- Методы вычисления определителей
- Вычисления определителей второго порядка
- Методы вычисления определителей третьего порядка
- Правило треугольника
- Правило Саррюса
- Разложение определителя по строке или столбцу
- Разложение определителя по элементам строки или столбца
- Приведение определителя к треугольному виду
- Теорема Лапласа
- Определитель матрицы: алгоритм и примеры вычисления определителя матрицы
- Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника
- Правило Саррюса
- Методы разложения по элементам строки и столбца
- Свойства определителя
- Определитель матрицы онлайн
- Предупреждение
- Примеры вычисления определителя матрицы
- Нахождение определителя матрицы 3 порядка
- Определитель матрицы 3 порядка, описание
- Правила для нахождения
- Нахождение методом треугольника
- Метод Саррюса
Методы вычисления определителей
В общем случае правило вычисления определителей $n$-го порядка является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.
Вычисления определителей второго порядка
Чтобы вычислить определитель матрицы 
второго порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали:
Задание. Вычислить определитель второго порядка $\left| \begin
Решение. $\left| \begin
Методы вычисления определителей третьего порядка
Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.
Правило треугольника
Схематически это правило можно изобразить следующим образом:
Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.
Методы вычисления определителей не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Задание. Вычислить определитель $\left| \begin
Решение. $\left| \begin
$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$
Правило Саррюса
Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»:
Задание. Вычислить определитель $\left| \begin
Решение. 
$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)=54$$
Разложение определителя по строке или столбцу
Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.
Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель $\left| \begin
Решение. $\left| \begin
Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.
Задание. Вычислить определитель $\left| \begin
Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.
Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.
Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.
Разложение определителя по элементам строки или столбца
Задание. Вычислить определитель $\left| \begin
Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй — пять третьих и от четвертой — три третьих строки, получаем:
Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:
Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей — вторую:
$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$
Последний и предпоследний определители можно было бы и не вычислять, а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат пропорциональные строки.
Приведение определителя к треугольному виду
С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.
Задание. Вычислить определитель $\Delta=\left| \begin
Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент $a_<11>$ будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:
Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_<11>$ , для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:
Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен $\pm 1$ , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):
Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем:
Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:
Ответ. $\Delta=-80$
Теорема Лапласа
Пусть $\Delta$ — определитель $n$-го порядка. Выберем в нем произвольные $k$ строк (или столбцов), причем $k \leq n-1$ . Тогда сумма произведений всех миноров $k$-го порядка, которые содержатся в выбранных $k$ строках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю.
Задание. Используя теорему Лапласа, вычислить определитель $\left| \begin
Решение. Выберем в данном определителе пятого порядка две строки — вторую и третью, тогда получаем (слагаемые, которые равны нулю, опускаем):
Источник
Определитель матрицы: алгоритм и примеры вычисления определителя матрицы
Определитель (детерминант) матрицы — некоторое число, с которым можно сопоставить любую квадратную матрицу А = ( a i j ) n × n .
|А|, ∆ , det A — символы, которыми обозначают определитель матрицы.
Способ вычисления определителя выбирают в зависимости от порядка матрицы.
Определитель матрицы 2-го порядка вычисляют по формуле:
d e t A = 1 — 2 3 1 = 1 × 1 — 3 × ( — 2 ) = 1 + 6 = 7
Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника
Чтобы найти определитель матрицы 3-го порядка, необходимо одно из правил:
- правило треугольника;
- правило Саррюса.
Как найти определитель матрицы 3-го порядка по методу треугольника?
а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 — a 31 × a 22 × a 13 — a 21 × a 12 × a 33 — a 11 × a 23 × a 32
А = 1 3 4 0 2 1 1 5 — 1
d e t A = 1 3 4 0 2 1 1 5 — 1 = 1 × 2 × ( — 2 ) + 1 × 3 × 1 + 4 × 0 × 5 — 1 × 2 × 4 — 0 × 3 × ( — 1 ) — 5 × 1 × 1 = ( — 2 ) + 3 + 0 — 8 — 0 — 5 = — 12
Правило Саррюса
Чтобы вычислить определитель по методу Саррюса, необходимо учесть некоторые условия и выполнить следующие действия:
- дописать слева от определителя два первых столбца;
- перемножить элементы, которые расположены на главной диагонали и параллельных ей диагоналях, взяв произведения со знаком «+»;
- перемножить элементы, которые расположены на побочных диагоналях и параллельных им, взяв произведения со знаком «—».
а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 — a 31 × a 22 × a 13 — a 21 × a 12 × a 33 — a 11 × a 23 × a 32
А = 1 3 4 0 2 1 — 2 5 — 1 1 3 0 2 — 2 5 = 1 × 2 × ( — 1 ) + 3 × 1 × ( — 2 ) + 4 × 0 × 5 — 4 × 2 × ( — 2 ) — 1 × 1 × 5 — 3 × 0 × ( — 1 ) = — 2 — 6 + 0 + 16 — 5 — 0 = 3
Методы разложения по элементам строки и столбца
Чтобы вычислить определитель матрицу 4-го порядка, можно воспользоваться одним из 2-х способов:
- разложением по элементам строки;
- разложением по элементам столбца.
Представленные способы определяют вычисление определителя n как вычисление определителя порядка n-1 за счет представления определителя суммой произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Разложение матрицы по элементам строки:
d e t A = a i 1 × A i 1 + a i 2 × A i 2 + . . . + а i n × А i n
Разложение матрицы по элементам столбца:
d e t A = а 1 i × А 1 i + а 2 i × А 2 i + . . . + а n i × А n i
Если раскладывать матрицу по элементам строки (столбца), необходимо выбирать строку (столбец), в которой(-ом) есть нули.
А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0
- раскладываем по 2-ой строке:
А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0 = 2 × ( — 1 ) 3 × 1 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0 = — 2 × 1 — 1 3 4 5 1 2 1 0 + 1 × 0 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0
- раскладываем по 4-му столбцу:
А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0 = 3 × ( — 1 ) 5 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 + 1 × ( — 1 ) 7 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1 = — 3 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 — 1 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1
Свойства определителя
- если преобразовывать столбцы или строки незначительными действиями, то это не влияет на значение определителя;
- если поменять местами строки и столбцы, то знак поменяется на противоположный;
- определитель треугольной матрицы представляет собой произведение элементов, которые расположены на главной диагонали.
Пример 6
А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5
d e t А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5 = 1 × 5 × 2 = 10
Определитель матрицы, который содержит нулевой столбец, равняется нулю.
Источник
Определитель матрицы онлайн
Данный онлайн калькулятор вычисляет определитель матрицы. Дается подробное решение. Для вычисления определителя матрицы выбирайте порядок (размер) квадратной матрицы. Введите данные в ячейки. Выберите метод решения и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите на странице определитель матрицы.
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Примеры вычисления определителя матрицы
Пример 1. Найти определитель матрицы
 . |
Для вычисления определителя матрицы, приведем матрицу к верхнему треугольному виду.
Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 1. Для этого меняем местами строки 1 и 2. При этом меняется знак определителя на «−»:
 . |
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/78,-2/78 соответственно:
 . |
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -5928/9048:
 . |
Мы привели матрицу к верхнему треугольному виду. Определитель матрицы равен произведению всех элементов главной диагонали (учитывая знак определителя):
 . |
Пример 2. Найти определитель матрицы A, разложением определителя по первой строке:
| . |
Для вычисления определителя матрицы методом разложения по первой строке, вычисляем произведение каждого элемента первой строки на соответствующее алгебраическое дополнение и суммируем полученные результаты:
Источник
Нахождение определителя матрицы 3 порядка
Определитель матрицы 3 порядка, описание
Детерминант или определитель матрицы третьего порядка вида \(A=\begin
Для обозначения данной величины используют символы: |А|, Δ, det A.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Правила для нахождения
Для вычисления детерминанта матрицы 3×3 не нужно заучивать формулу. Данное число можно найти с помощью двух способов:
- правила треугольников;
- правила Саррюса.
Нахождение методом треугольника
Правило основывается на том, что произведение диагональных составляющих и произведения вершин двух треугольников уменьшаемой матрицы суммируются. Произведение диагональных элементов и произведения вершин треугольников в вычитаемой матрице записываются со знаком минус.
Схематическое изображение рассматриваемого правила выглядит так:
По схеме можно восстановить формулу нахождения определителя матрицы третьего порядка, которая приведена в определении детерминанта:
Пример
Найти определитель матрицы:
Решение
Метод Саррюса
Для нахождения определителя матрицы 3×3 необходимо соблюсти условия в следующей последовательности:
- два первых столбца приписать по левую сторону от детерминанта;
- произведения компонентов главной диагонали и ей параллельных записать с положительным знаком;
- произведения элементов, расположенных на побочной и параллельных ей диагоналях, записать с отрицательным знаком.
Вычисление определителя матрицы по рассматриваемому правилу схематически можно изобразить так:
Пример
Рассчитать по методу Сюрраса детерминант матрицы
Источник
