За столом рассаживаются n гостей сколько существует способов это сделать

Глава 10. Комбинаторика. Комбинаторные конфигурации

Во многих практических случаях возникает необходимость подсчитать количе­ство возможных комбинаций объектов, удовлетворяющих определенным усло­виям. Такие задачи называются Комбинаторными. Разнообразие комбинаторных задач не поддается исчерпывающему описанию, но среди них есть целый ряд особенно часто встречающихся, для которых известны способы подсчета.

Число всех функций (при отсутствии ограничений), или число всех возможных способов разместить П Предметов по Т Ящикам называется, Числом размещений И обозначается U(M,N).

Каждый из N предметов можно разместить M способами.

При игре в кости бросаются две кости и выпавшие на верхних гранях очки скла­дываются. Какова вероятность выбросить 12 очков? Каждый возможный исход соответствует функции F: <1,2>® <1,2,3,4,5,6>(аргумент — номер кости, ре­зультат — очки на верхней грани). Таким образом, всего возможно U(6,2) = 62 = 36 различных исходов. Из них только один (6 + 6) дает двенадцать очков. Вероятность 1/36.

Размещения без повторений

Число инъективных функций, или число всех возможных способов разместить П Предметов по M ящикам, не более чем по одному в ящик, называется Числом размещений без повторений И обозначается А(M, п) или [M]n, или (M)n.

ТЕОРЕМА

Ящик для первого предмета можно выбрать M способами, для второго — M — 1 способами, и т. д. Таким образом,

По определению считают, что А(Т, N) = 0 при П > Т И А(Т, 0) = 1.

В некоторых видах спортивных соревнований исходом является определение участников, занявших первое, второе и третье места. Сколько возможно раз­личных исходов, если в соревновании участвуют П Участников? Каждый воз­можный исход соответствует функции F: <1,2,3>® <1..N> (аргумент — номер призового места, результат — номер участника). Таким образом, всего возможно А(П,3) = П(П — 1)(N — 2) различных исходов.

Число взаимнооднозначных функций, или Число перестановок п Предметов, обо­значается Р(П).

Последовательность E = (E1. Em) непустых подмножеств множества Е (E Ì 2E, Ei Ì Е, Ei ¹ Æ) называется Цепочкой В Е, Если

Цепочка E называется Полной Цепочкой в Е, Если |E| = |Е|. Сколько существует полных цепочек? Очевидно, что в полной цепочке каждое следующее подмноже­ство Ei+1 получено из предыдущего подмножества Ei Добавлением ровно одного элемента из Е И, таким образом, |E1| = 1, |E2| = 2, . |Ет| = |Е| = т. Следова­тельно, полная цепочка определяется порядком, в котором элементы Е Добавля­ются для образования очередного элемента полной цепочки. Отсюда количество полных цепочек — это количество перестановок элементов множества Е, Рав­ное M!.

Число строго монотонных функций, или число размещений П Неразличимых предметов по Т Ящикам, не более чем по одному в ящик, то есть число способов выбрать из m ящиков N ящиков с предметами, называется Числом сочетаний И обозначается С(Т, п) или или .

ТЕОРЕМА

1. Число размещений без повторений нужно разделить на число перестановок, поскольку предметы неразличимы.

2. Число сочетаний является числом строго монотонных функций, потому что строго монотонная функция F: 1..п ® L..M определяется набором своих значений, причем 1£ F(1) M.

В начале игры в домино каждому играющему выдается 7 костей из имеющихся 28 различных костей. Сколько существует различных комбинаций костей, которые игрок может получить в начале игры? Очевидно, что искомое число равно числу 7-элементных подмножеств 28-элементного множества. Имеем:

Сочетания с повторениями

Число монотонных функций, или число размещений N неразличимых предме­тов по M ящикам, называется Числом сочетаний с повторениями И обозначается V(M, N).

Сколькими способами можно рассадить N Вновь прибывших гостей среди M Го­стей, уже сидящих за круглым столом? Очевидно, что между то сидящими за круглым столом гостями имеется M Промежутков, в которые можно рассаживать вновь прибывших. Таким образом, это можно сделать

Источник

Сколькими способами можно рассадить гостей за столом

Здравствуйте еще раз. Неделю назад писал олимпиаду по программированию. И попалась такая задачка которую не решил никто. Хотелось бы узнать возможно ли её решить вообще?.Условие: некий господин Х пригласил на свой день рождения друзей. И рядом с каждой тарелкой положил табличку с именем. Когда гости пришли господин Х заметил что никто не сиди на своем месте.
Вопрос: сколькими способами можно таким образом пересадить 10 человек?
P.S. в условии вообще-то стояло ограничение не более 100, но вопрос вычислит ли самый обыкновенный компьютер
такое число вообще?

