Вывод алгоритма уравнивания параметрическим способом

Содержание

Сущность параметрического способа уравнивания
Вывод алгоритма уравнивания параметрическим способом
Уравнивание углов на станции параметрическим способом

Сущность параметрического способа уравнивания

При уравнивании геодезических сетей параметрическим способом первоначально выбираются так называемые параметры, через которые посредством уравнений связи выражается каждая измеренная величина. Поэтому непосредственно уравниваемыми величинами являются параметры, а затем уже по уравненным значениям параметров вычисляются уравненные значения непосредственно измеренных величин..

Пусть в геодезической сети измерено величин , , …, , из которых величин являются избыточно измеренными. Далее выбирается ряд независимых неизвестных параметров , , …, , через которые могут быть выражены значения измеренных величин , ( ). Число таких параметров должно быть равно числу избыточно измеренных величин. Каждая избыточно измеренная величина в геодезической сети приводит к возникновению одного уравнения связи вида

, ( ) , (7.43)

где , ( ) – истинные значения измеренных величин;

, ( ) – истинные значения параметров.

Уравнения (7.43) называются параметрическими уравнениями связи в общем виде .

Как уже ранее отмечалось, целью уравнительных вычислений является вычисление таких поправок в измеренные величины , при которых удовлетворялись бы все существующие зависимости между элементами сети, причем не только измеренными, но и вычисляемыми. Это означает, что если в левой части выражений (7.43) поставить уравненные значения измеренных величин, то должны измениться и правые части, а именно, должны измениться значения параметров , т.е. в правой части должны стоять соответствующие уравненные значения параметров.

(7.44)

уравненные значения измеренных величин, а через

(7.45)

уравненные значения параметров, где – приближенные значения неизвестных параметров , а – поправки к приближенным значениям параметров. Тогда система уравнений (7.43) может быть переписана в виде

, ( ) , (7.46)

, (7.44)

1. Гудков В.М., Хлебников А.В. Математическая обработка маркшейдерско-геодезических измерений. Учеб. для вузов. – М.: Недра, 1990.– 335 с.

2. Большаков В.Д., Гайдаев П.А. Теория математической обработки геодезических измерений. – М.: Недра, 1977. 387 с.

3. Смолич Б.А. Уравнительные вычисления. Учеб. для техникумов – М.: Недра, 1989. – 245 с.

4. Мазмишвили А.И. Теория ошибок и метод наименьших квадратов. – М.: Недра, 1978. 311 с.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Учеб. для втузов. Т.1 – М.: Недра, 1970. 456с.

6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Учеб. для втузов. Т.2 – М.: Недра, 1970. 576с.

7. Бермант А.Ф. Курс математического анализа. Часть 1. – М.: Госуд. изд-во физ-мат. литературы. 1959, 466 с.

8. Селиханович В.Г. Геодезия. Учеб. для вузов.Ч. II – М.: Недра, 1981. 544 с.

Источник

Вывод алгоритма уравнивания параметрическим способом

Необходимо найти такой вектор х , чтобы он был несмещ-ой, дост-ой и эффект-ой оценкой. Поскольку вектор х есть вектор поправок в приближенные значения координат , то и корд-ты будут несмещ-мии эффек-ми, т.е. наиболее точными. Вывод алгоритма уравнивания будем вести на основе оценки функции уравненных значений параметров х и измерен.l . Суть вывода алгоритма заключ. В том, что некоторую функцию в геод-ой сети можно вычислить дважды. Z= C T X, Z=-b T L. Оба знач. д.б. один-ми. эти 2 выраж. прив. к 1 тому же рез-ту. Пусть им-ся сеть

Пусть им-ся упавнения значений отметок 1,2. , то превышение как функции h=Z=H2-H1. С другой стороны этот же результат мы должны пол-ть выраж. Z=-b1*l1-b2*l2-b3*l3, где l1, l2, l3-свободн. Члены уравнения поправок для измер. превыш. h1,h2,h3. l1=H 0 ₁-H_A-h1; l2=H 0 ₂-H 0 ₁-h2; l3=HB-H 0 ₂-h3, где H_A,H_b – высоты исходных реперов А и В, H 0 i-приближ. значения высот опред. реперы 1 и 2.В данном случае С T =(-1 +1), X = H1 Задача заключ. в том , чтобы найти такой вектор B T , чтобы

оценка функции Z была достаточной. несмещ. и эффективной. Решение задачи в общем виде: Z= C T X, Z=-b T L, V=AX+L(урав-е поправок). 1. достат-ть: Дост-ть оц. фуккции Z в каком бы виде она не была зап. измер. налич. обр-ки всех измерений, т.е. всей системы уравнений поправок.2. несмещ-ть. Очевидно, что матем. ожидание Z : M_Z = C T М_X, M_Z =-b T М_L_. Согласно условию несмещ-ти мат_. ожидание вектора поправок д.б.=0, тогда будет след. выражение: MV=AМ_X+М_L_, Поск-ку MV=0, то

AМ_X= — М_L. Введем алгебр. запись условия несмещ-ти для этого полагаем, что М_L= -AМ_X, M_Z= C T М_X, M_Z= -b T (-AМ_X) левые части этих выражений = M_Z, то C T М_X =b T (-AМ_X); C T = b T A или A T b=C. Чтобы оценка была несмещенной должно вып-ся это условие. 3. Эффектив-ть. Согласно этому свойству или условию дисперсия функции Z д.б. минимальной. Z=-b T L D_Z=b T K_Lb=min. Min дисперсия будет наход-ся при условии несмещенности: D_Z= b T K_Lb+2λ Т (A T b-С) =min. Поск-ку свобод. Член выч-ся по измер., то это есть корреляционная матрица измерений K_L= σ 2 * P -1 (σ =стандарт вес которогопринят =1, Р- весовая матрица). Найдем вектор b в этой задаче. D_Z= σ 2 b T P -1 b+2λ Т (A T b-С) =min; ∂ D_Z /∂b=2 σ 2 b T P -1 +2λ Т A T =0; σ 2 b T P -1 +λ Т A T =0; σ 2 b T P -1 =- λ Т A T

Для решения этого уравнения умножим его справа на матрицу Р: σ 2 b T P -1 Р = — λ Т A T Р, σ 2 b T = — λ Т A T Р, b T = — λ Т A T Р1/ σ 2 . В этом выраж. неиз-м яв-ся λ Т . Найдем его из условия несмещ-ти. b T A- C T = 0. Подст-м это условие в b T : -1/ σ 2 λ Т A T РA- C T = 0; -1/ σ 2 λ Т N- C T = 0; -λ Т N= σ 2 C T . Для вычисления λ Т умножим это выражение на N -1 : -λ Т N N -1 = σ 2 C T N -1 , -λ Т = σ 2 C T N -1 , λ Т = -σ 2 C T N -1 . Ранее было b T =1/ σ 2 λ Т A T Р. Подст-м λ Т : b T = C T N -1 A T Р. Поск-ку мы ранее иск. Z= -C T N -1 A T РL

В частном случае, если Z=X, C T =Е, тогда X= -N -1 A T РL- это единичная несмещ, эффективн. оценка поправок в приближенные значения координат, а значит и координ-т опред-х пунктов D_Z= b T K_Lb, K_L= σ 2 * P -1 , b T = C T N -1 A T Р, D_Z= C T N -1 A T Р* σ 2 * P -1 РA N -1C , Р* P -1 =Е, , D_Z= σ 2 C T

N -1 A T Р A N -1C, AT Р A=N, тогда D_Z= σ 2 C T N -1 N N -1C, N N -1 =Е, D_Z= σ 2 C T N -1 C. В частном случае C T =Е , тогда D_Z=D_X= σ 2 N -1

Таким образом, алгоритм уравнивания параметрическим способом заключается в следующем:

а) составляется система уравнений поправок V=A*X+L

б) вычисляется матрица нормальных уравнений N = А T РА;

в) находится вектор параметров X=-N -1 A T РLи оценивается его точность D_X= σ 2 N -1

Настоящий алгоритм можно вывести и на основе метода наименьших квадратов. Согласно этому методу должно выполняться условие: V T PV=min, V=AX+L. Неиз-н вектор Х? Ф= V T PV, ∂ Ф/∂х=2V T P∂ V/∂х=0, V=AX+L, ∂ V/∂x=A, ∂ Ф/∂х=2V T PA=0, V T PA=0, (V T PA) T =0, A T PV=0, A T P(AX+L)=0, A T PA+ A T PL=0, A T PA=N, Nx+ A T PL=0, Nx=- A T PL. Для вычисления умножим эту матрицу на N -1 слева. N -1 Nx=- N -1 A T PL, x=- N -1 A T PL

Источник

Уравнивание углов на станции параметрическим способом

В табл. 13 даны результаты равноточных измерений углов на станции (рис. 4).

Рис. 4. Углы на станции

Результаты измерений β_i

№ углов	Углы	βi	№ углов	Углы	βi
АКВ	20° 00′ 05,2″	АКД	65° 20′20,0″
ВКС	20° 00′ 10,1″	ВКД	45° 20′ 05,0″
СКД	25° 20′ 00,0″

Число всех измеренных углов n = 5; число необходимых измерений t = 3.

Выберем в качестве параметров х₁, х₂, х₃ соответственно первый, второй, третий углы. Четвертый и пятый углы можно представить как суммы параметров.

Составим параметрические уравнения связи по формуле:

(40)

Введем приближенные значения параметров, приняв их равными измеренным значениям соответствующих углов:

Перейдем к параметрическим уравнениям поправок:

Составим нормальные уравнения:

Bычислим коэффициенты и свободные члены нормальных уравнений (табл. 14).

Таблица параметрических уравнений

Систему нормальных уравнений решим методом обращения

Элементы обратной матрицы N_tt -1 получим на ПК, используя математические функции электронных таблиц Еxсel или системы Mathсad.

Контроль вычисления неизвестных:

4·3,038 +6·(-0,688) + 6·(-0,688) — 3,9 = 0.

В табл. 14 по формуле (28) вычислим поправки к результатам измерений. Сделаем контроль решения по МНК.

Найдем уравненные значения углов (табл. 15). Выполним контроль уравнивания: .

Оценим точность результатов измерений.

— средняя квадратическая ошибка результатов измерений.

Уравненные значения углов. Контроль уравнивания

№ п/п		Параметры и их функции	F_i(x₁, x₂, x₃)
20°00′ 08,24″	x₁	20° 00′ 08,24″
20° 00′ 09,41″	x₂	20° 00′ 09,41″
25° 19′ 59,31″	x₃	25° 19′ 59,31″
65° 20′ 16,96″	x₁ + x₂ +x₃	65° 20′ 16,96″
45° 20′ 08,72″	x₂ + x₃	45° 20′ 08,72″