Дробь — одна из форм представления числа в математике. Это запись, в которой a и b являются числами или выражениями. Есть два формата записи:
обыкновенный вид — 1/2 или a/b,
десятичный вид — 0,5.
Над чертой принято писать делимое, которое является числителем. А под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.
Дроби бывают двух видов:
Числовые — состоят из чисел, например, 5/9 или (1,5 — 0,2)/15.
Алгебраические — состоят из переменных, например, (x + y)/(x — y). В этом случае значение дроби зависит от данных значений букв.
Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например 3/7 и 31/45.
Неправильной — ту, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 21/4. Такое число является смешанным и читается, как пять целых одна четвертая, а записывается — 5 1\4.
Основные свойства дробей
1. Дробь не имеет значения, при условии, если делитель равен нулю.
2. Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
3. Равными называют a/b и c/d в том случае, если a * d = b * c.
4. Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Правило вычитания дробей
Вычитание — арифметическое действие, когда от одного числа отнимают другое.
Свойства вычитания:
Чтобы вычесть сумму из числа, можно из него вычесть одно слагаемое, а после из результата вычесть другое слагаемое: a — (b + c) = (a — b) — c, a — (b + c) = (a — с) — b.
Скобки в выражении (a — b) — c не имеют значения и их можно опустить: (a — b) — c = a — b — c.
Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого, а к результату прибавить оставшееся: (a + b) — c = (a — c) + b, если a > c или а = с, (a + b) — c = (b — c) + a, если b > c или b = с.
Если из числа вычесть нуль, получится оно же: a — 0 = a.
Если из числа вычесть его само, получится нуль: a — a = 0.
Записывайтесь на наши дополнительные занятия по математике, для учеников с 1 по 11 классы!
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Для вычитания дробей с одинаковыми знаменателями нужно от числителя первой отнять числитель второй, а знаменатель оставить тот же.
Прежде, чем зафиксировать ответ, важно проверить возможность сокращения.
Рассмотрим это правило на примере:
Вычитание дробей с разными знаменателями
Как вычитать дроби с разными знаменателями? Для этого приводим их к общему знаменателю и гаходим разность числителей.
Рассмотрим пример, в котором нужно найти разность 2/9 и 1/15.
Как решаем:
Знаменатели разные, значит найдем наименьшее общее кратное (далее — НОК) для определения единого делителя. Для этого записываем в столбик числа, которые в сумме дают значения делителей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.
НОК (9, 15) = 3 * 3 * 5 = 45
Найдем дополнительные множители. Для этого НОК делим на каждый знаменатель:
Полученные числа умножим на соответствующие дроби:
Перейдем к вычитанию заданных чисел:
Вычитание обыкновенной дроби из натурального числа
Для вычитания из обыкновенной дроби натурального числа необходимо это действие привести к вычитанию обыкновенных дробей.
Разберем для наглядности пример разности 3 и 6/7.
Как решаем:
Представим натуральное число в виде смешанного — займем единицу и переведем ее в неправильную дробь с тем же знаменателем, что у вычитаемой:
Ответ: две целых одна седьмая.
Вычитание натурального числа из обыкновенной дроби
Для вычитания натурального числа из обыкновенной дроби нужно последовать тому же алгоритму, что и в предыдущем примере. А именно: перевести натуральное число в вид дроби, привести все к единому знаменателю, найти разность.
Рассмотрим пример разности 3 из 83/21.
Как решаем:
А еще можно вот так:
Представим 83/21 в виде смешанной дроби, для этого разделим делитель на делимое:
3 * 20/21 — 3 = 20/21
Если урок в самом разгаре и посчитать нужно быстро — можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Вот несколько подходящих:
Прибавление и вычитание дробей — смежные темы: принципы и закономерности очень похожи. Чтобы закрепить знания, нужно решать примеры сложения дробей, как можно чаще.
Источник
Сложение и вычитание обыкновенных дробей
Давайте разберемся, как складывать и вычитать обыкновенные дроби. Данный навык необходим для решения множества задач как и в школьном курсе, так и при сдаче ОГЭ или ЕГЭ по математике. Итак, перейдем к рассмотрению различных примеров.
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Начнем с рассмотрения самого простого примера — сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. В данном случае необходимо просто произвести действия с числителями — сложить их или вычесть.
При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями знаменатель не изменяется!
Главное не производить никакие операции сложения и вычитания в знаменателе, но некоторые школьники забывают об этом. Чтобы лучше понять это правило, прибегнем к принципу визуализации, или говоря простыми словами, рассмотрим жизненный пример:
У Вас есть половина яблока — это ½ от всего яблока. Вам дают еще одну половину, то есть еще ½. Очевидно, что теперь у Вас целое яблоко (не считая, что оно разрезано 🙂 ). Поэтому ½ + ½ = 1, а не что-то другое, как, например, 2/4. Или же у Вас забирают эту половину: ½ — ½ = 0. В случае вычитания с одинаковыми знаменателями получается вообще особый случай — при вычитании одинаковых знаменателей, мы получим 0, а на 0 делить нельзя, и данная дробь не будет иметь смысла.
Приведем напоследок пример:
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Что же делать, если знаменатели разные? Для этого нам необходимо вначале привести дроби к одному знаменателю, а затем действовать как я указал выше.
Приводить дробь к общему знаменателю можно двумя способами. Во всех способах используется одно правило — при умножении числителя и знаменателя на одно и то же число дробь не изменяется.
Существует два способа. Первый — самый простой — так называемый «крест-накрест». Он заключается в том, что первую дробь мы умножаем на знаменатель второй дроби (и числитель и знаменатель), а вторую дробь умножаем на знаменатель первой (аналогично и числитель и знаменатель). После этого действуем как в случае с одинаковыми знаменателями — теперь они действительно одинаковые!
Предыдущий способ универсален, однако в большинстве случаев у дробей знаменателей можно найти наименьшее общее кратное— число, на которое делится и первый знаменатель и второй, причем самое маленькое. В данном методе нужно уметь видеть такие НОКи, потому что специальный поиск их достаточно ёмкий и уступает по скорости методу «крест-накрест». Но в большинстве случаев НОКи довольно хороши видны, если набить глаз и достаточно тренироваться.
Надеюсь, что теперь Вы в совершенстве владеете методами сложения и вычитания дробей!
Источник
Как вычитать дроби с разными знаменателями
Что такое дробь? Какие бывают дроби
Дробь является одним из вариантов записи числа в математике.
обыкновенная, как 1 2 или a b ;
десятичная, например, 0 , 5 .
В простой записи дроби над чертой записывают делимое, то есть числитель. Под чертой расположен делитель, то есть знаменатель. Черта в дроби, разделяющая делитель и знаменатель, обозначает, что необходимо сделать, то есть выполнить деление.
В качестве примера можно рассмотреть следующее выражение:
В левой части равенства 7 является делимым, а 8 — делителем. В правой части уравнения записана дробь. Здесь 7 играет роль числителя, а 8 представляет собой знаменатель.
Основная классификация дробей:
Числовые дроби, в состав которых входят числа, к примеру, 5 9 , ( 1 , 5 — 0 , 2 ) 15 .
Алгебраические дроби, состоящие из переменных, например ( x + y ) ( x — y ) .
Значение алгебраических дробей определяется значением букв в выражении.
Правильная дробь — это дробь с числителем, который по значению меньше, чем знаменатель.
В качестве примеров правильных дробей можно привести следующие записи:
Неправильная дробь — это дробь с числителем, который больше, либо равен знаменателю.
Пример неправильной дроби:
Данное число является смешанным. Читать его необходимо таким образом: пять целых одна четвертая. Запись числа имеет следующий вид: 5 1 4 .
Использование свойств вычитания при вычитании дробей
В том случае, когда делитель дроби является нулем, такая дробь не имеет значения.
Дробь равна нулю при условии, что числитель обладает нулевым значением, а знаменатель не равен нулю.
Дроби a b и c d равны друг другу, если a × d = b × c .
В процессе деления или умножения числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число получается равная ей дробь.
Определение 4
Вычитание является действием в арифметике, когда одно число отнимают от другого числа.
При вычитании справедливо использовать следующие свойства чисел:
при вычитании суммы из числа из него допускается вычесть одно слагаемое, а затем результат уменьшить на значение второго слагаемого:
a — ( b + c ) = ( a — b ) — c ,
a — ( b + c ) = ( a — с ) — b .
скобки в выражении ( ( a — b ) – c ) не имеют смыслового значения, допустимо исключить их из выражения:
( a — b ) — c = a — b — c .
для вычитания числа из суммы необходимо воспользоваться рациональным способом решения, то есть вычесть его из одного слагаемого, а результат увеличить на значение оставшегося:
( a + b ) — c = ( a — c ) + b , если a > c или а = с ,
( a + b ) — c = ( b — c ) + a , если b > c или b = с .
когда из числа, в том числе, отрицательного, вычитают нуль, получается то же самое число:
при вычитании числа из аналогичного числа получается нуль:
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
При вычитании различных дробей с одинаковыми знаменателями требуется из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить без изменений.
Таким образом, чтобы из одной дроби вычесть дробь с аналогичным знаменателем, необходимо вычитать числители, а одинаковые знаменатели оставить прежними. Используя буквы, можно представить наглядную запись этого правила:
a c — b c = a — b c
В качестве примеров можно решить следующие выражения:
7 9 — 5 9 = 7 — 5 9 = 2 9
15 17 — 3 17 = 15 — 3 17 = 12 17
27 35 — 11 35 = 27 — 11 35 = 16 35
48 63 — 25 63 = 48 — 25 63 = 23 63
Вычитание смешанных дробей с одинаковыми знаменателями
При вычитании смешанных дробей требуется выполнить отдельно вычитание их целых частей и отдельно вычитание их дробных частей.
В том случае, когда дробная часть уменьшаемого меньше, чем дробная часть вычитаемого, следует выполнить следующие действия:
сначала нужно занять 1 у целой части;
единицу необходимо представить, как дробь с числителем, равным знаменателю;
выполнить сложение этой дроби и дробной части уменьшаемого.
Используя буквы, данное правило вычитания смешанных дробей можно записать с помощью формулы:
a m c — b n c = ( a — b ) + m — n c
a m c — b n c = ( a — 1 ) m + c c — b n c = ( a — 1 — b ) + m + c — n c
На нескольких примерах можно рассмотреть правило вычитания смешанных дробей:
Вычитание дробей, которые обладают разными знаменателями, выполняют путем приведения их к общему знаменателю и вычисления разности числителей.
Применение озвученного правила на практике можно рассмотреть на примере дробей, разность которых требуется определить:
В процессе решения задачи можно использовать следующий алгоритм:
В связи с тем, что знаменатели не одинаковые, нужно определить самое маленькое общее кратное ( Н О К ), чтобы найти единый делитель. Следует записать в колонку числа, составляющие в сумме значения делителей. Затем необходимо перемножить полученные значения и вычислить Н О К .
Н О К ( 9 , 15 ) = 3 × 3 × 5 = 45
На следующем этапе следует определить дополнительные множители. При этом Н О К нужно поделить на каждый из знаменателей.
Числа, которые были получены в результате действий, требуется умножить на соответствующие дроби:
2 9 = 2 × 5 9 × 5 = 10 45
1 15 = 1 × 3 15 × 3 = 3 45
В завершении алгоритма можно выполнить вычитание заданных чисел:
10 45 — 3 45 = 10 — 3 45 = 7 45
2 9 — 1 15 = 7 45
Как вычесть из обыкновенной дроби натуральное число
При вычитании натурального числа из обыкновенной дроби следует выполнить ряд действий:
перевод натурального числа в дробь;
перевод всех элементов выражения к единому знаменателю;
определение разности.
Пример 6
Рассмотреть принцип вычитания натурального числа из обыкновенной дроби можно на примере:
83 21 — 3 1 = 83 21 — 63 21 = 20 21
В качестве альтернативного варианта решения этого примера можно записать 83 21 , как смешанную дробь. В процессе необходимо разделить делитель на делимое:
83 21 = 3 × 20 21
После вычитания получим:
3 × 20 21 – 3 = 20 21
Как вычесть обыкновенную дробь из натурального числа
Уменьшить обыкновенную дробь на натуральное число можно путем перевода данного действия к вычитанию обыкновенных дробей. Принцип решения подобной задачи можно рассмотреть на конкретном примере:
В первую очередь следует записать натуральное число, как смешанное. Для этого нужно занять единицу и перевести ее в неправильную дробь с тем же знаменателем, что у вычитаемой:
3 — 6 7 = 2 × 7 7 — 6 7 = 2 × 1 7
Ответ прозвучит таким образом: две целых одна седьмая.
Как из единицы вычесть дробь
Если по условиям задачи из единицы нужно вычесть дробь, то в этом случае следует выполнить ряд последовательных действий:
Перевод единицы в дробь с числителем и знаменателем, которые будут равны знаменателю вычитаемого;
Вычитание дробей, которые обладают аналогичными знаменателями.
Используя буквы, можно записать алгоритм:
1 — a b = b b — a b = b — a b
1 — 3 8 = 8 8 — 5 8 = 8 — 5 8 = 3 8
Если найти сумму числителя разности и числителя вычитаемого, получится в результате знаменатель вычитаемого. Таким образом, при вычитании дроби из единицы итогом является дробь с числителем, который равен разности знаменателя и числителя вычитаемой дроби, а знаменатель — остается таким же. На основании этого заключения можно упростить вычитание дроби из единицы, то есть:
Операция вычитания из целого числа смешанного числа (смешанной дроби) выполняется по принципу, аналогичному вычитанию дроби из целого числа. При уменьшении целого числа на значение смешанного следует выполнить несколько действий:
Перевод целого числа в смешанную дробь. Нужно занять единицу у целой части и перевести ее в дробь с числителем и знаменателем, которые аналогичны знаменателю дробной части вычитаемого.
Вычитание смешанных чисел. Вычитание вычитаемого из уменьшаемого: отдельно — целые части, отдельно — дробные.
Используя буквы, можно записать правило вычитания смешанного числа из целого:
a — b m c = ( a — 1 ) c c — b m c = ( a — 1 — b ) c — m c
Алгоритм действий при вычитании одного смешанного числа из другого:
Приведение дробных частей к самому маленькому единому знаменателю.
В том случае, когда дробная часть уменьшаемого меньше, чем дробная часть вычитаемого, следует перевести ее в вид неправильной дроби путем уменьшения на единицу целой части. При этом числитель уменьшаемого увеличивают на значение знаменателя.
Отдельно вычесть целые части и отдельно вычесть дробные части.
Выполнить проверку полученной дроби на возможность сокращения.
Пример 9
В первую очередь при вычитании смешанных чисел следует найти самый маленький единый знаменатель дробных частей:
12 на 9 не делится;
12∙2=24 на 9 не делится;
12∙3=36 на 9 делится.
Таким образом, минимальный единый знаменатель этих дробей соответствует 36. Для поиска дополнительного множителя к каждой из дробей необходимо новый знаменатель разделить на старый знаменатель. Отдельно следует вычитать целые части, отдельно — дробные. В итоге получится дробная часть, которая является правильной и несокращаемой. Можно сделать вывод о том, что ответ является окончательным.
Для вычитания смешанных чисел необходимо найти минимальный единый знаменатель для дробных частей:
6 на 4 не делится;
6∙2=12 на 4 делится.
Таким образом, 12 является минимальным единым знаменателем. Дробная часть уменьшаемого меньше по сравнению с дробной частью вычитаемого. Нужно позаимствовать единицу у целой части. В связи с тем, что знаменатель соответствует 12, единицу допустимо расписать, как 12 12 , то есть к числителю дробной части уменьшаемого следует прибавить знаменатель. Итоговым результатом будет дробная часть в виде правильной несократимой дроби.
10 — 3 4 7 = 9 7 7 — 3 4 7 = 6 3 7
В том случае, когда в процессе вычитания смешанных чисел в уменьшаемом нет дробной части, следует занять единицу у целой части. В связи с тем, что значение знаменателя вычитаемого соответствует 7, единицу можно представить в виде 7 7 . В результате получена дробь, которая является правильной и не подлежит сокращению.
Начать вычитание смешанных чисел целесообразно с определения минимального единого знаменателя. В связи с тем, что 18 делится на 9, то 18 является самым маленьким общим знаменателем. Дробь, которая получилась в результате, сокращается на 9.
Как перевести смешанную дробь в обыкновенную
Смешанная дробь обладает целыми числами:
В обычной дроби знаменатель больше, чем числитель:
В действительности невозможно перевести обычную дробь в смешанную дробь и наоборот.
Неправильная дробь, в которой числитель больше по сравнению со знаменателем, имеет вид:
Неправильную дробь можно записать в виде смешанной дроби. Возможен и обратный перевод.
К примеру, имеется некая неправильная дробь:
В результате деления 17 на 3 получится 5 с каким-то остатком. Выяснять значение остатка не обязательно, так как для последующих расчетов необходимо только целое число. Затем нужно 5 умножить на 3. Из 17 следует отнять полученный результат 15. В итоге получится 2, что позволит записать 2 3 . В результате получится 5 целых 2 3 :
Смешанная дробь может быть преобразована в неправильную дробь. Для этого следует выполнить действия в обратном порядке:
