Задачу решить способом замены плоскостей проекций

Основные задачи, решаемые способом замены плоскостей проекций

Применение способа замены плоскостей проекций для решения различных задач (позиционных и метрических) основывается на четырёх основных задач.

Задача 1. Сделать прямую l(l₁,l₂) общего положения прямой уровня в новой системе плоскостей проекций.

Зададим на чертеже прямую l общего положения отрезком АВ(А₁В₁, А₂В₂) в соответствии с рисунком 1.4.6.

Рисунок 1.4.6 – Решение первой и второй основных задач

способом замены плоскостей проекций

Используя возможность свободного выбора положения оси проекций, т.е. базы отсчёта, проведём эту ось через точку А_2. Тогда высота точки А равна нулю. Чтобы прямая l стала линией уровня относительно новой плоскости проекций, плоскость П₄ должна быть параллельна l. Перейдём от системы (П₁, П₂) к системе (П₁, П₄). Новую ось х₁₄ надо провести параллельно l₁. Для построения новой проекции прямой l проведём новые линии связи, перпендикулярные оси х₁₄, и отметим на них проекции точек А и В: А₄ на оси х₁₄, поскольку h А =0, и В₄ на высоте h В =В₁₄В₄=В₁₂В₂. Соединив найденные точки, получим новую проекцию прямой l: l₄(А₄В₄).

Таким образом, прямая l(l₁,l₄) в новой системе плоскостей проекций (П₁, П₄) является линией уровня, поэтому отрезок А₄В₄ равен натуральному отрезку АВ, а угол a, образованный проекцией А₄В₄ с осью х₁₄ равен натуральной величине угла наклона прямой l(АВ) к горизонтальной плоскости проекций П₁.

Задача 2. Сделать прямую l общего положения в новой системе плоскостей проекций проецирующей прямой в соответствии с рисунком 1.4.6.

Для преобразования прямой l в проецирующую прямую надо сначала решить первую задачу, рассмотренную выше, затем заменить ещё одну плоскость проекций, перейдя от системы (П₁, П₄) к системе (П₄, П₅).

Новую плоскость проекций П₅ выбираем перпендикулярно к плоскости проекций П₄ и одновременно перпендикулярно к прямой АВ (это возможно, поскольку АВ||П₄), добиваясь этим, что прямая АВ становится проецирующей

На чертеже новую ось проекций надо провести перпендикулярно к А₄В₄ (х₄₅^А₄В₄). Следовательно, линии связи А₄А₅ и В₄В₅ будут в данном случае совпадать с прямой А₄В₄. Откладывая на линии связи от новой оси х₄₅ отрезок v l , равный глубине точек прямой l относительно плоскости П₄, получим проекцию заданной прямой на плоскость П₅ в виде точки l₅ºА₅ºВ₅.

Задача 3. Сделать плоскость Q общего положения проецирующей плоскостью в новой системе плоскостей проекций в соответствии с рисунком 1.4.7.

Зададим на чертеже плоскость общего положения Q треугольником АВС(А₁В₁С₁, А₂В₂С₂). Чтобы сделать плоскость Q проецирующей, надо заменить плоскость П₂ новой плоскостью П₄, выбрав её перпендикулярной к Q.

Для этого проведём в плоскости Q горизонталь h(h₁, h₂) и новую плоскость проекций П₄ выберем перпендикулярной к этой горизонтали, а, значит, перпендикулярной и к незаменяемой плоскости проекций П₁. Тогда горизонталь h, а вместе с ней и данная плоскость Q, станут проецирующими относительно плоскости П₄.

На комплексном чертеже проводим новую ось х₁₄ перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали: х₁₄^h₁. Для удобства старую ось выбираем проходящей через самую низкую точку С₂ (при этом х₁₂^С₁С₂). Строим на соответствующих новых линиях связи новые проекции точек А₄, В₄, С₄, которые располагаются на одной прямой – новой проекции плоскости Q(Q₄)

Итак, плоскость Q(АВС) стала проецирующей. Угол j, образованный проекцией плоскости А₄В₄С₄ с осью х₁₄ равен натуральной величине угла наклона плоскости Q к горизонтальной плоскости проекций П₁.

Задача 4. Сделать плоскость Q общего положения плоскостью уровня в новой системе плоскостей проекций в соответствии с рисунком 1.4.7.

Для преобразования плоскости Q в плоскость уровня надо сначала решить третью задачу, рассмотренную выше. Затем надо перейти от системы плоскостей проекций (П₁, П₄) к новой системе (П₄, П₅), т.е. заменить плоскость П₁ новой плоскостью П₅, параллельной плоскости Q. Для этого на чертеже нужно провести новую ось х₄₅, параллельную Q₄ или совпадающую с ней. Выберем второй вариант. На линиях связи А₄А₅ и С₄С₅ (эти линии перпендикулярны х₄₅) откладываем отрезки А₄А₅=А₁₄А₁ и С₄С₅=С₁₄С₁; точка В₅ совпадает с В₄. Соединив точки, получаем новую проекцию А₅В₅С₅ плоскости АВС.

Рисунок 1.4.7 – Решение третьей и четвёртой основных задач

Источник

58. Способ замены плоскостей проекций

Сущность этого способа заключается в том, что заменяют одну из плоскостей на новую плоскость, расположенную под любым углом к ней, но перпендикулярную к незаменяемой плоскости проекции. Новая плоскость должна быть выбрана так, чтобы по отношению к ней геометрическая фигура занимала положение, обеспечивающее получение проекций, в наибольшей степени удовлетворяющих требованиям условий решаемой задачи. Для решения одних задач достаточно заменить одну плоскость, но если это решение не обеспечивает требуемого расположения геометрической фигуры, можно провести замену двух плоскостей.

Применение этого способа характеризуется тем, что пространственное положение заданных элементов остается неизменным, а изменяется система плоскостей проекций, на которых строятся новые изображения геометрических образов. Дополнительные плоскости проекций вводятся таким образом, чтобы на них интересующие нас элементы изображались в удобном для конкретной задачи положений.

Рассмотрим решение четырех исходных задач способом замены плоскостей проекций.

1. Преобразовать чертеж прямой общего положения так, чтобы относительно новой плоскости проекций прямая общего положения заняла положение прямой уровня.

Новую проекцию прямой, отвечающей поставленной задаче, можно построить на новой плоскости проекций П₄, расположив ее параллельно самой прямой и перпендикулярно одной из основных плоскостей проекций, т. е. от системы плоскостей П₁_|_П₂ перейти к системе П₄ _|_ П₁ или П₄ _|_ П₂. На чертеже новая ось проекций должна быть параллельна одной из основных проекций прямой. На рис. 108 построено изображение прямой l (А, В) общего положения в системе плоскостей П₁ _|_ П₄, причем П₄ || l. Новые линии связи A₁A₄ и В₁В₄проведены

перпендикулярно новой оси —П₁/П₄ параллельной горизонтальной проекции l₁.

Новая проекция прямой дает истинную величину А₄В₄отрезка АВ (см. § 11) и позволяет определить наклон прямой к горизонтальной плоскости проекций (а = L₁П₁). Угол наклона прямой к фронтальной плоскости проекций (b = L₁П₂) можно определить, построив изображение прямой на другой дополнительной плоскости П4_|_П₂ (рис. 109).

2. Преобразовать чертеж прямой уровня так, чтобы относительно новой плоскости проекций она заняла проецирующее положение.

Чтобы на новой плоскости проекций изображение прямой было точкой (см. § 10), новую плоскость проекций нужно расположить перпендикулярно данной прямой уровня. Горизонталь будет иметь своей проекцией точку на плоскости П₄_|_ П₁. (рис. 110), а фронталь f— на П₄_|_ П₂

Если требуется построить вырожденную в точку проекцию прямой общего положения, то для преобразования чертежа потребуется произвести две последовательные замены плоскостей проекций. На рис. 111 исходный чертеж прямой l (А,В) преобразован следующим образом: сначала построено изображение прямой на плоскости П₄_|_ П₂, расположенной параллельно самой прямой l. В системе плоскостей П₂_|_ П₄, прямая заняла положение линии l уровня (А₂А₄ _|_П₂/П₁;

П₄ _|_П₅, причем вторая новая плоскость проекций П₅ перпендикулярна самой прямой l. Так как точки А и В прямой находятся на одинаковом расстоянии от плоскости П₄, то на плоскости П₅ получаем изображение прямой в виде точки (А₅ = B₅ = l₅).

3. Преобразовать чертеж плоскости общего положения так, чтобы относительно новой плоскости она заняла проецирующее положение.

Для решения этой задачи новую плоскость проекций нужно расположить перпендикулярно данной плоскости общего положения и перпендикулярно одной из основных плоскостей проекций. Это возможно сделать, если учесть, что направление ортогонального проецирования на новую плоскость проекций должно совпадать с направлением соответствующих линий уровня данной плоскости общего положения. Тогда все линии этого уровня на новой плоскости проекций изобразятся точками, которые и дадут «вырожденную» в прямую проекцию плоскости (см. § 47).

На рис. 112 дано построение нового изображения плоскости 0 (ABC) в системе плоскостей П₄ _|_П₁. Для этого в плоскости 0 построена горизонталь h(A, 1), и новая плоскость проекций П₄ расположена перпендикулярно горизонтали h. Графическое решение третьей исходной задачи приводят к построению изображения плоскости в виде прямой линии, угол наклона которой к новой оси проекции П₁/П₄, определяет угол наклона а плоскости Q(ABC) к горизонтальной плоскости проекций (а = Q ^ П₁).

Построив изображение плоскости общего положения в системе П₂ _|_П₄, (П₄ расположить перпендикулярно фронтали плоскости),

можно определить угол наклона Р этой плоскости к фронтальной плоскости проекций.

4. Преобразовать чертеж проецирующей плоскости так, чтобы относительно новой плоскости она заняла положение плоскости уровня.

Решение этой задачи позволяет определить величину плоских фигур.

Новую плоскость проекций нужно расположить параллельно заданной плоскости. Если исходное положение плоскости было фронтально проецирующим, то новое изображение строят в системе и П₂ _|_П₄, а если горизонтально проецирующим, то в системе П₁ _|_П₄. Новая ось проекций будет расположена параллельно вырожденной проекции проецирующей плоскости (см. § 47). На рис. 113 построена новая проекция А₄В₄С₄горизонтально проецирующей плоскости Sum (ABC) на плоскости П₄ _|_П₁

Если в исходном положении плоскость занимает общее положение, а нужно получить изображение ее как плоскости уровня, то прибегают к двойной замене плоскостей проекций, решая последовательно задачу 3; а затем задачу 4. При первой замене плоскость становится проецирующей, а при второй — плоскостью уровня (рис. 114).

В плоскости А(DEF) проведена горизонталь h (D — 1). По отношению к горизонтали проведена первая ось П₁ / П₄ _|_h₁. Вторая новая ось

проекций параллельна вырожденной проекции плоскости, а новые линии связи — перпендикулярны вырожденной проекции плоскости. Расстояния для построения проекций точек на плоскости П₅ нужно замерить на плоскости П₁от оси П₁ / П₂и откладывать по новым линиям связи от новой оси П₄ /П₅. Проекция D₅E₅F₅треугольника DEF конгруэнтна самому треугольнику ABC.

С применением способа замены плоскостей можно решать ряд других задач как самостоятельных, так и отдельных частей задач, включающих большой объем графических решений.

Источник