Задача архимеда способы решения

Тема урока «Задача Архимеда»

Статья посвящена лемме Архимеда о перпендикулярных хордах. Как передать красоту этой задачи? Разнообразие способов ее решения? Эмоции, которые она вызывает у тех, кто любит геометрию? Может быть, об этом лучше расскажет урок, который прошел в 9-м математическом классе у одного из авторов. Если так, то давайте приоткроем дверь и проникнем на урок, урок эрудиции, знаний и творчества учащихся. И называться он будет так: «Урок одной задачи. »

Хорды AB и CD окружности радиуса R перпендикулярны и делятся точкой пересечения на отрезки a, b, c, d (рис. 1). Докажите, что сумма квадратов этих отрезков есть величина постоянная для данной окружности, равная квадрату ее диаметра, то есть

Да, задача хороша на слух, красива на вид и вызывает интерес у учащихся. Но стоит ли посвящать урок одной задаче?
Безусловно стоит! Потому что эта задача:
1) задача Архимеда, позволяющая понять его гениальность;
2) она — конкурсная, во многих вузах ее предлагают на вступительных экзаменах;
3) она позволяет повторить ряд важнейших фактов и задач планиметрии;
4) она трудная! (Даже искушенные в геометрии ученики не сразу справляются с ней.);
5) она решается удивительно красиво и изящно и разными способами.
Знакомство с задачей Архимеда происходит на предыдущем уроке. Дома ученики решают эту задачу, но возможно большим числом способов!
Однако задача непростая, и удастся ли большей части класса вообще решить ее?
Перед уроком две минуты говорю с ребятами о задаче, бегло просматриваю их решения. В это время звенит звонок, и я начинаю Урок одной задачи.

Прошу выйти к доске Федора, потому что до урока заметил, что его решение совпадает с решением Архимеда. (Представляется важным начать именно с авторского решения.) Он рассказывает.

Решение 1. Пусть a, b, c, d — данные отрезки хорд AB и CD (рис. 2). Пусть AD = x, CB = y. Тогда по теореме Пифагора для треугольника AED:

А по теореме Пифагора для треугольника BEC:

Проведем AK CD. Тогда BK = 2R — диаметр (так как KAB = 90°).

Здесь я останавливаю Федора и прошу другого ученика продолжить рассказ.

CKAD — равнобокая трапеция, поскольку только равнобокую можно вписать в окружность, и CK = AD = x. KCB = 90° (опирается на диаметр). Тогда по теореме Пифагора для треугольника KCB имеем:

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получаем требуемое:

— У меня решение, которое Архимед не мог предложить! — включается в разговор Юля. — Ведь тригонометрия появилась значительно позже.

Юля идет к доске и показывает свой способ решения.

Решение 2. К тем же обозначениям (см. рис. 1 и 2) добавим следующие (рис. 3): (из прямоугольного треугольника AEC). Тогда по теореме синусов для треугольника CAB:

А для треугольника ACD по той же теореме.

Здесь я прерываю рассказ и предлагаю самостоятельную работу: закончить решение задачи Архимеда способом, предложенным Юлей. (Ей в это время предлагаю подумать над еще одним, чисто геометрическим, способом решения задачи.)

Большинство учащихся успешно заканчивают задачу и сдают листки с решением.

Один из учеников показывает окончание решения на доске.

Решение 2 (продолжение). Для треугольника ACD по теореме синусов имеем:

Возведем обе части равенств (3) и (4) в квадрат и сложим:

x 2 + y 2 = 4R 2 (sin 2 α + cos 2 α) = 4R 2 .

С учетом (1) и (2), задача решена:

— Ребята, есть ли у кого другие способы решения задачи Архимеда?

— Я воспользовался симметрией при решении задачи, — говорит Женя. — А также известным свойством угла с вершиной внутри круга.

Женя идет к доске и записывает это свойство (рис. 4).

Затем начинает объяснять свой способ.

Решение 3. Согласно свойству угла с вершиной внутри круга полусумма дуг AD и BC равна 90° (рис. 5).

AD + BC = 180°. (5)

Проведем прямую l, содержащую диаметр, так что l AB. Из соображений симметрии

Тогда и дуга DK равна BC (равные хорды стягиваются равными дугами). Значит,

AD + DK = 180°.

