Вычислить площадь полигона аналитическим способом по координатам его вершин

Определение площади полигона

Для определения площади строительных участков применяют следующие способы: графический, аналитический, механический.

В выполняемой работе использовать аналитический способ.

Площадь полигона можно вычислить по координатам его вершин. Исходными данными являются координаты точек (вершин) теодолитного хода (полигона).

Рис. 3.4.1 — Схема проекций точек теодолитного хода на координатные оси

Рис. 3.4.2 — Схема определения площади полигона аналитическим способом

— замкнутый полигон 1-2-3-4-1, (1-2-3-4-5-6-1);

Определить: площадь F полигона.

,

(3.4.1)

где – площадь прямоугольника АВСD, образованного максимальными и минимальными абсциссами и ординатами вершин полигона; – площади треугольников, образованных приращениями координат соседних точек.

Подставим значение площадей в исходную формулу, раскроем скобки и после приведения подобных членов получим:

.

(3.4.2)

Вынесем за скобки одноименные значения:

.

(3.4.3)

То есть удвоенная площадь полигона равна сумме произведений (для каждой точки полигона) абсциссы х на разность между ординатами у последующей и предыдущей точек.

Данный полигон состоит из четырех точек, поэтому в формуле получилось четыре таких слагаемых. Для полигона из n точек формула примет вид:

.

(3.4.4)

Формулу 7.5 следует читать так: двойная площадь полигона (многоугольника) равна сумме произведений абсциссы каждой точки на разность ординат последующей и предыдущей точек.

Формула для вычисления площади полигона: в формуле (7.4) за скобки можно вынести у:

,

(3.4.5)

После преобразования формула будет иметь вид:

.

(3.4.6)

Формулу 7.7 следует читать так: двойная площадь полигона (многоугольника) равна сумме произведений ординаты каждой точки на разность абсцисс предыдущей и последующей точек теодолитного хода.

Вопросы для контроля:

1. Какой порядок камеральных работ при построении плана теодолитной съемки?

2. Перечислите способы съемки ситуации.

3. По какой формуле вычисляют площадь полигона, контроль?

4. Как контролируют правильность нанесения точек теодолитного хода?

5. Какой размер пересечения координатных линий, каким цветом рисуют?

Источник

2 Определение площади полигона аналитическим способом

По координатам вершин полигона вычисляется площадь участка по формулам:

(15)

(16)

Пример вычисления площади полигона представлен в таблице 6. Часто эта таблица является продолжением ведомости вычисления координат.

Произведения в ведомости округляем до 1 м, т.к. это практически не влияет на результат.

Сумма разностей абсцисс и сумма разностей ординат должна равняться 0.

Таблица 6 – Вычисление площади полигона по координатам его вершин

Произведения, м 2

S = 3518936 м 2 = 351,89 га

3 Составление плана по координатам вершин полигона

По данным теодолитной съемки составить план в масштабе 1:10 000.

1) Построение координатной сетки

На 1/2 листа чертежной бумаги (формат А-2) построить прямоугольную координатную сетку со сторонами квадратов 10 см так, чтобы полигон разместился симметрично относительно краев листа бумаги (рисунок 2).

Для этого необходимо определить размеры плана полигона с севера на юг и с запада на восток по формулам:

(17)

(18)

где 100 — число метров местности, соответствующее 1 см на плане согласно масштабу.

В нашем примере размер плана с севера на юг будет

.

Размер плана с запада на восток будет

Границы полигона намечаются на бумаге таким образом, чтобы сверху остался запас в два раза больше, чем снизу, т.е. снизу отложить

а слева и справа — поровну

(1у листа – 1_У плана)/2 (см).

Для листа формата А-2 эти расстояния будут равны:

от нижнего края листа (42 – 25,1) / 3 = 5,6 см;

от левого края листа (59,5 – 22,3) / 2 = 18,6 см.

Далее определяют места ближайших линий координатной сетки относительно нижней и левой границ полигона, соответствующие круглым значениям координат (кратных 1000 м).

Определяют расстояние от нижней границы до ближайшей линии ординат:

и расстояние от левой границы до ближайшей линии абсцисс:

В нашем примере эти расстояния будут равны

l_Yсетки = (3000 – 2475,16) / 100 = 5,2 см

1_Х сетки = (4835,19 – 4000) / 100 = 8,4 см.

Отложив на бумаге эти расстояния, в пересечении найдем положение точки для начала построения координатной сетки.

Рисунок 2 – Расчеты для размещения плана симметрично относительно краев листа

Координатную сетку строят при помощи масштабной линейки и измерителя по способу засечек, известному из геометрии. Контроль правильности построения сетки координат осуществляется путем измерения сторон и диагоналей квадратов, при сравнении которых допускаются расхождения в пределах 0,2мм.

Сетка вычерчивается остро отточенным карандашом по ребру выверенной линейки, а затем закрепляется зеленой тушью тонкими линиями. Подписывают линии координатной сетки со значениями координат, кратными 1000м.

2) Накладка теодолитного хода на план

Все точки полигона и диагонального хода последовательно наносятся на бумагу по координатам с помощью масштабной линейки и измерителя. Нанесение на план точек теодолитного хода производится по их вычисленным координатам.

Для этого сначала определяют квадрат сетки, в котором находиться пункт. Далее на противоположных сторонах этого квадрата циркулем с использованием поперечного масштаба откладывают отрезки, соответствующие разностям одноименных координат точки и «младших» сторон квадрата. Точки отложения отрезков на сторонах квадрата попарно соединяют линиями, пересечение которых дает положение наносимого на план пункта.

Контроль правильности нанесения точек по координатам осуществляется путем сравнения сторон на плане с соответствующими длинами горизонтальных проложений, записанными в ведомости координат. Расхождения не должны превышать 0,2 мм.

3) Нанесение ситуации

Нанесение контуров на план каждый студент выполняет, руководствуясь абрисом (рис. 3а, 3б).

Способ построения контуров на плане соответствует способу съемки их на местности. Для построения контуров можно пользоваться транспортиром и линейкой с миллиметровыми делениями. Построенные разными способами точки контуров соединить плавными линиями.

Рисунок 3 а – Абрисы съемок

Рисунок 3 б – Абрисы съемок

4) Оформление плана

На план нанести условные знаки с соблюдением их размеров и начертаний, согласно «Условным знакам для планов масштаба 1:10000» (рисунок 4). Все линии на плане вычертить толщиной 0,15 мм. Координатную сетку подписать с двух сторон, снизу и слева по осям Х и У.

Напротив линий полигона в виде дроби подписывают дирекционные углы (или румбы) в числителе и длины линий – в знаменателе. Черта дроби должна быть параллельна оси Y, и находится на расстоянии примерно 1 см от линии (рисунок 5).

В верхней части листа крупным шрифтом подписывают «План землепользования», указывают название землепользователя (например, колхоз или АО «Новый путь» Емельяновского района Красноярского края).

Под названием помещают таблицу с указанием площадей угодий, называемую экспликацией (состав угодий).

Внизу под планом указывают масштаб, указывают фамилию составителя плана.

Рисунок 4 – Условные знаки для карты масштаба 1:10000

Источник

Вычисление площади участка по координатам вершин основного теодолитного хода

Площадь замкнутого полигона по координатам его вершин определяют по формулам:

X,Y – координаты вершин основного теодолитного хода;

n – вершины хода;

(n+1) – номер последующей вершины;

(n – 1) – номер предыдущей вершины.

По обеим формулам должно получиться одно и то же значение площади, что является контролем вычисления площади участка.

Вычисляют площадь по приведенным формулам в специальной «Ведомости вычисления площади участка по координатам» (табл.6).

Вначале из «Ведомости вычисления координат основного замкнутого хода» (табл.4) переносят в «Ведомость вычисления площади» (табл.6) координаты вершин замкнутого полигона. После этого вычисляют разности соответствующих ординат (графы 2 и 3) и соответствующих абсцисс, указанных в приведенных формулах площади, число разностей равно числу вершин полигона.

В примере: и :

1. = 471,08 – 191,42 = 279,66	1 =78,54-266,54 = 188,00
= 511,48 – 206,93 = 304,55
= 398.81 – 471,08= — 72,27
= 191,42 – 511,48 = -320,06
= 206,93 – 398,81 = — 191,88

Алгебраическая сумма разностей абсцисс и ординат должна равняться нулю, что является контролем вычисления соответствующих разностей. Полученные разности абсцисс и ординат заносят в графы 6 и 7 ведомости. Произведения алгебраически суммируют отдельно в графе 6 и в графе 7. Суммы должны быть одинаковыми, что является контролем вычислений. Сумма произведений в графе 6 и в графе 7 составляют двойную площадь участка.

В примере: 2S= 156506, 62 м 2 , а площадь полигона

S = .

Все вычисления площади записывают в ведомость (табл. 6).

Ведомость вычисления площади участка по координатам

№ точек	Координаты
Х	Y
+289,4	+206,93	+279,66	— 188,00	+80936,40	-38902,84
+266,54	+471,08	+304,55	+ 223,40	+81174,76	+105239,27
+66,01	+511,48	-72,27	+311,02	-4770,34	+159080,50
-44,48	+398,81	— 320,06	-12,53	+14236,26	-4997,09
+78,54	+191,42	-191.88	-333,89	-15070,26	-63913,22
+584,21 — 584,21	+534,42 -534,42	156506,62	156506,62
2S=156506,62м 2 S = 78253,31м 2

На защиту необходимо представить:

1. Обработанный журнал теодолитной съемки.

2. Ведомость вычисления координат точек теодолитных ходов.

4. Ведомость вычисления площади участка.

5. Расчетно-графическая работа должна иметь титульный лист (рис.11).

1. Маслов А.В., Гордеев А.В., Батраков Ю.Г., Геодезия. — М.: КолосС 2006. — 599 с.

2. Поклад Г.Г., Гриднев С.П.Геодезия. — М.: Академический проект 2007. — 592 с.

Источник