Задачи по экономике способы решения

Доклад «Общая схема решения экономических задач профильного ЕГЭ по математике»

Краснодарский край, г. Сочи

ОБЩАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ

Научный руководитель: Ильина Зоя Николаевна, у читель математики МОБУ СОШ №13

ГЛАВА 1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПРОЦЕНТА.…… …………… …..….…….…5

ГЛАВА 2. ПРОЦЕНТЫ В МАТЕМАТИКЕ…………………..……….………..……………6

2.3.Три основные задачи на дроби..…………………………………….……………8

ГЛАВА 3.СХЕМА РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ. …………………………….…….…9

ГЛАВА 4. РАСЧЕТ БАНКОВСКИХ КРЕДИТОВ. ВЫВОД ФОРМУЛ……………………12

Вывод формул для решения задач на равные размеры выплат. ………………12

Решение задач на сокращение остатка на одну долю от целого……………. 18

Общая схема решения задач……………………………………………………..25

ГЛАВА 5: ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ…….…………………….28

В связи с преобразованием России из системы централизованного планирования в экономику рыночной ориентации экономические знания стали необходимыми как в профессиональной сфере, так и в повседневной жизни. Сегодня жизнь настоятельно требует, чтобы выпускник имел развитое экономическое мышление и был готов к жизни в условиях рыночных отношений.

Эффективному постижению азов экономики поможет решение задач, в содержании которых идет речь о процентах. Решение многих задач школьного курса, нестандартных задач, практических задач помогает разобраться в новых экономических веяниях жизни.

Понятие «проценты» буквально вошло в нашу жизнь. Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи. Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков как экономичность, расчетливость.

. Учащихся при подходе к итоговой аттестации в 9-х и 11-х классах сталкиваются с проблемой решения задач на проценты, а они есть в ЕГЭ. На данный момент я являюсь ученицей 11 класса. Как и многим другим учащимся, мне предстоит сдать ЕГЭ. Ещё с 10 класса я была ознакомлена с заданиями данного экзамена. Среди них оказались задачи экономической направленности повышенного уровня сложности, которые в курсе старшей общеобразовательной школы не рассматриваются. Для меня стал актуален вопрос: каким образом подойти к решению таких задач?

Проблема: практические задачи задания № 17 сложны для обучающихся отсутствием унифицированных формул в курсе математики школьной программы.

Гипотеза: существует множество видов «экономических» задач на проценты и способов их решения, но их можно объединить по типам для облегчения усвоения материала.

Работа посвящена исследованию экономических задач и выводу единой схемы для их решения.

Данная работа может представлять интерес для всех, кто сталкивается с математическими расчетами. Кроме того, при решении задачи удалось вывести общую схему решения задач, которую можно будет применять в последующих жизненных ситуациях.

научиться понимать и использовать информацию, представленную в процентах;

обобщить методы решения задач с экономическим содержанием повышенного уровня сложности;

сформировать навыки перевода реальных предметных ситуаций в различные математические модели;

облегчить работу по подбору задач экономического содержания

изучить теоретические аспекты решения «экономических» задач;

познакомиться с видами «экономических» задач из сборников для подготовки к ЕГЭ 2015, 2016, 2017, 2018 гг. и открытого банка задач по математике;

углубить знания по теме проценты;

рассмотреть различные способы решения задач;

выявить структуру экономических задач на проценты;

провести анализ решений;

обобщить и систематизировать способы решения задач.

«Экономические» задачи на проценты повышенного уровня сложности.

Методы решения задач на проценты повышенного уровня сложности.

поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, интернета;

исследовательский метод при определении видов задач, их решения различными способами;

практический метод решения задач;

анализ полученных в ходе исследования данных.

ГЛАВА 1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПРОЦЕНТА

Процент[1] (лат. per cent «на сотню; сотая») – сотая часть числа, обозначаемся знаком «%». Используют как обозначение соотношения доли чего-либо к целому.

