Проект для НПК учащихся 10 кл «Графический способ решения заданий с параметром»
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Копьёвская средняя общеобразовательная школа
с углублённым изучением отдельных предметов»
(графический способ решения заданий с параметром)
Гришкевич Максим Игоревич,
Козлов Андрей Алексеевич,
учащиеся 10 класса
Загородних Ольга Иосифовна,
п. Копьёво, 2018 г.
2. Методы решения уравнений с параметром.……………………………. …4
3. Графический способ решения задач с параметром
3.1. Метод «движущейся» прямой….………………………………………..4
3.2. Метод «вращающейся» прямой………………………………………. 6
3.3. Другие «живые» графики
4. Тренировочные задания. ……………………………………………………13
Задачи с параметром играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры, но их решение вызывает значительные затруднения у школьников. Трудности решения такого рода задач вызваны прежде всего тем, что в любом случае, даже при решении простейших уравнений и неравенств, содержащих параметры, приходится производить ветвление всех значений параметров на отдельные классы, при каждом из которых задача имеет решение. При этом следует четко и последовательно следить за сохранением равносильности решаемых уравнений или неравенств с учетом области определения выражений, входящих в уравнение или неравенство, а также учитывать выполнимость производимых операций.
В материалах ЕГЭ предлагаются задания, содержащих параметр. Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, так как с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления и математической культуры.
Мы попросили выпускников 11 класса ответить на вопрос: «Какое задание ЕГЭ по математике профильного уровня для вас является самым сложным?» Большинство из них указали на задание №18, задание с параметром. Сложность этого задания ещё и в том, что нет единого алгоритма решения, подходящего для каждого случая. Но есть способы решения, которые могут помочь при решении некоторых из них.
Часто графическое решение является наиболее приемлемым при решении заданий с параметром, так как графическая иллюстрация позволяет сократить перебор различных случаев, который пришлось бы выполнить при аналитическом решении. Чтобы овладеть графическим способом, нужно уметь строить графики функций и уравнений, а также знать все преобразования графиков.
Объект исследования: задания с параметром.
Предмет исследования: графический способ решения заданий с параметром.
Цель исследования: изучение графического способа решения заданий с параметром.
Задачи исследования: рассмотреть графический способ решения уравнений и систем уравнений с параметром; показать применение этого способа при решении заданий №18 ЕГЭ по математике профильного уровня; подобрать тренировочные задания для отработки графического метода решения заданий с параметром.
Гипотеза исследования: графический способ облегчает решение некоторых заданий с параметром.
Параметр – независимая переменная, значение которой считается фиксированным или произвольным числом, или числом, принадлежащим заданному условием задачи промежутку.
Уравнение с параметром – математическое уравнение, внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.
Решить уравнение с параметром означает для каждого значения параметра найти значения х , удовлетворяющие этому уравнению, а также:
1) исследовать, при каких значениях параметра уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметра;
2) найти все выражения для корней и указать для каждого их них те значения параметра, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.
Методы решения уравнений с параметром
Аналитический – способ прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в уравнении без параметра.
Графический – способ, при котором в зависимости от условия задачи рассматривается положение графика соответствующей функции или соответствующего уравнения в системе координат.
Графический способ определения числа корней или нахождения корней уравнения или системы уравнений в зависимости от параметра является более удобным, чем аналитический.
Графический способ решения заданий с параметром
1) Метод «движущейся» прямой
Данный метод заключается в том, что мы мысленно двигаем прямую у = а вдоль оси ОУ и смотрим, в каких точках она пересекает построенный график.
При каких значениях параметра а уравнение | х 2 – 2 х — 3| = а уравнение имеет три корня?
Построим графики функций:
а ) у = | х 2 – 2 х — 3|, график – отображение параболы у = х 2 – 2 х – 3 симметрично относительно оси ОХ;
б ) графиком функции у = а является прямая, параллельная оси ОХ , проходящая через точку (0; а ).
С изменением параметра а прямая перемещается по прямой х = 0. Уравнение имеет столько решений, сколько общих точек имеют графики. Графики могут не иметь общих точек, иметь две, три или четыре общие точки.
Источник
Задачи с параметрами с решением графическим способом
Покажем, как задачи с параметрами можно решать графически.
