Задачи по способу моментов

Содержание

Задача №3 Вычисление средней арифметической по способу моментов.
Метод моментов
Пример:

Задача №3 Вычисление средней арифметической по способу моментов.

Используя данные сгруппированного вариационного ряда рассчитайте среднюю арифметическую по способу моментов.

Длительность лечения в днях (V)	Количество больных (p)
2-6
7-11
12-16
17-21
22-26
27-31

А – условная средняя (чаще других повторяющаяся в вариационном ряду)

а – условное отклонение от условной средней (ранг)

1-ый этап — определение середины групп;

2-ой этап – ранжирование групп: 0 присваивается группе, частота встречаемости врианты в которой – наибольшая. Т.е. в данном случае 7-11 (частота -32). Вверх от данной группы ранжирование производится прибавляя (-1). Вниз – прибавка (+1).

3-ий этап – определение условной моды (условная средняя). А –это середина модального интервала. В нашем случае модальным интервалом является 7 -11, таким образом А = 9.

4-ый этап –определение интервала. Интервал во всех группах ряда одинаков и равен 5. i = 5/

5-й этап –определение общего числа наблюдений. n = ∑p = 103.

Длительность лечения в днях (V)	Середина группы	Количество больных (p)	Условное отклонение в интервалах (а)	Произведение отклонения и частоты (a*p)
2-6	-1	-21
7-11
12-16	+1
17-21	+2
22-26	+3
27-31	+4

Подставляем, полученные данные в формулу:

Задания для самостоятельной работы

Вариант №1

Длительность лечения в стационаре (в днях)	Число больных (р)
20-22
23-25
26-28
29-31
32-34
35-37

Вариант №2

Число дней нетрудоспособности	Число больных (р)
3-5
6-8
9-11
12-14
15-17
18-20

Вариант №3

Возраст долгожителей	Количество долгожителей
82-84
85-87
88-90
91-93
94-96
97-99

Вариант №4

Длительность нетрудоспособности (в днях)	Количество больных
2-6 дней
7-11 дней
12-16 дней
17-21 день
22-26 дней
27-31 день

Вариант №5

Частота пульса	Число студентов
58-60
61-63
64-66
67-69
70-72
73-75
76-78
79-81

Вариант №6

Длительность лечения в стационаре (в днях)	Число студентов
11-13
14-16
17-19
20-22
23-25
26-28
29-31
32-34

Вариант №7

Частота дыхания	Число больных (р)
9-11
12-14
15-17
18-20
21-23
24-26

Вариант №8

Систолическое давление	Число больных
80-88
89-97
98-106
107-115
116-124
125-133
134-142
143-151

Вариант №9

Рост (см)	Число студентов
154-158
159-163
164-168
169- 173
174-178
179-184
185-189

Вариант №10

Масса тела (кг)	Число больных
48-52
53-57
58-62
63-67
68-72
73-77
78-82
83-87

Вариант №11

Сроки стационарного лечения (в днях)	Число больных
6-7
8-9
10-11
12-13
14-15
16-17
18-19
20-21

Вариант №12

Длительность нетрудоспособности (в днях)	Количество больных
2-4
5-7
8-10
11-13
14-16
17-19
20-21
22-23

Задача №4 Определение моды и медианы в не сгруппированном вариационном ряду с нечетным количеством вариант

На основе данных, приведенных в задании, требуется найти моду и медиану

Сроки стационарного лечения больных детей в днях: 15, 14, 18, 17, 16, 20, 19, 16, 14, 16, 17, 12, 18, 19, 20.

Для определения моды в вариационном ряду ранжирование ряда необязательно. Однако, прежде чем определять медиану, необходимо выстроить вариационный ряд в порядке возрастания или убывания.

12, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20.

Мода = 16. Т.к. вариант 16 встречается наибольшее число раз (3 раза).

В случае если вариант, имеющих наибольшую частоту встречаемости несколько, то в вариационном ряду может быть указано две и более Моды.

Медиана в ряду с нечетным количеством определяется по формуле:

8 –это порядковый номер медианы в ранжированном вариационном ряду,

Задача №5 Определение моды и медианы в не сгруппированном вариационном ряду с четным количеством вариант.

На основе данных, приведенных в задании, требуется найти моду и медиану

Сроки стационарного лечения больных детей в днях: 15, 14, 18, 17, 16, 20, 19, 16, 14, 16, 17, 12, 18, 19, 20, 11

Строим ранжированный вариационный ряд:

11, 12, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20

У нас имеется два срединных числа 16 и 17. В таком случае медиана находится как среднее арифметическое между ними. Me = 16,5.

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.

Источник

Метод моментов

Содержание:

Примеры с решением

Метод моментов

Метод моментов, предложенный английским статистиком Карлом Пирсоном в 1894 г., заключается в приравнивании определенного числа выборочных моментов к соответствующим теоретическим, которые являются функциями неизвестных параметров Рассматривая количество моментов, равное числу к неизвестных параметров, подлежащих определению, и решая полученные уравнения относительно этих параметров, получаем искомые оценки. Иначе говоря, оценки параметров являются решениями систем уравнений или , для некоторых

Метод моментов содержит неопределенность, поскольку можно получить уравнения для неизвестных параметров , используя как начальные, так и центральные моменты, а также некоторые их модификации типа асимметрии или эксцесса.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теории вероятности:

Пример:

Функция

задает плотность распределения Рэлея (см. § 6.4). Требуется оценить параметр по выборке

Найдем оценку параметра 0, приравнивая начальные выборочные и теоретические моменты. Первый начальный момент

имеет вид: Приравнивая, получаем первую оценку параметра:

Приравнивая вторые начальные моменты, можем получить другую оценку: из уравнения, которое получитсяся при использовании второго центрального момента (дисперсии), — третью оценку:

Часто полагают, что для нахождения оценки одного параметра следует брать первый момент, для двух — первые два момента и т.п. По возможности действительно имеет смысл поступать так, поскольку это проще всего. Однако такой подход годится не всегда. Он не проходит, например, если некоторые моменты равны нулю или не зависят от нужных параметров.

В общем случае система уравнений для моментов может не иметь решения в элементарных функциях (и тогда можно искать решение приближенными методами) или вообще оказаться неразрешимой (несовместной).

Оценки, полученные методом моментов, часто оказываются смешенными. К достоинствам метода моментов следует отнести его простую вычислительную реализацию, а также то, что оценки являются функциями от выборочных моментов.

В силу теоремы Слуцкого любая непрерывная функция от выборочных моментов функции сходится по вероятности к постоянной, получаемой подстановкой в эту функцию теоретических моментов, если они существуют и если получаемая таким образом постоянная конечна. Для определенности рассмотрим функцию от двух моментов (начальных или центральных), хотя ее можно обобщить на любое конечное число аргументов, в том числе и на случай, когда Н зависит только от одного аргумента.

Теорема 1. (Крамера). Пусть в некоторой окрестности точки функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого и второго порядка:

Тогда для любой выборки, по которой найдены оценки , случайная величина асимптотически нормальна при следующими параметрами:

Иногда оценки, получаемые с помощью метода моментов, принимаются в качестве первого приближения, по которому можно построить другими методами оценки более высокого качества.

Оценки метода моментов используются также, когда существует необходимость оценить не сами параметры распределения (которые часто представляют собой некие абстракции), а определенные практически значимые показатели, зависящие от этих параметров функционально: . Самый простой (хотя и не самый точный) способ такого оценивания — подставить полученные оценки в соответствующую функцию:

Если распределение определяется одним параметром, то для построения оценки один теоретический момент приравнивают к одному эмпирическому моменту того же порядка (обычно первого).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Источник