В Древнем Риме, задолго до существования десятичной системы счисления, вычисления часто производились с помощью дробей, которые были кратны 1/100. При деноминации валюты в средние века вычисления со знаменателем 100 стали более привычными, а с конца XV века до начала XVI века данный метод расчёта стал повсеместно использоваться, судя по содержанию изученных материалов, содержащих арифметические вычисления. Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в 1584 г. Симон Стевин — инженер из города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий, в том числе — особой записи десятичных дробей. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Во многих из этих материалов данный метод применялся для расчёта прибыли и убытка, процентных ставок, а также в правиле трёх, которое широко применялось индийскими математиками. В XVII веке данная форма вычислений стала стандартом для представления процентных ставок в сотых долях.

В России понятие процента впервые ввёл Пётр I. Но считается, что подобные вычисления начали применяться в Смутное время, как результат первой в мировой истории привязки чеканных монет 1 к 100, когда рубль сначала состоял из 10 гривенников, а позже из 100 копеек

Наибольшую популярность проценты приобрели в банковской сфере. Прообразом современных банковских учреждений стали банки, которые основались в Венеции с 1171 года. В России такие банки появились в 1774 году. Эти банки давали деньги в долг королям, купцам, ремесленникам, они финансировали дальние путешествия, строительство крупных сооружений и т.п. Как и менялы в древности, банки брали плату за пользование предоставленными деньгами. Эта плата традиционно выражается в виде процентов к величине, выданной в долг сумме денег.

ГЛАВА 2. ПРОЦЕНТЫ В МАТЕМАТИКЕ

Процент — одна сотая часть величины или числа. Обозначается символом “%”.

В некоторых вопросах иногда применяют и более мелкие, тысячные доли, так называемые “промилле” ( от латинского pro mille – “с тысячи” ), обозначаемые ‰, по аналогии процентов.

Проценты -это “международный язык”: в бизнесе, в банковской системе, на производстве, в сельском хозяйстве, в быту.

В школьном курсе математики мы знакомимся с процентами в 5 классе, и уже практически с ними не расстаемся.

2.2.Проценты и дроби

С процентами мы сталкиваемся при изучении дробных чисел. Так, чтобы перевести проценты в дробь, надо разделить число на 100. Например: 2% = 2:100 = 0,02.

Чтобы перевести дробь в проценты, нужно дробь умножить на 100 и добавить знак %. Например: 0,14 = 0,14*100% = 14%.

Итак, проценты тесно связаны с обыкновенными и десятичными дробями. Поэтому стоит запомнить несколько простых равенств. В повседневной жизни нужно знать о числовой связи дробей и процентов. Так, половина — 50%, четверть — 25%, три четверти — 75%, одна пятая — 20%, а три пятых — 60%.

Знание наизусть соотношений из таблицы внизу облегчит решение многих задач.

Действия с процентами.
Проценты можно складывать и вычитать только с самими процентами. Проценты складываются и вычитаются друг с другом как обычные числа.

Например:
1% + 37% − 25% = 38% − 25% = 13%
70% − (42% + 3%) = 70% − 45% = 25%

В повседневной жизни полезно знать разные формы выражения одного и того же изменения величин, сформулированных без процентов и с помощью процентов.

Например, увеличить в 2 раза, значит увеличить на 100%. Разберёмся, почему это так.

Пусть x – это 100%.

Тогда, увеличив x в 2 раза, получим 2x

Сравним полученные результаты.

Получилось, что общее количество процентов равно 200%. Увеличить в 2 раза означает увеличить на 100% и наоборот.

Рассуждая таким же образом, можно доказать, что увеличить на 50%, значит увеличить в 1,5 раза.

Уменьшение числа также может быть выражено в процентах.
Пусть x — 100%.
Известно, что x уменьшилось на 80%. Найдём, во сколько раз уменьшилось x.
Вначале найдём, сколько процентов от x осталось.
100% − 80% = 20%
20% осталось от x. Обозначим остаток x за y.

Составим пропорцию.
По числовому коэффициенту определяем, во сколько раз уменьшился x.

Таким образом, мы установили, что уменьшить на 80%, значит уменьшить в 5 раз.

Поняв связь между процентами и “разами”, без труда можно понять, о чём так часто говорят в новостях и в газетах, приводя различные статические данные. Некоторые, наиболее часто употребляемые фразы, желательно просто запомнить, чтобы всегда точно понимать, о чём идёт речь. Список таких фраз представлен ниже.