Добавлено через 1 минуту
Извините, уважаемые администраторы и модераторы, толком не понял принцип создания тем. Переместите пожалуйста в раздел PascalABC.Спасибо.

Размещение. Сколькими способами можно разместить на двух местах двух из четырёх гостей
Сколькими способами можно выбрать и разместить на двух местах 1,2 двух из четырёх гостей А,Б,В,Г?

Сколькими способами можно рассадить гостей?
Иван Иванович пригласил на свой день рождения много гостей. Он написал на карточках фамилии всех.

Сколькими способами можно рассадить гостей?
День рождения Иван Иванович пригласил на свой день рождения много гостей. Он написал на карточках.

Сколькими способами можно рассадить 6 человек за столом по кругу
Добрый день. Есть задача: Сколькими способами можно рассадить 6 человек за столом: а) в ряд; б) по.

Это элементарная задача. Пусть гостей N. Количество способов рассадить N людей по N стульям равно количеству размещений N по N, или, что то же самое, количеству перестановок порядка N. Равно это дело N-факториалу: N!=1*2*3*. *N. Напишу, чтоб окончательно запутать:

Всё вроде просто. Перемножил N последовательных чисел, и дело в шляпе. Ан нет. Мешает ограниченность машинного представления чисел. Числа типа:
integer — не более 2 31 -1=2147483647,
int64 не более 2 63 -1=9223372036854775807.
Ну есть ещё uint64 не более 2 64 -1=18446744073709551615.
Большие числа, вроде бы, но факториал — страшная штука.
integer вместит только 12!=479001600, с ухищрениями 15!=1307674368000,
int64 — 20!=2432902008176640000 (23!=25852016738884976640000),
uint64 — 20!=2432902008176640000 (25!=15511210043330985984000000).
Ухищрение заключается в отбрасывании младших нулей и приписывании их впоследствии к результату. Ой, нет, до того, что с ухищрениями, дело не совсем дойдёт. Чтобы ноль отбросить, перед этим на что-то умножить надо. То есть, о сотне человек речь вроде бы не идёт. Однако, можно применить длинную арифметику, и в этом случае возможности практически равны фантазии. Вычислить — не вопрос. Но, всё равно страшно. Для 100 человек будет
100!=9332621544394415268169923885626670049071596826438162146 859296389521759999322991560894146397615651828625369792082722 3758251185210916864000000000000000000000000.
А это вот для 23 человек, это максимум, чего мне удалось достичь без длинной арифметики. Если бы без ухищрений, то только для 20.

Источник

Презентация на тему «Комбинаторика»

Выбранный для просмотра документ Комбинаторика.pptx

Описание презентации по отдельным слайдам:

КОМБИНАТОРИКА Размещения, перестановки, сочетания

Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n! и называют «эн факториал»: Определение 1: n!=1·2·3·…·(n-2)·(n-1)·n

Теорема 1: n различных элементов можно расставить по одному на n различных мест ровно n! способами. Рn=n! — перестановки

6 слонят Сколькими способами можно их расставить? Например: 6!=1·2·3·4·5·6=720

Задача 1: К хозяину дома пришли гости A,B,C,D. За круглым столом – пять разных стульев. а) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом? б) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом, если место хозяина дома уже известно? A B C D хозяин

Решение: а) На 5 стульев должны сесть 5 человек (включая хозяина дома). Значит, всего имеется Р5 способов их рассаживания: Р5 =5!= 1·2·3·4·5= 120

Решение: б) Так как место хозяина фиксировано, то следует рассадить четырех гостей на четыре места. Это можно сделать Р4 способами: Р4 =4!= 1·2·3·4= 24

Задача 2: В чемпионате по футболу участвовало 7 команд. Каждая команда сыграла по одной игре с каждой командой. Сколько всего было игр?

Решение: Первый способ: Рассмотрим таблицу 7х7, в которой вписаны результаты игр. В ней 49 клеток: По диагонали клетки закрашены, т.к. никакая команда не играет сама с собой. Если убрать диагональные клетки, их останется 49-7=42. 1 2 3 4 5 6 7 1 3:1 0:5 2:2 0:0 1:0 1:3 2 4:3 1:0 1:0 0:0 1:1 3 1:3 1:0 1:2 0:0 4 1:1 1:1 1:4 5 1:0 0:0 6 2:2 7

Решение: В нижней части таблицы результатов нет, т.к. все они получаются отражением уже имеющихся результатов из верхней части таблицы. 3:1 1:3 Поэтому количество всех проведенных игр равно половине от 42, т.е. 21. 1 2 3 4 5 6 7 1 3:1 0:5 2:2 0:0 1:0 1:3 2 4:3 1:0 1:0 0:0 1:1 3 1:3 1:0 1:2 0:0 4 1:1 1:1 1:4 5 1:0 0:0 6 2:2 7