Найдём количество решений уравнения
в зависимости от $$ a$$.
Искомое количество решений совпадает с числом точек пересечения графиков функций
 |
График первой функции получается из графика функции, который был построен в предыдущем примере. Для этого нужно воспользоваться преобразованием вида ПР1 то есть график $$ y=
Графиком функции $$ y=a$$ будет прямая, параллельная оси $$ Ox$$ (рис. 43). При этом она пересекает ось ординат в точке $$ (0,a)$$. Легко видеть, что при $$a 3$$ прямая $$ y=a$$ не имеет пересечений с графиком $$ y=
При $$ a\in (-\infty ;0)\bigcup (3;+\infty )$$ решений нет, при $$ a\in [0;\sqrt<5>)\bigcup \left\<3\right\>$$ – два решения, при $$ a\in \left\<\sqrt<5>\right\>$$ – три решения, при $$ a\in (\sqrt<5>;3)$$ – четыре решения.
Найдём количество решений уравнения в зависимости от $$ a$$:
 |
Методом интервалов нетрудно построить график функции
Количество решений уравнения совпадает с числом точек пересечения этого графика с прямой $$ f\left(x\right)=a$$ (рис. 44).
Проанализировав график, несложно выписать ответ.
При $$ a\in (8;+\infty )$$ уравнение имеет 2 решения, при $$ a=8$$ уравнение имеет бесконечно много решений, при $$ a\in (-\infty ;8)$$ решений нет.
Рассмотрим ещё один пример задач с параметром, где используется построение множеств, задаваемых уравнениями с модулем. Напомним, что графиком уравнения называют линию на плоскости, на которой лежат те и только те точки, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.
Найдём количество решений системы уравнений
в зависимости от $$ a$$.
Для решения необходимо построить график уравнения $$ \left|x\right|+\left|y\right|=4$$. Это можно сделать, последовательно выполнив построения таких графиков:
График второго уравнения – окружность с центром в точке $$ O(0;0)$$ и радиусом $$ \left|a\right|$$. Изобразим оба этих графика на координатной плоскости $$ xOy$$.
Как видим, при $$|a| 4$$ графики не пересекаются. При $$ \left|a\right|=2\sqrt<2>$$ или $$ \left|a\right|=4$$ есть 4 точки пересечения. При остальных $$ a$$ есть 8 точек пересечения. Таким образом, можно сформулировать ответ.
При $$ a\in (-\infty ;-4)\cup (-2\sqrt<2>;2\sqrt<2>)\cup (4;+\infty )$$ система не имеет решений;
при $$ a\in \<-4;-2\sqrt<2>;2\sqrt<2>;4\>$$ система имеет 4 решения;
при $$ a\in (-4;-2\sqrt<2>)\cup (2\sqrt<2>;4)$$ система имеет 8 решений.
В следующей задаче нам потребуется понятие локального экстремума функции. Говорят, что функция $$ y=f\left(x\right)$$ имеет локальный максимум в точке $$
Рассмотрим пример использования этого правила в задаче.
Найдём все значения параметра $$ a$$, при которых система
имеет хотя бы одно решение.
Неравенство системы после выделения полных квадратов можно записать в виде $$
 |
Это уравнение задаёт окружность $$ L$$ радиуса $$ \left|a\right|$$ с центром в точке $$ M(0;1)$$, или точку $$ (0;1)$$ при $$ a=0$$. Исходная система имеет хотя бы одно решение при тех значениях $$ a$$, при которых окружность $$ L$$ имеет общие точки с множеством $$ E$$. При этом ввиду симметричного расположения соответствующих пар кругов относительно оси ординат достаточно выяснить, при каких значениях $$ a$$ окружность $$ L$$ имеет общие точки с кругами, центрами которых являются точки $$
При $$ 4\le \left|a\right|\le 6$$ окружность с центром $$ M$$ имеет общие точки с кругом $$ <\omega >_<1>$$ , а при $$ \sqrt<41>-1\le \left|a\right|\le \sqrt<41>+1$$ – с кругом $$ <\omega >_<2>$$.
а) Если $$b 0$$. Эта система не имеет решений при $$ a=0$$ и поэтому $$b 0$$. Теперь мы прибегнем к графическому методу. Рассмотрим два случая: $$0 1$$. Если $$b > 1$$, то $$\sqrt Эта система не имеет решений, так как прямая $$ y=x-b$$ не пересекает график функции $$ y=|
В завершении разберём несколько задач с параметрами, которые удобно решать методом областей на координатной плоскости.
Найдём все значения `a`, при каждом из которых уравнение
Рассмотрим функции `f(x)-a|x-3|` и `g(x)=5/(x+2)`.
Если построить график функции `f(x)` для разных `a` (рис. 50) и график функции `g(x)` (рис. 51), то можно без проблем исследовать на промежутке `[0;+oo)` уравнение `f(x)=g(x)`.
При `a При `a>0` функция `f(x)` возрастает на промежутке `(3;+oo)`. Функция `g(x)` убывает на этом промежутке, поэтому уравнение `f(x)=g(x)` всегда имеет ровно одно решение на промежутке `(3;+oo)`, поскольку `f(3) g(3+1/a)`. На промежутке `[0;3]` уравнение `f(x)=g(x)` принимает вид `3a-ax=5/(x+2)`. Это уравнение сводится к уравнению `ax^2-ax+(5-6a)=0`. Будем считать, что `a>0`, поскольку случай `a
Пусть уравнение имеет два корня, то есть `a>4/5`. Тогда оба корня меньше `3`, поскольку при `x>=3` значения функции `3a-ax` неположительны, а значения функции `5/(x+2)` положительны. По теореме Виета сумма корней равна `1`, а произведение равно `5/6-6`. Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку `[0;3]`, а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда, когда `5/a-6>=0`, то есть `a 5/6`;
– три корня при `4/5
В завершении разберём несколько задач с параметрами, которые удобно решать методом областей на координатной плоскости. В следующем примере будем использовать известный подход к задачам, содержащим некоторые переменные в квадрате. Суть этого подхода — рассмотрение выражения как квадратичной функции относительно какой-нибудь переменной (остальные переменные при этом считаются параметрами) с последующим использованием известных свойств квадратичной функции.
Найдём все значения параметра $$ a$$, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно три решения.
Первое уравнение данной системы равносильно совокупности двух уравнений $$ |y+9|+|x+2|=2$$ и $$
 |
Второе уравнение исходной системы при $$a > 0$$ задаёт окружность $$ \Omega $$ с центром $$ (-2;-4)$$ радиуса $$ R=\sqrt$$.
Отметим, что при $$a Рассмотрев случаи внешнего и внутреннего касания окружностей $$ \Omega $$ и $$ S$$, можно заключить, что они имеют ровно `1` общую точку при $$ R=\sqrt<20>\pm \sqrt<3>$$, ровно `2` общие точки при $$ R\in (\sqrt<20>-\sqrt<3>;\sqrt<20>+\sqrt<3>)$$ и ни одной общей точки при остальных $$ R$$. Поскольку центры окружности $$ \Omega $$ и квадрата $$ G$$ лежат на прямой $$ x=-2$$, то $$ \Omega $$ и $$ G$$ имеют ровно `1` общую точку при $$ R=3$$ или $$ R=7$$, ровно `2` общие точки при $$ R\in (3;7)$$ и ни одной общей точки при остальных значениях $$ R$$. Для того чтобы у системы было 3 решения, необходимо и достаточно, чтобы окружность $$ \Omega $$ имела `2` общие точки с квадратом $$ G$$ и `1` общую точку с окружностью $$ S$$ или наоборот. Рассмотрим значения $$ R$$, при которых окружность $$ \Omega $$ имеет с квадратом $$ G$$ или окружностью $$ S$$ ровно `1` общую точку.
1) $$ R=\sqrt<20>+\sqrt<3>$$. Тогда есть ровно `1` общая точка с окружностью $$ S$$, и ровно `2` общие точки с квадратом $$ G$$ (т. к. $$3 \sqrt <20>+ \sqrt<3>$$), т. е. у системы 1 решение.
Итак, подходят $$ R=3$$ и $$ R=\sqrt<20>+\sqrt<3>$$. Тогда искомые значения параметра $$ a=<3>^<2>=9$$ и $$ a=(\sqrt<20>+\sqrt<3><)>^<2>=23+4\sqrt<15>$$.
Источник
