Задать соответствие всеми возможными способами
Введение в теорию множеств и комбинаторику
Практическая работа № 5. Бинарные соответствия
Вопросы к работе
1. Что такое “бинарное соответствие из множества А в множество В”?
2. Как прочитать запись x 
у ?
3. Что такое «точка исхода», «точка прибытия» соответствия 
из множества A в множество B ?
4. Что называется проекцией pr A 
и pr B 
соответствия 
из множества А в множество В ?
5. Как строится график соответствия 
из множества A в мно-
жество B ?
6. Как строится граф соответствия 
из множества A в множество B ?
7. Как составить соответствие 
из A и B ? Как составить 
-1 ?
Образцы решения заданий
Пример 1. Бинарное соответствие 
из множества A = <1; 2; 4; 5>в множество B = < а; b; с; d; е; f; r; I >состоит из пар: (1; b ), (1; d ),
(2; а ), (2; b ), (4; с ), следует:
1) указать область определения 
, т. е. pr А 
;
2) указать область значений 
, т. е. pr B 
;
3) построить график 
;
4) построить граф 
.
1) pr A 
= <1; 2; 4>;
2) pr B 
= < а ; b; с >.
Пример 2. Составить 
, 
-1 , если 
= <(–1; 0), (–1; 1), (–1; 2),
(0; 0), (1; 0), (2; 0), (2; 1), (2; 2)> – бинарное соответствие из множества А = <–1; 0; 1; 2; 3>в множество В = (–2; 0; 1; 2).
Решение: 1) 
= ( А 
В ) \ 
= <(–1; –2), (0; –2), (0; 1), (0; 2), (1; –2), (1; 1), (1; 2), (2; –2), (3; –2), (3; 0), (3; 1), (3; 2)>.
2) 
-1 
( а , b ), если ( b , а ) 
, т. е.
-1 = <(0; –1), (0; 0), (0; 1), (1; 2), (2; 2), (1; –1), (2; –1), (0; 2)>.
Пример 3. Даны подмножества Х = <2; 4; 6>и Y = <3; 5; 7>– множества натуральных чисел. Соответствие 
из Х в Y таково:
x 
y число x больше числа у ( x 
Х, у 
Y ), следует:
1) записать 
с помощью пар;
2) записать 
указанием характеристического свойства элементов;
3) записать пары ( x, y ) 
в виде x 
y ;
4) построить граф 
.
Решение: 1) 
= <(4; 3), (6; 3), (6; 5)>;
2) 
= < 
| 
= ( x, y ), x 
<2; 4; 6>, y 
<3; 5; 7>>;
3) 4 > 3; 6 > 3; 6 > 5;
1) Составте бинарное соответствие С из А и В , состоящее из пар, в которых первая компонента – слово из А , а вторая компонента – согласованное с ним слово из В ;
2) постройте график этого соответствия;
3) постройте граф этого соответствия.
1) Составить декартовое произведение Х 
Y этих множеств;
2) отметьте в нем пары, связанные соответствием 
:
х 
у «в слово х входит буква у »;
3) задайте это же соответствие при помощи графа;
4) найдите полный образ слова «океан»;
5) найдите полный прообраз буквы «а»;
6) есть ли в множестве Y буква, полный прообраз которой состоит из всего множества X ?
7) есть ли в множестве Y буква с пустым полным прообразом?
3. Для множеств A = <1; 2; 3>и B = <–1;–2;–3>заданы следующие соответствия: а) а > b ; б) а b ; в) а = – b ; г) а = b + 3, ( а 
A , b 
В ). Для каждого из них:
1) найти область определения;
2) множество значений;
3) построить граф;
4) построить график.
1. Даны два множества: А = <–1; –2; –3; 1; 2; 3; 0>, Y = N . Поставим в соответствие каждому числу x 
A его квадрат в N . Выпишите все пары, входящие в указанное соответствие. Постройте его граф.
2. Соответствие 
из A в B задано при помощи графа:
Изобразите график этого соответствия. Постройте график противоположного соответствия.
3. Даны множества: Х = < x | x 
Z , –3 ≤ х Y = Z . Каждому значению x 
Х поставим в соответствие такое значение y 
Y , которое на 3 больше этого х . Перечислите элементы, принадлежащие этому соответствию. Постройте граф этого соответствия.
4. Соответствие 
из множества X = < x | x 
Z , 0 ≤ х ≤ 4> в множество Y = < y | y 
Z , 0 ≤ у ≤ 5> состоит из пар ( x ; y ) таких, что
x у . Постройте граф этого соответствия.
5. На рис. 14 изображен график соответствия из А 
R в В 
R .
а) Верно ли, что 2 
А , 2 
А , –3 
А ?
б) Верно ли, что 0 
В , –1 
В , 0,7 
В ?
в) Какие значения у 
В соответствуют –1? 0? 7?
г) Каковы область определения и множество значений данного соответствия?
6. Соответствие 
: « x 
у 
число x кратно числу у » задано из множества Х = <135; 0; 264; 122>в множество Y = <3; 4; 5; 9>. Постройте граф соответствия 
. Найти 
(135). Проверьте, верно ли
(264) = 3. Найдите полный прообраз числа 0.
7. Даны множества А = <1; 3>, В = <2; 5>. Перечислите все подмножества множества А 
В . Какое из полученных подмножеств задает соответствие:
в) «больше или равно»;
г) «быть делителем»?
Постройте граф каждого из этих соответствий.
изображен график соответствия 
из множества Х в множество У .
а) Запишите область определения и множество значений этого соответствия;
б) перечислите все элементы этого соответствия;
в) постройте граф этого соответствия и граф соответствия 
-1 .
9. Найдите область определения и множество значений для соответствия а ≤ b , если а и b – натуральные числа и 2 ≤ а
4 ≤ b
10. Каждой точке М диаметра АВ окружности на рис.15 поставим в соответствие те точки окружности, которые лежат на перпендикуляре, восстановленном в этой точке (например, М 
К 1 , М 
К 2 ).
а) Отметьте точки окружности, соответствующие точке D ;
б) отметьте точки диаметра, которым соответствует точка Р окружности;
в) какова область исхода и область прибытия данного соответствия?
Задания для самоконтроля
1) Для нижеследующих соответствий сформулируйте противоположные, обратные, противоположные обратным;
Источник