Если это так, то AK — диаметр, и ADK = 90°.
По теореме Пифагора для треугольника ADK x 2 + y 2 = 4R 2 , что равносильно решению задачи.

— У меня тоже симметрия, только немного по-другому! — выходит к доске Сергей и показывает.

Решение 4. Построим отрезок TK, симметричный AB относительно центра окружности O (рис. 6). В силу симметрии: TK = AB, CP = ED = d,
PK = BE = b. Очевидно, что PD = c. Из прямоугольного треугольника DPK имеем:

Очевидно, что AK — диаметр (так как ABKT — прямоугольник), и тогда ADK = 90°. По теореме Пифагора для треугольника ADK:

— В этом способе возможно другое решение! — берет слово Наташа.

Решение 5. Воспользуемся тем же рисунком (рис. 6).

ABK = 90° (опирается на диаметр).

Тогда AK 2 = AB 2 + BK 2 , или:

Но по известной теореме о равенстве произведений отрезков хорд ab = cd. Тогда 2ab и –2cd сократятся! Решение задачи получено.

— А у меня принципиально другое решение, не похожее ни на одно из предыдущих! — заявляет Аленка.

Перед уроком я бегло просмотрел способ Аленки. Обращаюсь к классу:

— Если способ верен, то это — маленькая сенсация. Такого способа решения задачи Архимеда я нигде в литературе не встречал.

Решение 6. Проведем в треугольнике ABC высоту AK (рис. 7). Тогда H — ортоцентр (точка пересечения высот) треугольника ABC. Покажем, что AH = AD = x. Действительно, (вписанные, опирающиеся на одну дугу). Тогда из треугольника ABK:
1 = 90° – α, и из треугольника ADE:
2 = 90° – α. Поскольку AE — высота и биссектриса в треугольнике ADH, то этот треугольник равнобедренный, и

Далее применим хорошо известную формулу:

Здесь я прерываю рассказ и предлагаю ученикам самостоятельно завершить решение задачи (мне уже понятно, что сенсация состоялась). Попутно спрашиваю у учащихся доказательство предложенной Аленкой формулы (6).

Знание формулы входит в их эрудицию, и мне предлагается несколько способов доказательства.

Большинство учеников легко разгадывают и дальнейший ход рассуждений в решении 6.

Решение 6 (продолжение).

то есть x 2 + y 2 = 4R 2 .

Ну что ж, такого способа учитель не знал!

Формула (6) подсказывает Антону идею, которая дарит нам еще один способ решения задачи. Он воспользовался известным ученикам свойством ортоцентра H: «Точки, симметричные ортоцентру относительно сторон треугольника, принадлежат описанной окружности».

На рисунке 8 точки H и H’ симметричны друг другу относительно стороны BC.

Этот факт предлагаем читателям доказать самостоятельно!

С учетом вышесказанного, способ Антона выглядит так (хорда CD опущена вниз для удобства работы с рис. 9):

Решение 7.

Но ab = cd — из равенства произведений отрезков хорд. Тогда

В заключение урока — маленький сюрприз от Данила. Я попросил его выполнить векторное решение задачи Архимеда, придуманное одним из наших выпускников несколько лет назад.

Докажем, что α + β = 180°: AD + BC = 180° (см. формулу 5), а углы α и β — центральные, равные соответственно дугам AD и BC.

Тогда β = 180° –α и cos β = –cos α, откуда следует, что

Задача Архимеда решена еще одним, векторным способом!

Подводим итоги «Урока одной задачи»:

повторены важнейшие факты планиметрии;
предложено много способов решения знаменитой задачи;
задача решена векторным способом.

К домашнему заданию, которое написано на доске, добавлю: решить задачу Архимеда методом координат. Такое решение существует!

Итак, «Урок одной задачи» состоялся. Осуществилась связь времен, связь прошлого с настоящим.

Источник

Задача архимеда способы решения

Репетитор
по физике

На тело, погруженное в жидкость действует вверх сила, равная весу вытесненной жидкости.
\(\rho\) это плотность жидкости или газа, то есть той среды, в которой находится тело

Силу Архимеда еще называют выталкивающей силой.

0. Аня уронила в речку мячик объёмом 0,8 л какая сила архимеда действует на мячик,если он погружен в воду только наполовину?
Показать ответ Показать решение Видеорешение

\(F_A=1000\dfrac<КГ><М^3>\cdot 10\dfrac<Н> <КГ>\cdot \dfrac<1> <2>\cdot 0,0008м^3=4Н \)

Репетитор по физике

1. Найти силу Архимеда, действующую на тело объемом \(V=150 см^3\), целиком погруженное в воду .Плотность воды: \(\rho=1000\dfrac<кг><м^3>\).
Показать ответ Показать решение Видеорешение

2. Найти силу Архимеда, действующую на тело объемом \(V=850 см^3\), целиком погруженное в керосин .Плотность керосина \(\rho=800\dfrac<кг><м^3>\)
Показать ответ Показать решение Видеорешение

3. Найти силу Архимеда, действующую на тело объемом \(V=2 м^3\), половина объема которого погружено в воду .Плотность воды: \(\rho=1000\dfrac<кг><м^3>\)
Показать ответ Показать решение Видеорешение

Сила Архимеда зависит только от той части объема, который погружен в жидкость, поэтому мы берем половину объема

4. Найти силу Архимеда, действующую на тело объемом \(V=2 м^3\), четверть объема которого погружено в воду .Плотность воды: \(\rho=1000\dfrac<кг><м^3>\)

Сила Архимеда зависит только от той части объема, который погружен в жидкость, поэтому мы берем одну четвертую объема \(V=\dfrac<1><4>\cdot 2 м^3 \: =0,5 м^3 \)

5. Найти объем тела, полностью погруженного в воду, если действующая на него сила Архимеда \(F_A=20\) Н , а плотность воды \(\rho=1000 \) \(\dfrac<КГ><М^3>\)

6. На тело, объемом \(V=0,5м^3\) полностью погруженное в жидкость, действуюет сила Архимеда \(F_A=5000Н\). Найти плотность этой жидкости.
Показать ответ Показать решение Видеорешение

7. Стальной шар объемом \(V=50см^3\), полностью погружен в воду. Какая сила Архимеда действует на шар? Плотность воды \(\rho=1000\dfrac<кг><м^3>\)
Показать ответ Показать решение Видеорешение

8. Чему равна выталкивающая сила (сила Архимеда), действующая в воде на полностью погруженный железный шар массой 0,78 кг? Плотность воды \(\rho_в=1000\dfrac<кг><м^3>\) , Плотность железа \(\rho_ж=7800\dfrac<кг><м^3>\)
Показать ответ Показать решение Видеорешение

\(F_A=\rho_в\cdot g \cdot V\)

9. Чему равна выталкивающая сила, действующая в воде на полностью погруженный деревянный брусок размером 60x10x15см? Плотность воды \(\rho_в=1000\dfrac<кг><м^3>\)
Показать ответ Показать решение Видеорешение

\(F_A=1000\dfrac<кг><м^3>\cdot 10\dfrac<Н> <кг>\cdot 0,6м \cdot 0,1м \cdot 0,15м \: = \: 90 Н \)

10. Чему равна сила Архимеда, действующая в бензине на полностью погруженный медный брусок размером 6x1x2см? Плотность бензина \(\rho_в=710\dfrac<кг><м^3>\)
Показать ответ Показать решение Видеорешение

\(F_A=710\dfrac<кг><м^3>\cdot 10\dfrac<Н> <кг>\cdot 0,06м \cdot 0,01м \cdot 0,02м \: = \: 0,0852 Н \)

11. Чему равна архимедова сила, действующая в воздухе на шарик объемом \(V=3000 см^3\)? Плотность воздуха \(\rho_в=1,29\dfrac<кг><м^3>\)
Показать ответ Показать решение Видеорешение

\(F_A=1,29\dfrac<кг><м^3>\cdot 10\dfrac<Н> <кг>\cdot 0,003м^3 \: = \: 0,0387 Н \)

12. Какую силу нужно приложить к камню, находящемуся под водой, чтобы не дать ему пойти ко дну, если на него действует сила тяжести \(F_Т=10Н\) и сила Архимеда \(F_A=4Н\)?
Куда направлена эта сила?
Показать ответ Показать решение Видеорешение

Камень, находящийся под водой, утонет(будет двигаться вниз), если не прикладывать к нему внешней силы, поэтому внешняя сила направлена вверх

Составим уравнение балланса сил (с 9 класса оно называется первым законом Ньютона )