Значение фраз “увеличить и уменьшить на . процентов”

Увеличить на 50%, значит увеличить в 1,5 раза.
на 100% → в 2 раза
на 150% → в 2,5 раза
на 200% → в 3 раза
на 300% → в 4 раза

Уменьшить на 80%, значит уменьшить в 5 раз.
на 75% → в 4 раза
на 50% → в 2 раза
на 25% → в ≈ 1,33 раза
на 20% → в 1,25 раза

2.3.Три основные задачи на проценты .

Различают три типа задач на проценты:

1. Нахождение процента от числа.

Чтобы найти процент от числа, надо проценты перевезти в дробь, а затем число умножить на эту дробь.

Задача: Предприятие изготовило за квартал 500 насосов, из которых 60 % имели высшую категорию качества. Сколько насосов высшей категории качества изготовило предприятие?

500 * 0,6 = 300 (насосов высшей категории качества).
Ответ: 300 насосов .

2. Нахождение числа по его части.

Чтобы найти число по его проценту, надо проценты перевести в дробь. Затем число поделить на эту дробь.

Задача: Ученик прочитал 138 страниц, что составляет 23 % числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге?

138 : 0, 23 = 600(страниц в книге)
Ответ: 600 (стр.) — общее количество страниц в книге.

3. Нахождение процентного отношения двух чисел

1) Найти отношение двух чисел
2) Умножить это отношение на 100 и приписать знак %

Задача. Из винтовки было сделано 50 выстрелов, при этом в цель попало 45 пуль. Сколько процентов пуль попала в цель?

Решение:
1) (попало в цель)
2)

ГЛАВА 3. СХЕМА РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ.

Не случайно были упомянуты текстовые задачи ЕГЭ по математике под № 11, т.к. решая их, я имею уже сформировавшуюся схему и алгоритм решения. Рассмотрим следующие задачи.

3.1.Задача на смеси. [2]

Смешали 4 л 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 л 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Источник

Методическая разработка «Решение «экономических задач» при подготовке к ЕГЭ»

Методическая разработка для учащихся 10-11 классов и учителей математики общеобразовательных школ

Решение «экономических» задач при подготовке к ЕГЭ

Введение

В экзаменационных заданиях по математике (профильный уровень) задача с экономическим содержанием присутствует во 2 части работы и, как правило, содержится под №17. Она относится к повышенному уровню сложности и оценивается максимально в 3 балла.

Для успешного решения подобных задач требуется не только владеть определенным математическим инструментарием, но и уметь строить простейшие математические модели по заданным условиям.

В отличие от других экзаменационных заданий, «экономические» задачи не отличаются большим разнообразием и встречаются лишь нескольких типов. В данной методической разработке разобраны все типы задач №17, которые предлагаются разработчиками ЕГЭ для подготовки к выпускным экзаменам в 2018 году.

Кроме того, для понимания учащимися требований оформления экзаменационных работ в разработке размещено решение 17-ой задачи, предоставленное автором на независимой диагностике учителей математики в 2018 году.

Оглавление

Отзывы

Задачи о вкладах и кредитовании, а также задачи оптимизации производства товаров и услуг сравнительно недавно включены во вторую часть ЕГЭ по математике профильного уровня и вызывают значительные затруднения у абсолютного большинства выпускников. В действующих в 10-11 классах учебниках нет материала по решению задач с экономическим содержанием. Автор делает весьма удачную попытку классифицировать и систематизировать типы «экономических» задач и методы их решения. Хорошо, что в разработке по каждой теме представлены задания для самостоятельного решения. Данная методическая разработка очень своевременна и полезна и для учащихся, и для учителей, занимающихся подготовкой к ЕГЭ.

Бугаенко Елена Анатольевна, учитель математики высшей категории

Мы, инженеры, сегодня не просто что-то разрабатываем, налаживаем, ремонтируем, но и постоянно просчитываем экономическую составляющую. Что выгоднее – починить или заменить, предложить новую модель или модернизировать старую, научить клиента обслуживать оборудование или взять на себя. Я считаю, что задачи на оптимальный выбор нужно начинать решать уже в школе. В конце концов, и в профессии, и в жизни сделать правильный выбор – очень важно!

Белов Александр Ефимович,

Ведущий инженер компании «Данфосс» (Дания)

В своей работе я часто сталкиваюсь с графиками, диаграммами, процентами. И мне кажется странным, что выпускники школ не владеют элементарными навыками для вычисления, например, полной суммы выплат кредита или налогов с зарплаты. На мой взгляд, представленная работа вносит свой вклад в разрешение проблемы, и автор правильно заострил внимание именно на экономической стороне стоящих задач.

Зацепин Валентин Сергеевич,

Менеджер по маркетингу и рекламе ИТ-компании «Терн»

В современной жизни важны не только знания математических формул, но и умения сотрудников применять эти знания в конкретной ситуации. Даже скажу больше: на первом месте именно умения, а не теоретические познания. Поэтому я считаю правильным делом разработку именно тех материалов, которые помогают выпускникам успешно влиться во взрослую жизнь.

Коротков Александр Андреевич,

Директор строительной компании «Афина»

ПАО «Сбербанк», где я работаю, раздает в качестве кредита около 2 триллионов рублей в год. Я вижу этот процесс изнутри, общаясь каждый день с десятком клиентов. Уверяю, что, понимая механику работы кредитной системы, никто из вас не примет невыгодного решения. Естественно, Ваша кредитная история будет привлекательной для любого банка. Но начинать думать над этим нужно уже в школе – такова современная жизнь!

Орлов Георгий Валерьевич,

Менеджер отдела кредитования ПАО «Сбербанк»

Языком цифр

Задание 17, в основном, в 2017 году представляло задачу на кредиты. Процент решаемости оказался в пределах статистики для решения подобных заданий (1 балл получило 5,35% от общего числа участников экзамена, 2 балла – 5,35%, 3 балла – 17,16%).

Основные ошибки, допущенные участниками экзамена :

– неверное составление модели;

– прекращение решения на промежуточном шаге, то есть без доведения ответа до числового значения;

– решение методом перебора без обоснования единственности;

– решение без вывода формул (решение имеет вид «формула – ответ»), что можно трактовать ка неумение строить математическую модель.

Распределение удовлетворенных апелляций по задачам с развернутым ответом:

Как видно из диаграммы, каждая четвертая задача № 17 после апелляции засчитывалась. И хотя, я считаю, что до апелляции доводить не стоит, хочется верить, что так или иначе вы свои баллы с помощью этой книжки наберете!

Типы задач с экономическим содержанием

Погашение кредита равными долями

31 декабря 2017 года Сергей взял в банке 2648000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплат кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк x рублей. Какой должна быть сумма x , чтобы Сергей выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?

Равномерное уменьшение долга по сравнению с предыдущим периодом

В январе планируется взять кредит на 5 месяцев. Условия по договору следующие:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2–го по 14-е число нужно выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца . Сколько процентов от суммы кредита составит общая сумма выплат за весь срок?

Остаток долга по заданной таблице

16 января планируется взять кредит в банке на 6 месяцев в размере 1 млн. руб. По условиям договора:

− 1-го числа месяца долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число.

− Со 2-го по 15-е число необходимо выплатить часть долга.

− 16-го числа каждого месяца долг должен составлять сумму в соответствии с таблицей:

Найдите наибольшее r , при котором сумма выплат будет меньше 1,25 млн. руб.

В начале 2018 года Юрий приобрел ценную бумагу стоимостью 25000 рублей. В конце каждого года цена бумаги увеличивается на 3000 рублей. В начале любого года Юрий может продать бумагу и сразу положить вырученные деньги на банковский счет. В этом случае каждый год сумма на счете будет расти на 10 %. Через сколько лет Юрий должен продать ценную бумагу, чтобы через 5 лет после ее покупки сумма на его банковском счете была наибольшей?

В январе 2016 года предприниматель положил в банк некоторую сумму под х% годовых. Через год, в январе 2017 года, он снял 1/5 положенных денег, а оставшиеся деньги оставил в банке под у%. Известно, что (х+у)=30%. Каков должен быть х, чтобы в январе 2018 года сумма на счету предпринимателя была максимальной?

У фермера есть два одинаковых поля по 10 га каждое. На каждом можно выращивать картофель и кукурузу, причем какую площадь занять под каждую культуру, фермер решает сам. Урожайность картофеля на 1 поле составляет 400 ц/га, а на 2 поле – 300 ц./га. Урожайность кукурузы на 1 поле составляет 300 ц/га, а на 2 поле – 400 ц/га. Картофель фермер продает по 5000 руб./ц, а кукурузу – по 6000 руб./ц. Какой максимальный доход может получить фермер?

Строительство нового завода стоит 115 млн рублей. Затраты на производство x тыс. единиц п родукции на таком заводе равны (0,5х 2 +х+9) млн рублей в год. Е сли продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит рх – 0,5(х 2 +х+9). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком н аименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 5 лет?

2. Кредиты

2.1 Погашение кредита равными долями

31 декабря 2017 года Сергей взял в банке 2648000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплат кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк x рублей. Какой должна быть сумма x , чтобы Сергей выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?

1 января 2018 года Сергей будет должен банку не только 2648000 руб., но и 10% от этой суммы, т.е. 2648000 + 0,1*2648000 = 1,1*2648000 руб. Затем Сергей выплачивает х руб. и остается должен (1,1*2648000 – х) руб.

1 января 2019 года Сергей будет должен банку оставшуюся сумму плюс проценты на нее, то есть (1,1*2648000 – х) + 0,1*(1,1*2648000 – х) = 1,1*(1,1*2648000 – х). Затем выплачивается снова сумма в х руб., и остаток долга будет составлять (1,1*(1,1*2648000 – х) – х) руб.

Наконец, 1 января 2020 года банк еще раз начисляет проценты на остаток долга, в результате чего Сергей должен (1,1*(1,1*2648000–х)–х)+0,1*(1,1*(1,1*2648000–х)–х)=1,1*(1,1*(1,1*2648000 – х)-х) руб. В течение года Сергей в последний раз выплачивает х руб., после чего кредит считается погашенным (то есть остаток долга равен 0).

Приведенные рассуждения удобно представить в виде таблицы ДОЛГ-ВЫПЛАТА-ОСТАТОК

1,1*(1,1*(1,1*2648000 –х) – х)

1,1*(1,1*2648000 –х) — х

В приведенной таблице ОСТАТОК = ДОЛГ — ВЫПЛАТА. Из данных правого столбца составим уравнение: 1,1*(1,1*(1,1*2648000 –х) – х) – х = 0

1,1* (1,1*1,1*2648000 – 1,1х – х) – х = 0

1,1*1,1*1,1*2648000 – 1,21х – 1,1х – х = 0

Ответ: 1064800 руб.

В сентябре Федор взял кредит в 1,5 млн. руб. По условиям договора:

— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по август каждого года Федор выплачивает часть долга.

На какое минимальное количество лет может взять кредит Федор, чтобы не выплачивать более 450 тыс. руб. в год?

В явном виде нам не указано, что гасить кредит нужно равными долями, однако, это тот же тип задачи. Во-первых, логично, что чем больше мы выплачиваем, тем быстрее погасим кредит, а, во-вторых, у нас есть верхнее ограничение по сумме выплат – 450 тыс. руб. Значит, будем выплачивать по максимуму в 0,45 млн., чтобы расплатиться как можно быстрее.

Составим таблицу, как в предыдущей задаче (для удобства все суммы будем считать в млн. руб.):

1,1*(1,1*1,5 – 0,45)=1,1 2 — 0,45*1,1

1,1*(1,1*(1,1*1,5 – 0,45) – 0,45)=1,1 3 *1,5 — 0,45*1,1 2 — 0,45*1,1

ВЫПЛАТА с февраля по август

1,1*(1,1*1,5 – 0,45) – 0,45 = 1,1 2 — 0,45*1,1 – 0,45

1,1*(1,1*(1,1*1,5 – 0,45) – 0,45)=1,1 3 *1,5 — 0,45*1,1 2 — 0,45*1,1 – 0,45

1,1*(1,1*(1,1*(1,1*1,5 –0,45) – 0,45) – 0,45) = 1,1 4 *1,5 – 0,45*1,1 3 — 0,45*1,1 2 – 0,45*1,1

1,1 n-1 *1,5 – 0,45*1,1 n-2 — 0,45*1,1 2 – 0,45*1,1

1,1 n *1,5 – 0,45*1,1 n-1 — 0,45*1,1 2 – 0,45*1,1

ВЫПЛАТА с февраля по август

1,1*(1,1*(1,1*(1,1*1,5 –0,45) – 0,45) – о,45) -0,45 = 1,1 4 *1,5 – 0,45*1,1 3 — 0,45*1,1 2 – 0,45*1,1 – 0,45

1,1 n-1 *1,5 – 0,45*1,1 n-2 — 0,45*1,1 2 – 0,45*1,1 – 0 , 45

После n лет Федор расплатится по кредиту, то есть его остаток долга будет равен 0 (при решении может получиться и отрицательное число, это означает, что в последний год Федору необязательно выплачивать 450 тыс. руб., а достаточно меньшей суммы) . Из данных правого столбца для n -го года составим уравнение:

1,1 n *1,5 – 0,45*1,1 n -1 — 0,45*1,1 2 – 0,45*1,1 – 0,45 = 0

1,1 n *1,5 – 0,45*(1+1,1+1,1 2 +….+1,1 n -1) =0

Выражение в скобках – это сумма n членов геометрической прогрессии с первым членом b ₁ =1 и последним членом b _n = b ₁ * q n -1 . Применяя формулу для вычисления суммы n членов геометрической прогрессии, получим:

1,1 n *1,5 – 0,45*(1,1 n -1)/(1,1-1)=0

1,1 n *1,5 – 4,5*1,1 n + 4,5=0

Значит, Федор погасит кредит за 5 лет.

Иногда подобные задачи можно решить, не выводя формулу для n лет. Достаточно последовательно посчитать остаток долга в цифрах – после 1 года, 2 года и т.д. Как только остаток долга станет 0 или отрицательным, значит, искомый год найден.

В нашей задач e получим:

после 1 года: 1,1*1,5 – 0,45 = 1,2

после 2 года 1,1*1,2 – 0,45 = 0,87

после 3 года 1,1*0,87 – 0,45 = 0,507

после 4 года 1,1*0,507 – 0,45= 0,1077

после 5 года 1,1*0,1077 – 0,45 = -0,33153

Получив отрицательное число, делаем вывод, что на 5 году кредит будет полностью выплачен.

Ознакомьтесь с оформлением подобной задачи в разделе 5.

Задачи для самостоятельной работы

31 декабря 2017 года Пал Палыч взял в банке некоторую сумму денег в кредит под 10% годовых. По условиям договора: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Пал Палыч переводит в банк 2928200 рублей. Сколько взял Пал Палыч в банке, если смог выплатить долг четырьмя равными платежами?

Федора не смутила история с первым кредитом, и он берет в банке 2 млн. руб. под 5% годовых. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. На какое минимальное количество лет должен взять кредит Федор, чтобы не выплачивать более 350 тыс.руб. ежегодно?

2.2 Равномерное уменьшение долга по сравнению с предыдущим периодом

Для данного типа задач существует характерная особенность – при заполнении таблицы мы отталкиваемся от графы «Остаток долга». Поскольку остатки долга за каждый период отличаются друг от друга на равную величину, чтобы найти эту величину достаточно поделить сумму долга на количество таких периодов. Например, если сумма кредита составляет 10 млн руб., а количество лет равно 4, то остатки будут отличаться на 10млн/4 = 2,5 млн. руб., а графа «Остаток долга примет» вид:

Замечу, что при неизвестной сумме кредита и неизвестном количестве периодов графу «Остаток» можно заполнить последовательностью чисел:

В январе планируется взять кредит на 5 месяцев. Условия по договору следующие:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2–го по 14-е число нужно выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Сколько процентов от суммы кредита составит общая сумма выплат за весь срок?

Пусть S – сумма кредита. Тогда остатки долга будут отличаться на S /5 руб. Заполним таблицу (сначала графу «Остаток», затем графу «Долг» и только потом «Выплату» как их разность):

Источник