник
