Задать последовательность рекуррентным способом это

Решение рекуррентных соотношений

Содержание

Определения [ править ]

Определение:

Рекуррентная формула (англ. recurrence relation) — формула вида [math]a_n=f(n, a_, a_, \dots, a_ ) [/math] , выражающая каждый следующий член последовательности [math]a_n[/math] через [math]p[/math] предыдущих членов и номер члена последовательности [math]n[/math] , вместе с заданными первыми p членами, где [math]p[/math] — порядок рекуррентного соотношения.

Для рекуррентного соотношения, которому удовлетворяет последовательность [math] \ < a_n \>[/math] мы часто хотим получить выражение для [math]a_n[/math] . Например, для рекуррентного соотношения, задающего числа Фибоначчи:

[math] F_0 = 0,\qquad F_1 = 1,\qquad F_ = F_ + F_, \quad n\geqslant 2, \quad n\in Z[/math]

[math]a_n[/math] член может быть записан следующим образом: [math]a_n=\dfrac<1><\sqrt<5>>\left( \biggl( \dfrac<1+\sqrt<5>> <2>\biggr)^n — \biggl( \dfrac<1-\sqrt<5>> <2>\biggr)^n \right).[/math]

Для этого можно использовать метод производящих функций (англ. generating function method).

Метод производящих функций [ править ]

Алгоритм получения выражения для чисел [math]a_[/math] , удовлетворяющих рекуррентному соотношению, с помощью производящих функций cостоит из [math]4[/math] шагов.

1. Записать рекуррентное соотношение и начальные данные для него в следующем виде (если порядок соотношения равен [math]k[/math] ): [math]a_ <0>= …, \\ a_ <1>= …, \\ a_ = …, \\ … \\ a_ = …, n\geqslant k[/math]
2. Домножить каждую строчку на [math]z[/math] в соответствующей степени ( [math]z^ \cdot a_ = … \cdot z^[/math] ) и сложить все выражения, многоточие надо рассматривать как множество из выражений, где [math]n \in [k, +\infty)[/math] . В левой части получится сумма [math]\displaystyle\sum_^ <\infty>a_nz^n[/math] — это производящая функция, назовем ее [math]G(z)[/math] . Правую часть преобразовать так, чтобы она превратилась в выражение, включающее [math]G(z)[/math] .
3. Решить полученное уравнение, получив для [math]G(z)[/math] выражение в замкнутом виде.
4. Разложить [math]G(z)[/math] в степенной ряд, коэффициент при [math]z_n[/math] будет искомым выражением для [math]a_n[/math] .

Примеры [ править ]

[math]1[/math] пример [ править ]

Производящие функции позволяют решать рекуррентные соотношение механически по одному и тому же алгоритму. Рассмотрим общую схему на простом примере, который позволит продемонстрировать базовые приёмы работы.

Задано линейное однородное рекуррентное соотношение порядка [math]2[/math] с постоянными коэффициентами:
[math]\begin a_0&<>=<>&0,\\ a_1&<>=<>&1,\\ a_n&<>=<>&5a_-6a_, \quad n\geqslant2.\\ \end [/math]

Порядок соотношения — это его «глубина», то есть количество предшествующих элементов, требуемых для вычисления элемента с номером [math]n[/math] . В данном случае порядок равен [math]2[/math] , так как для вычисления [math]a_n[/math] требуется знать [math]a_[/math] и [math]a_[/math] .

Будем искать производящую функцию последовательности в виде
[math] G(z)=\displaystyle\sum_^ <\infty>a_nz^n = a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots, [/math]

с этой целью умножим верхнюю строчку в записи рекуррентного соотношения на [math]z^0[/math] , следующую — на [math]z^1[/math] и последнюю — на [math]z^n[/math] :
[math]\begin 1\cdot a_0&<>=<>&0\cdot 1,\\ z\cdot a_1&<>=<>&1\cdot z,\\ z^n\cdot a_n&<>=<>&(5a_-6a_)\cdot z^n, \quad n\geqslant2.\\ \end [/math]

Теперь сложим все уравнения для всех значений [math]n[/math] :
[math] \underbrace^<\infty>a_nz^n>_ <=>z+5\displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n-6\displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n. [/math]

Левая часть уравнения в точности равна [math]G(z)[/math] , а в правой части есть суммы, очень похожие на функцию [math]G(z)[/math] , но не равные ей. Эти суммы нужно привести к виду [math]G(z)[/math] . Начнём с первой:
[math] \displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n \stackrel<(1)><=>z\displaystyle\sum_^<\infty>a_z^ \stackrel<(2)> <=>z\displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n \stackrel<(3)> <=>z\biggr( \underbrace< \displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n+a_0>_ — a_0\biggr)=z(G(z)-a_0) \stackrel<(4)> <=>z G(z). [/math]

Равенство [math](1)[/math] получатся вынесением [math]z[/math] в первой степени за знак суммы, это необходимо, чтобы уровнять степень переменной [math]z[/math] и индекс переменной a внутри суммы. Действие [math](2)[/math] — изменение индекса суммирования, которое позволяет избавиться от [math]n-1[/math] . Равенство [math](3)[/math] получается, если прибавить и снова отнять значение [math]a_0[/math] , чтобы получить полную сумму от [math]n=0[/math] до [math]∞[/math] . Равенство [math](4)[/math] справедливо в силу того, что [math]a_0=0[/math] .

Аналогичные манипуляции со второй суммой дают нам выражение
[math] \displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n = z^2\displaystyle\sum_^<\infty>a_z^ = z^2\displaystyle\sum_^<\infty>a_z^=z^2G(z). [/math]

Теперь наше исходное уравнение для производящей функции принимает вид:
[math] G(z) = z + 5zG(z) -6z^2G(z), [/math]

откуда получаем производящую функцию последовательности в замкнутом виде:
[math] G(z) = \dfrac<1-5z+6z^2>. [/math]

Отыскав производящую функцию в замкнутом виде, её нужно снова разложить в ряд. Это можно сделать разными способами, но самый простой из них — разбить всю дробь на простые дроби и применить формулу для разложения [math]\dfrac<1><1-z>[/math] . Итак, разложим знаменатель функции на множители:
[math] G(z) = \dfrac <1-5z+6z^2>= \dfrac<(1-3z)(1-2z)>. [/math]

Теперь разобьём дробь на сумму простых дробей:
[math] \dfrac <(1-3z)(1-2z)>= \dfrac<1> <1-3z>— \dfrac<1><1-2z>. [/math]

Из этого разложения следует, что
[math] \dfrac<1><1-3z>= \displaystyle\sum_^<\infty>(3z)^n \quad\mbox< и >\quad \dfrac<1><1-2z>= \displaystyle\sum_^<\infty>(2z)^n. [/math]

Таким образом,
[math] G(z) = \displaystyle\sum_^<\infty>3^nz^n — \displaystyle\sum_^<\infty>2^nz^n = \displaystyle\sum_^<\infty>(3^n-2^n)z^n. [/math]

С другой стороны, мы искали [math]G(z)[/math] в виде
[math] G(z)=\displaystyle\sum_^ <\infty>a_nz^n, [/math]
поэтому, в силу равенства рядов, [math]a_n=3^n-2^n[/math] (для [math]n\geqslant 0[/math] ).

[math]2[/math] пример: числа Фибоначчи [ править ]

Рассмотрим рекуррентное соотношение для чисел Фибоначчи:
[math]\begin f_0&<>=<>&0,\\ f_1&<>=<>&1,\\ f_n&<>=<>&f_+f_, \quad n\geqslant2.\\ \end [/math]

Первый шаг алгоритма мы уже выполнили, записав рекуррентное соотношение. Выполним второй шаг:
[math]\begin 1\cdot f_0&<>=<>&0\cdot 1,\\ z\cdot f_1&<>=<>&1\cdot z,\\ z^n\cdot f_n&<>=<>&(f_+f_)\cdot z^n, \quad n\geqslant2.\\ \end [/math]

Складываем все строчки:
[math] f_0 + f_1 z + \displaystyle\sum_^<\infty>f_nz^n = z + \displaystyle\sum_^<\infty>f_z^n+\displaystyle\sum_^<\infty>f_z^n. [/math]

Третий шаг алгоритма требует привести все суммы к замкнутому виду:
[math]\begin G(z) &<>=<>& z + z\displaystyle\sum_^<\infty>f_z^+z^2\displaystyle\sum_^<\infty>f_z^, \\ G(z) &<>=<>& z + z\displaystyle\sum_^<\infty>f_z^n+z^2\displaystyle\sum_^<\infty>f_z^n, \\ G(z)&<>=<>& \displaystyle z + z(G(z)-f_0)+z^2G(z),\\ G(z)&<>=<>& \displaystyle z + zG(z)+z^2G(z),\\ \end [/math]

откуда получаем замкнутое выражение для производящей функции:
[math] G(z) = \dfrac<1-z-z^2>. [/math]

Осталось разложить её в ряд (чего требует четвёртый шаг алгоритма). С этой целью нужно разложить знаменатель на множители. Найдем корни уравнения:
[math]\displaylines< 1-z-z^2 = 0 \cr z_1=-\dfrac<1-\sqrt<5>><2>, z_2=-\dfrac<1+\sqrt<5>><2>. > [/math]

Нам известно разложение следующей рациональной функции:
[math] \dfrac<1> <1-z>= \displaystyle\sum_^<\infty>z^n = 1 + z + z^2 + z^3 + \cdots. [/math]

Рассмотрим первую дробь и поделим в ней числитель и знаменатель на [math]z_1[/math] :
[math] \dfrac = \dfrac1\dfrac<1><1-\dfrac> = \dfrac1\displaystyle\sum_^<\infty>\dfrac. [/math]

Аналогично (но с делением на [math]z_2[/math] ) поступим со второй дробью:
[math] \dfrac = \dfrac1\dfrac1<1-\dfrac> = \dfrac1\displaystyle\sum_^<\infty>\dfrac. [/math]

Данное выражение можно упростить, если обратить внимание на то, что [math]1/z_1=-z_2[/math] , [math]1/z_2=-z_1[/math] и [math]z_1-z_2=√5[/math] . Подставим [math]z_1[/math] и [math]z_2[/math] в предыдущее выражение:
[math] f_n=\dfrac<1><\sqrt<5>>\left( \biggl( \dfrac<1+\sqrt<5>> <2>\biggr)^n — \biggl( \dfrac<1-\sqrt<5>> <2>\biggr)^n \right). [/math]

[math]3[/math] пример [ править ]

Найдём производящую функцию для последовательности квадратов чисел Фибоначчи: $1, 1, 4, 9, 25, \ldots, f_k^2,\ldots$.

По определению последовательности Фибоначчи выполняется:
[math] \left\< \begin f_ = f_ + f_n \\ f_ = f_ — f_n \end \right. [/math]
Возведя в квадрат и сложив, получим:
[math] \begin f_^2 + f_^2 = 2f_^2 + 2f_n^2, \\ f_^2 = 2f_^2 + 2f_n^2 — f_^2, \\ f_^2 = 2f_^2 + 2f_^2 — f_^2.\\ \end [/math]
Обозначим рассматриваемую последовательность [math]A[/math] , а её члены [math]a_n[/math] , тогда:
[math]a_n = 2a_ + 2a_ — a_[/math]

Рекуррентное соотношение:
[math] \begin a_0 = f_0^2 = 1 \\ a_1 = f_1^2 = 1 \\ a_2 = f_2^2 = 4 \\ a_n = 2a_ + 2a_ — a_, \quad n\geqslant3.\\ \end [/math]

Приведём суммы к замкнутому виду:
[math] \begin A(z) = \displaystyle\sum_^<\infty>a_nz^n = 1 + z + 4z^2 + \displaystyle\sum_^<\infty>(2a_ + 2a_ — a_)z^n, \\ A(z) = 1 + z + 4z^2 + 2\displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n + 2\displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n — \displaystyle\sum_^<\infty>a_z^n, \\ A(z) = 1 + z + 4z^2 + 2z\displaystyle\sum_^<\infty>a_nz^n + 2z^2\displaystyle\sum_^<\infty>a_nz^n — z^3\displaystyle\sum_^<\infty>a_nz^n, \\ A(z) = 1 + z + 4z^2 + 2z(A(z) — 1 — z) + 2z^2(A(z) — 1) — z^3A(z), \\ A(z) = 1 + z + 4z^2 + 2zA(z) — 2z — 2z^2 + 2z^2A(z) — 2z^2 — z^3A(z), \\ A(z)(1 — 2z — 2z^2 + z^3) = 1 + z + 4z^2 — 2z — 2z^2 — 2z^2 = 1 — z, \\ \end [/math]
откуда получаем замкнутое выражение для производящей функции:
[math]G(z) = \dfrac<1 - z><1 - 2z 2z^2 + z^3>.[/math]

[math]4[/math] пример [ править ]

Рассмотрим следующее рекуррентное соотношение:
[math]\begin a_0&<>=<>&1,\\ a_1&<>=<>&2,\\ a_n&<>=<>&6a_-8a_+n, \quad n\geqslant2.\\ \end [/math]

Следующие действия аналогичны тем, которые мы делали для чисел Фибоначчи:
[math]\begin \displaystyle a_0 + a_1 z + \displaystyle\sum_^<\infty> &<>=<>& 1+2z+6\displaystyle\sum_^<\infty>>-8\displaystyle\sum_^<\infty>>+\displaystyle\sum_^<\infty>nz^n, \\ G(z) &<>=<>& 1+2z+6z\displaystyle\sum_^<\infty>>>-8z^2\displaystyle\sum_^<\infty>>>+\displaystyle\sum_^<\infty>nz^n, \\ G(z) &<>=<>& 1+2z+6z\displaystyle\sum_^<\infty>>>-8z^2\displaystyle\sum_^<\infty>>>+\displaystyle\sum_^<\infty>nz^n, \\ G(z) &<>=<> & 1+ 2z + 6z(G(z)-a_0)-8z^2G(z) + \displaystyle\sum_^<\infty>nz^n.\\ G(z) &<>=<> & 1 — 4z + 6zG(z)-8z^2G(z) + \displaystyle\sum_^<\infty>nz^n.\\ \end [/math]

Вспомним, что
[math] (z^n)’ = nz^, [/math]

поэтому
[math] \displaystyle\sum_^<\infty>nz^n=z\displaystyle\sum_^<\infty>nz^=z\displaystyle\sum_^<\infty>(z^n)’=z\biggl(\displaystyle\sum_^<\infty>z^n\biggr)’. [/math]

Последняя сумма может быть свёрнута:
[math] \displaystyle\sum_^<\infty>z^n=\displaystyle\sum_^<\infty>z^n-1-z=\dfrac<1><1-z>-1-z=\dfrac<1-z>. [/math]

Подставив свёрнутое выражение обратно, имеем,
[math] z\biggl(\displaystyle\sum_^<\infty>z^n\biggr)’ = z \biggl(\dfrac<1-z>\biggr)’=\dfrac<(1-z)^2>. [/math]

Таким образом, наше последнее уравнение примет вид
[math] G(z) = 1 -4z + 6zG(z)-8z^2G(z) + \dfrac<(1-z)^2>.\\ [/math]

Это уравнение для производящей функции. Из него выражаем [math]G(z)[/math] :
[math] G(z) = \dfrac<1-6z+11z^2-5z^3><(1-6z+8z^2)(1-z)^2>. [/math]

Дальше мы знаем что делать со всеми этими дробями, кроме, разве лишь, первой. Рассмотрим её (без множителя) подробнее:
[math] \dfrac<1> <(1-z)^2>=(1-z)^ <-2>=\displaystyle\sum_^<\infty>\binom<-2>(-z)^n=\displaystyle\sum_^<\infty>(-1)^n\binom<1>(-z)^n =\displaystyle\sum_^<\infty>(n+1)z^n. [/math]

Источник

Числовая последовательность

п.1. Формулы числовых последовательностей

Запишем несколько первых чётных чисел и пронумеруем их:

Этот ряд бесконечен, но, глядя на таблицу, его легко задать формулой: \begin \mathrm> \end

Теперь, пользуясь формулой, для любого порядкового номера n мы сможем найти соответствующее чётное число.

Для обозначения членов последовательности и их индексов можно использовать разные буквы: x₁, x₂, . x_m. ; a₁, a₂, . a_k. ; A₁, A₂, . A_s. и т.д.

Например:
Найти 1й, 3й и 4й члены последовательности, заданной формулой \(\mathrm>\) $$ \mathrm< y_1=\frac<1-1><1+1>=0,\ \ y_3=\frac<3-1><3+1>=\frac12,\ \ y_4=\frac<4-1><4+1>=\frac35 > $$

п.2. Задание последовательностей описанием

Последовательность, заданную формулой y_n=2n, можно задать описанием как «последовательность чётных чисел».

Последовательность, заданную формулой \(\mathrm>\), можно задать описанием как «последовательность дробей, числитель которых на 1 меньше индекса, а знаменатель на 1 больше индекса последовательности».

Кроме того, существуют такие последовательности, которые можно задать только описанием.

Например:
1. Последовательность простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …

2. Последовательность десятичных приближений числа \(\mathrm<\sqrt<3>>\) по недостатку:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,7302050; 1,73020508,…

п.3. Рекуррентные формулы числовых последовательностей

Важнейшим классом числовых последовательностей, которые широко используются в алгоритмах вычислительной математики, являются рекуррентные отношения (от латинского слова recurrere – возвращаться).

Например:
Найти y₅, если y₁ = 1, y_n = 2y_n-1 + 1
Проводим последовательные вычисления:
y₂ = 2y₁ + 1 = 3, y₃ = 2y₂ + 1 = 7, y₄ = 2y₃ + 1 = 15, y₅ = 2y₄ + 1 = 31
Интересно, что, если присмотреться, эту последовательность можно также задать аналитически: y_n = 2 n – 1.

п.4. Свойства числовых последовательностей

Например:
Последовательность квадратов натуральных чисел y_n = n 2 возрастающая:

Например:
Последовательность дробей с индексом в знаменателе \(\mathrm\) – убывающая: $$ 1\gt\frac12\gt\frac13\gt. \gt\frac1n\gt. $$

Например:
Последовательность отрицательных дробей с индексом в знаменателе \(\mathrm\) ограничена сверху числом M = 0: $$ -1\lt 0,\ \ -\frac12\lt 0,\ \ -\frac13\lt 0. \ \ -\frac1n\lt 0, . $$

Например:
Последовательность дробей с индексом в знаменателе \(\mathrm\) ограничена снизу числом M = 0: $$ -1\gt 0,\ \ \frac12\gt 0,\ \ \frac13\gt 0. \ \ \frac1n\gt 0, . $$

Например:
Последовательность дробей с индексом в знаменателе \(\mathrm\) ограничена: $$ 1\gt \frac12\gt \frac13\gt . \gt \frac1n\gt . \gt 0 $$ Верхней границей является M = 1, нижней границей K = 0.

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите первые 4 члена последовательности, заданной формулой
a) \(\mathrm<2n-1>>\)

Пример 2. Найдите первые 4 члена последовательности, заданной рекуррентной формулой
a) y₁ = 3, y_n = 3y_n – 1

Пример 3*. Укажите какую-либо формулу для n-го члена числовой последовательности

а) 3, 5, 7, 9, .
Это – последовательность нечётных чисел, для которой:
y_n = 2n + 1

б) 5, -5, 5, -5.
Это – знакопеременная последовательность, для которой модуль всегда равен 5, а знак меняется. Изменение знака можно записать как степень (–1). Учитывая, что нечётные члены последовательности положительные, а чётные – отрицательные, получаем:
y_n = (–1) n+1 · 5

в) \(\mathrm<\frac<1><1\cdot 2>,\ \ \frac<1><2\cdot 3>,\ \ \frac<1><3\cdot 4>. >\)
Это – последовательность дробей, у которых в знаменателе произведение текущего индекса n на следующий индекс (n + 1):
\(\mathrm>\)

г) 2, 5, 10, 17, 26, 37, .
Заметим, что

5 — 2 = 3, 10 — 5 = 5, 17 — 10 = 7, 26 — 17 = 9, .

Каждый последующий член отличается от предыдущего на возрастающее нечётное число. Можем записать рекуррентную формулу:
y₁ = 2, y_n = y_n-1 + (2n –1)

Пример 4*. Пифагор изучал последовательность «треугольных» чисел, которые можно задать следующими геометрическими фигурами:

и т.д.
Задайте эту последовательность 1) рекуррентной формулой; 2) аналитической формулой.

1) Запишем последовательность в явном виде, как это следует из чертежа: $$ \mathrm< y_1=1,\ \ y_2=\underbrace<1>_+2=3,\ \ y_3=\underbrace<1+2>_+3=6,\ \ y_4=\underbrace<1+2+3>_+4=10 > $$ Отсюда получаем следующую рекуррентную формулу: y₁ = 1, y_n = y_n-1 + n

2) Для произвольного члена последовательности:

y_n = 1 + 2 + 3 + . + (n — 2) + (n — 1) + n

Найдём эту сумму. Для этого запишем выражение наоборот:

y_n = n + (n — 1) + (n — 2) + . + 3 + 2 + 1

Источник