Второй способ: Произвольно пронумеруем команды №1, №2,…, №7 и посчитаем число игр поочередно. Команда №1 встречается с командами №2-7 – это 6 игр. Команда №2 тоже проведет 6 встреч, но одну игру , с командой №1, мы уже посчитали. Получается 5 новых игр. Команда №3 проведет 6 встреч, из которых две, с №1 и №2 мы посчитали, значит, добавится еще 4 игры. Продолжая, получим: 6 игр 5 игр 4 игры 3 игры 2 игры 1 игра 21 игра 6+5+4+3+2+1=21 1 2 3 4 5 6 7 1 3:1 0:5 2:2 0:0 1:0 1:3 2 4:3 1:0 1:0 0:0 1:1 3 1:3 1:0 1:2 0:0 4 1:1 1:1 1:4 5 1:0 0:0 6 2:2 7

Третий способ: Используем геометрическую модель: 7 команд – это вершины выпуклого семиугольника, а отрезок между двумя вершинами – это встреча двух соответствующих команд: сколько отрезков, столько игр. Из каждой вершины выходит 6 отрезков. Получается 7·6 отрезков, каждый из которых посчитан дважды: как АВ, так и ВА. Значит, всего проведен (7·6):2=42:2=21 отрезок. А В С D E F G

Выводы: Состав игры определен, как только мы выбираем две команды. Значит, количество всех игр в турнире для n команд – это количество всех выборов двух элементов из n данных элементов. При этом порядок выбора не важен.

Теорема 2: Если множество состоит из n элементов и требуется выбрать два элемента без учета их порядка, то такой выбор можно произвести способами.

Определение 2: Число всех выборов двух элементов без учета их порядка из n данных элементов называют числом сочетаний из n элементов по 2 и обозначают [«цэ из эн по два»]

Задача 3: Встретились 11 футболистов и 6 хоккеистов и каждый стал по одному разу играть с каждым в шашки, которые они «давненько не брали в руки». Сколько встреч было: а) между футболистами б) между хоккеистами в) всего?

А что получится, если мы будем учитывать порядок двух выбираемых элементов? Теорема 3: Если множество состоит из n элементов и требуется выбрать два элемента учитывая их порядок, то такой выбор можно произвести способами.

Определение 3: Число всех выборов двух элементов с учетом их порядка из n данных элементов называют числом размещений из n элементов по 2 и обозначают [«а из эн по два»]

Задача 4: В классе 27 учеников. К доске нужно вызвать двоих. Сколькими способами это можно сделать, если: а) первый ученик должен решить задачу по алгебре, а второй – по геометрии; б) они должны быстро стереть с доски? Решение: В случае а) порядок важен, а в случае б) – нет. Значит, а) б)

А как будут выглядеть формулы, если в них верхний индекс заменить на 5, 7, 10 и т.д.? Сколькими способами можно выбрать 5 учеников из 30 для дежурства в столовой; 7 монет из 10 данных; 10 карт из колоды в 32 карты? Определение 4: Число всех выборов k элементов из n данных без учета порядка называют числом сочетаний из n элементов по k и обозначают Число всех выборов k элементов из n данных с учетом их порядка называют числом размещений из n элементов по k и обозначают

Теорема 4: Для любых натуральных чисел n и k таких, что k 24 слайд

Задача 5: В классе 27 учеников, из них нужно выбрать троих. Сколькими способами это можно сделать, если: а) первый ученик должен решить задачу, второй – сходить за мелом, третий – пойти дежурить в столовую? б) им следует спеть в хоре?

Задача 6: «Проказница Мартышка, Осел, Козел и Косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Мишке поручили выбрать 4 любых инструмента из имеющихся 11. а) найти число всевозможных выборов инструментов; б) найти число всевозможных рассаживаний участников квартета с выбранными четырьмя инструментами (инструменты, как в басне Крылова, занимают четко отведенные позиции).

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 832 человека из 77 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 298 человек из 69 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 609 человек из 76 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: 37849032614

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

Студентам вузов могут разрешить проходить практику у ИП

Время чтения: 1 минута

Заболеваемость ковидом среди студентов и преподавателей снизилась на 33%

Время чтения: 4 минуты

Путин попросил привлекать родителей к капремонту школ на всех этапах

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России

Время чтения: 1 минута

В Минпросвещения предложили организовать телемосты для школьников России и Узбекистана

Время чтения: 1 минута

С 2019 года закрыто более 50 детских лагерей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник