Выполните наиболее рациональным способом следующие переводы чисел

ГДЗ дидактические материалы по алгебре 7 класс Макарычев, Звавич, Кузнецова Просвещение Задание: С-6 Применение свойств действий над числами

1. Вычислите наиболее рациональным способом

2. Найдите значение выражения, используя распределительное свойство умножения

3. Вычислите наиболее рациональным способом

4. Найдите последовательное значение каждой из разностей, а затем значение суммы

5. Разберите, как выполнено умножение. Используя данный прием, выполните вычисления устно.

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

© 2021Copyright. Все права защищены. Правообладатель SIA Ksenokss.
Адрес: 1069, Курземес проспект 106/45, Рига, Латвия.
Тел.: +371 29-851-888 E-mail: [email protected]

Источник

Перевести число 537.15 из восьмеричной системы в двоичную

Задача: перевести число 537.15 из восьмеричной в двоичную систему счисления.

Для перевода 537.15 из восьмеричной в двоичную систему счисления, воспользуемся следующим алгоритмом:

1. Переведем число 537.15 из восьмеричной системы в десятичную;
2. Полученное число переведём из десятичной системы в двоичную;

1. Для перевода числа 537.15 в десятичную систему воспользуемся формулой:

537.15₈=5 ∙ 8 2 + 3 ∙ 8 1 + 7 ∙ 8 0 + 1 ∙ 8 -1 + 5 ∙ 8 -2 = 5 ∙ 64 + 3 ∙ 8 + 7 ∙ 1 + 1 ∙ 0.125 + 5 ∙ 0.015625 = 320 + 24 + 7 + 0.125 + 0.078125 = 351.203125₁₀

2. Полученное число 351.203125 переведем из десятичной системы счисления в двоичную. Т.к. полученное число содержит дробную часть, нам потребуется перевести вначале целую часть, а затем дробную. Таким образом необходимо:

1. Перевести 351 в двоичную систему;
2. Перевести 0.203125 в двоичную систему;

2.1 Для того, чтобы перевести число 351 из десятичной системы счисления в двоичную, необходимо осуществить последовательное деление на 2, до тех пор пока остаток не будет меньше чем 2.

—	351	2
	350	—	175	2
1	174		—	87	2
1	86	—		43	2
1	42		—	21	2
1	20	—		10	2
1	10		—	5	2
0	4	—		2	2
1	2		1
0

Полученные остатки записываем в обратном порядке, таким образом:

2.2 Для перевода десятичной дроби 0.203125 в двоичную систему, необходимо выполнить последовательное умножение дроби на 2, до тех пор, пока дробная часть не станет равной 0 или пока не будет достигнута заданная точность вычисления. Получаем:

0.203125 ∙ 2 = 0.40625 (0)
0.40625 ∙ 2 = 0.8125 (0)
0.8125 ∙ 2 = 1.625 (1)
0.625 ∙ 2 = 1.25 (1)
0.25 ∙ 2 = 0.5 (0)
0.5 ∙ 2 = 1 (1)

Ответом станет прямая последовательность целых частей произведения. Т.е.

2.3. Осталось соединить переведенные части, таким образом:

Источник

Перевести число 537.15 из восьмеричной системы в шестнадцатеричную

Задача: перевести число 537.15 из восьмеричной в шестнадцатеричную систему счисления.

Для перевода 537.15 из восьмеричной в шестнадцатеричную систему счисления, воспользуемся следующим алгоритмом:

1. Переведем число 537.15 из восьмеричной системы в десятичную;
2. Полученное число переведём из десятичной системы в шестнадцатеричную;

1. Для перевода числа 537.15 в десятичную систему воспользуемся формулой:

537.15₈=5 ∙ 8 2 + 3 ∙ 8 1 + 7 ∙ 8 0 + 1 ∙ 8 -1 + 5 ∙ 8 -2 = 5 ∙ 64 + 3 ∙ 8 + 7 ∙ 1 + 1 ∙ 0.125 + 5 ∙ 0.015625 = 320 + 24 + 7 + 0.125 + 0.078125 = 351.203125₁₀

2. Полученное число 351.203125 переведем из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную. Т.к. полученное число содержит дробную часть, нам потребуется перевести вначале целую часть, а затем дробную. Таким образом необходимо:

1. Перевести 351 в шестнадцатеричную систему;
2. Перевести 0.203125 в шестнадцатеричную систему;

2.1 Для того, чтобы перевести число 351 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную, необходимо осуществить последовательное деление на 16, до тех пор пока остаток не будет меньше чем 16.

—	351	16
	336	—	21	16
F	16		1
5

Полученные остатки записываем в обратном порядке, таким образом:

2.2 Для перевода десятичной дроби 0.203125 в шестнадцатеричную систему, необходимо выполнить последовательное умножение дроби на 16, до тех пор, пока дробная часть не станет равной 0 или пока не будет достигнута заданная точность вычисления. Получаем:

0.203125 ∙ 16 = 3.25 (3)
0.25 ∙ 16 = 4 (4)

Ответом станет прямая последовательность целых частей произведения. Т.е.

2.3. Осталось соединить переведенные части, таким образом:

Источник

Каким мне представляется профильный курс информатики

Продолжение. См. № 4/2009

§4. Смешанные системы счисления

Способ записи чисел, при котором числа из позиционной системы счисления с основанием Q записываются с помощью цифр системы счисления с основанием P, называется смешанной P-Q-ичной системой.

Примером смешанной системы является двоично-десятичная система счисления. В ней десятичное число записывается путем замены каждой цифры на 4-разрядный двоичный код. Таблица соответствия для двоично-десятичной системы следующая:

В этой таблице каждой десятичной цифре поставлено в соответствие равное ей четырехзначное двоичное число (нули слева — незначащие). Например, десятичное число 58236,37 в двоично-десятичной форме запишется так:
101 10001 0010 0011 0101,0011 0111_2–10. Первый слева ноль у целого числа является незначащей цифрой, поэтому его можно не писать.

Для обратного преобразования из двоично-десятичной формы в десятичное число нужно разбить на четверки все знаки двоичного кода: от запятой влево — в целой части и вправо — в дробной части. Затем каждую четверку двоичных цифр заменить на соответствующую десятичную цифру. Например:

11 1000 0010 1001 0011,0101 1001 1000 _2–10 -> 3823,598

Отметим важное обстоятельство: между данными десятичным и двоично-десятичным числом нельзя поставить знак равенства. Двоично-десятичное представление — это всего лишь двоичный код для представления десятичного числа, но никак не равное ему значение в двоичной системе счисления. Выполнение арифметических вычислений над десятичными числами, представленными в двоично-десятичной форме, весьма затруднительно. Тем не менее в истории ЭВМ известны такие примеры. В первой ЭВМ под названием ENIAC использовалась двоично-десятичная система.

Современные компьютеры производят вычисления в двоичной системе счисления. Однако для представления компьютерной информации нередко используются двоично-восьмеричная и двоично-шестнадцатеричная системы.

Двоично-восьмеричная система. В следующей таблице представлено соответствие между восьмеричными цифрами и трехзначными двоичными числами (двоичными триадами), равными по значению этим цифрам.

Записать восьмеричное число в двоично-восьмеричном виде — это значит заменить каждую восьмеричную цифру на соответствующую двоичную триаду. Например:

3517,2₈ > 11 101 001 111,010 _2–8.

А теперь переведем данное восьмеричное число в двоичную систему счисления. Для этого сначала переведем его в десятичную систему, а потом из десятичной в двоичную систему счисления. Вот что получается:

3517,2 ₈ = 1871,25 = 11101001111,01₂.

Но это тот же самый двоичный код, что записан выше в двоично-восьмеричной системе! Мы пришли к следующему результату: двоично-восьмеричное число равно значению данного восьмеричного числа в двоичной системе счисления.

Отсюда следует, что перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную производится перекодировкой по двоично-восьмеричной таблице путем замены каждой восьмеричной цифры на соответствующую двоичную триаду. А для перевода числа из двоичной системы в восьмеричную его цифры надо разбить на триады (начиная от запятой) и заменить каждую триаду на соответствующую восьмеричную цифру.

Двоично-шестнадцатеричная система счисления. В следующей таблице представлено соответствие между шестнадцатеричными цифрами и четырехзначными двоичными числами (двоичными тетрадами), равными по значению этим цифрам.

Записать шестнадцатеричное число в двоично-шестнадцатеричном виде — это значит заменить каждую шестнадцатеричную цифру на соответствующую двоичную тетраду. Например:

С81F,1D₁₆ > 1100 1000 0001 1111,0001 1101_2–16

Переведем данное шестнадцатеричное число сначала в десятичную систему счисления, а затем в двоичную систему. Получим:

= 1100 1000 0001 1111,0001 1101₂

Получился тот же самый двоичный код, что записан выше в двоично-шестнадцатеричной системе! Рассмотренный пример привел к следующему результату: двоично-шестнадцатеричное число равно значению данного шестнадцатеричного числа в двоичной системе счисления.

Следовательно, для перевода числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную достаточно выполнить перекодировку по двоично-шестнадцатеричной таблице путем замены каждой шестнадцатеричной цифры на соответствующую двоичную тетраду. А для перевода числа из двоичной системы в шестнадцатеричную его цифры надо разбить на тетрады (начиная от запятой) и заменить каждую тетраду на соответствующую шестнадцатеричную цифру.

Можно ли на основании приведенных частных примеров делать глобальные выводы о том, что двоично-восьмеричный (двоично-шестнадцатеричный) код любого восьмеричного (шестнадцатеричного) числа совпадает с двоичным значением этого числа? Нет, конечно! Это утверждение требует доказательства. Такое доказательство существует 1 .

Доказано, что для любого числа в системе счисления с основанием p = 2 n смешанный двоично-р-ичный код совпадает с представлением этого числа в двоичной системе счисления.

Поскольку 8 = 2 3 , а 16 = 2 4 , то сформулированное правило относится к восьмеричной и шестнадцатеричной системам. Очевидно, что такая же связь существует между двоичной и четверичной системами счисления, поскольку 4 = 2 2 .

Любые данные в памяти компьютера хранятся в двоичном виде. Восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления используют для компактного представления содержимого памяти компьютера, а также ее адресации. Восьмеричное представление сжимает двоичный код в три раза, а шестнадцатеричное представление — в четыре раза.

Задача. Перевести число 1369,75 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Наиболее рациональный способ решения задачи следующий. Нужно перевести это число в одну из трех систем с основанием 2, 8 или 16, а затем, используя связь между ними через смешанное представление, выполнить перевод в две другие системы путем перекодировки по таблицам 2–8 и 2–16.

1) Переведем число в восьмеричную систему путем последовательного деления на 8 целой части и последовательного умножения на 8 дробной части числа. Получим:

2) Путем перекодировки по двоично-восьмеричной таблице переведем это число в двоичную систему счисления:

3) Разделив цифры двоичного числа на тетрады (влево и вправо от запятой), переведем двоичное число в шестнадцатеричную систему, используя двоично-шестнадцатеричную таблицу:

Вопросы и задания

1. Дайте определение смешанной системе счисления.

2. Почему двоично-десятичный код не совпадает с двоичным числом, равным данному десятичному числу?

3. Для каких целей в компьютерных технологиях используются восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?

4. Выполните наиболее рациональным способом следующие переводы чисел: 537,15₈->X₂; 537,15₈->X₁₆; 10111011010101,01011₂->X₈->Y₁₆.

5. Напишите двоично-четверичную таблицу перекодировки.

6*. Постройте электронную таблицу для перевода четверичных чисел в двоичную систему счисления.

7**. Постройте электронную таблицу для перевода восьмеричных чисел в двоичную систему счисления.

8**. Напишите программу на Паскале перевода целого двоичного числа в восьмеричную систему счисления.

§5. Арифметика в позиционных системах счисления

Во всех позиционных системах счисления выполнение арифметических операций подчиняется одним и тем же законам: коммутативному, ассоциативному, дистрибутивному. В основе арифметических вычислений лежат правила сложения (таблица сложения) и правила умножения (таблица умножения) однозначных чисел.

Сложение и вычитание многозначных чисел в р-ичной системе производится столбиком по тому же алгоритму, что и для десятичных чисел. Соответствующие разряды слагаемых записываются друг под другом. Сложение производится поразрядно, начиная с младшего разряда. Если при суммировании цифр одного разряда сумма оказывается больше р–1 (двузначное число), то в данном разряде результата записывается младшая цифра суммы, а старшая цифра прибавляется к следующему по старшинству разряду (ближайшему слева).

Вычитание — обратная к сложению операция. Если в очередном разряде уменьшаемого стоит цифра меньшая, чем у вычитаемого, то занимается единица у ближайшего слева ненулевого разряда. В результате к вычисляемому разряду уменьшаемого добавляется р. Если единица занималась не у соседнего слева разряда, то к промежуточным разрядам добавляется р–1.

Умножение сводится к многократному сложению со сдвигом разрядов, а деление — к многократному вычитанию.

Двоичная арифметика. Вот как выглядят таблицы сложения и умножения в двоичной системе счисления:

Рассмотрим примеры выполнения четырех арифметических операций с двоичными числами.

Замечание: далее нижний индекс для обозначения системы счисления будет опускаться.

Пример 1. Сложение двоичных чисел. Маленькими цифрами сверху обозначены значения, переносимые при сложении в соседний слева разряд.

Пример 2. Вычитание двоичных чисел. Маленькими цифрами сверху обозначены значения, добавляемые к разряду в процессе переноса единицы из ближайшего ненулевого разряда слева.

Правильность полученного результата можно проверить путем сложения разности с вычитаемым. В результате должно получиться уменьшаемое.

Пример 3. Умножение двоичных чисел.

Пример 4. Деление двоичных чисел. В следующем примере делимым числом является произведение из предыдущего примера, делителем — второй сомножитель. Частное получилось равным первому сомножителю.

Двоичная арифметика — наиболее простая. Эта простота стала одной из причин использования двоичной системы счисления в компьютерах.

Арифметика в других системах счисления. Приведем примеры вычислений в других системах счисления. Рассмотрим пятеричную систему.

Таблица сложения пятеричной системы

Пример сложения и вычитания
пятеричных чисел

Таблица умножения пятеричной системы

Вычисления в системах счисления с основанием
p = 2 n можно производить по такой же схеме, как это делалось выше: построить таблицы сложения и умножения и, заглядывая в эти таблицы, выполнять многозначные вычисления. Но можно пойти другим путем, используя связь таких систем с двоичной системой счисления. Алгоритм вычисления будет следующим:

1) перевести данные числа в двоичную систему счисления, используя таблицу двоичного представления цифр р-ичной системы;

2) выполнить вычисления с двоичными числами;

3) перевести полученное двоичное число в р-ю систему через ту же таблицу (п. 1).

Задача 1. Вычислить сумму двух шестнадцатеричных чисел: 3A8D,1F₁₆ + 2C6,5₁₆.

Используем описанный выше алгоритм.

Задача 2. В среде электронной таблицы создать автоматически заполняемую таблицу умножения для восьмеричной системы счисления.

В режиме отображения значений электронная таблица будет иметь следующий вид:

Таблица создается в такой последовательности:

1. В ячейку D1 заносится число 8 — основание системы счисления. Поясняющий текст заносится в соседние ячейки первой строки.

2. В блок B3:H3 заносятся числа с 1 до 7.

3. В блок A4:А10 заносятся числа с 1 до 7.

4. В ячейку В4 заносится формула:

5. Формула из ячейки В4 копируется в блок B4:H10 .

Здесь используются две стандартные функции электронных таблиц:

ЦЕЛОЕ (число) — выделение целой части числа, стоящего в аргументе;

ОСТАТ (число; делитель) — остаток целочисленного деления (аналог операции mod в Паскале).

Задача 3. Создать программу на Паскале, выводящую на экран таблицу умножения в системе счисления с основанием p (2 1 См.: Андреева Е.В., Босова Л.Л., Фалина И.Н. Математические основы информатики. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007.

Источник