Вычислить определить тремя способами

Вычисление определителя разложением по строкам

Пример . Рассмотрим все виды разложений по строкам: по первой, по второй и по третьей. Запишем матрицу в виде:

Минор для (1,1):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
∆_1,1 = (2 • 3-0 • 1) = 6
Минор для (1,2):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 2-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
∆_1,2 = (3 • 3-(-2 • 1)) = 11
Минор для (1,3):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 3-й столбец.

Теперь разложим матрицу по второй строке. Значение определителя матрицы не должно измениться.
Минор для (2,1):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
∆_2,1 = (3 • 3-0 • (-1)) = 9
Минор для (2,2):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 2-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
∆_2,2 = (2 • 3-(-2 • (-1))) = 4
Минор для (2,3):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 3-й столбец.

Покажем, как происходит разложение по третьей строке. Значение определителя матрицы не должно измениться. Итак, минор для (3,1):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
∆_3,1 = (3 • 1-2 • (-1)) = 5
Минор для (3,2):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 2-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
∆_3,2 = (2 • 1-3 • (-1)) = 5
Минор для (3,3):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 3-й столбец.

Выводы . Как видим, значение определителя матрицы не зависит от способа его вычисления.

Пример №2 . Является ли система арифметических векторов e1=(9;6;0),e2=(6;16;18),e3=(0;-10;-15) линейно независимой? Ответ обоснуйте.
Решение. Находим определитель матрицы. Если он отличен от нуля, то система, составленная из векторов, линейно независима. Если определитель равен нулю, система является линейно зависимой.

Источник

Определитель матрицы.

Определитель матрицы (детерминант матрицы) — это квадратная таблица чисел либо математических символов (Δd).

Определение. Определителем матрицы n×n является число:

где (α₁, α₂. α_n) — перестановка чисел от 1 до n, N (α₁,α₂. α_n) — число инверсий в перестановке, суммирование происходит по всем вероятным перестановкам порядка n.

Определитель матрицы A в основном обозначают как de t(A), |A|, либо ?(A).

Свойства определителя матрицы.

Свойства определителя матрицы — параметры, при помощи которых находится решение всех видов алгебраических матриц.

1. Определитель единичной матрицы равняется соответственно единице: det (E) = 1.
2. Определитель матрицы, где две строки (столбца) равны между собой, будет равен нулю.
3. Определитель матрицы, где две строки (столбца) пропорциональны друг другу также будет равен нулю.
4. Определитель матрицы, который содержит строку (столбец) с одними нулями, равен нулю.
5. Определитель матрицы с двумя или более строками (столбцами) линейно зависимыми между собой тоже равен только нулю.
6. Если произвести транспонирование, значение определителя матрицы от этого не изменится: det (A) = det (A T )
7. Определитель обратной матрицы: det (A -1 ) = det (A) -1
8. Определитель матрицы будет неизменен даже если к любой его строке (столбцу) дописать другую строку (столбец), перед этим умноженную на любое число.
9. Определитель матрицы не будет изменен, если к любой строке (столбцу) дописать линейную комбинацию других строк (столбцов).
10. При перемене местами двух строк (столбцов) матрицы определитель матрицы получает противоположный знак.
11. Общий множитель в строке (столбце) легко выносится за знак определителя:
12. Умножив квадратную матрицуn-того порядка на любое число не равное нулю, то определитель итоговой матрицы будет равен произведению определителя изначально заданной матрицы на это число в степени n: B = k · A => det (B) = k n · det (A), где A матрица n×n, k — число.
13. При условии, что каждый элемент любой строки определителя равняется сумме 2х слагаемых, исходный определитель равняется сумме 2х определителей, где вместо этой строки подставлены первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с начальным определителем:
14. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы соответствует произведению его диагональных элементов.
15. Определитель произведения матриц будет соответствовать произведению определителей этих матриц: det (A·B) = det (A) · det (B).

Найти определитель матрицы.

Чтобы найти определитель матрицы необходимо знать основные свойства матриц и последовательность действий при решении матрицы.

1. Для матриц порядка n=2 определитель находят при помощи формулы: Δ=a₁₁*a₂₂—a₁₂*a₂₁
2. Для матриц порядка n=3 определитель находят через алгебраические дополнения либо при помощи метода Саррюса.
3. Матрица с размерностью >3 раскладывается на алгебраические дополнения, для которых находятся свои определители (миноры). К примеру, определитель матрицы 4 порядка вычисляется через разложение по строкам либо столбцам.

Для нахождения определителя матрицы, который содержит в матрице функции, используются стандартные методы. К примеру, найти определитель матрицы третьего порядка:

Воспользуемся разложением по первой строке:

Δ = sin(x) × [cos(x) × 2 – 0 × tg(x)] + 1×[1 × 0-2 × cos(x)] = 2sin(x) cos(x) — 2cos(x) = sin(2x) — 2cos(x)

Вычислить определитель матрицы.

Вычислить определитель матрицы можно несколькими методами, которые будут перечислены ниже.

Самым популярным способом вычисления определителя матрицы является метод подбора алгебраических дополнений. Есть более простая версия этого метода — вычисление определителя при помощи правила Саррюса. Эти методы отличны при вычислении определителя простой небольшой матрицы, а если нужно посчитать матрицу большой размерности, тогда могут применяться такие методы вычисления определителя матрицы:

• вычисление определителя методом понижения порядка,
• вычисление определителя методом Гаусса (через приведение матрицы к треугольному виду),
• вычисление определителя методом декомпозиции.

В Excel для расчета определителя используется функция =МОПРЕД (диапазон ячеек).

Источник

Вычисление определителя разложением по строкам

Пример . Рассмотрим все виды разложений по строкам: по первой, по второй и по третьей. Запишем матрицу в виде:

Минор для (1,1):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
∆_1,1 = (2 • 3-0 • 1) = 6
Минор для (1,2):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 2-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
∆_1,2 = (3 • 3-(-2 • 1)) = 11
Минор для (1,3):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 3-й столбец.

Теперь разложим матрицу по второй строке. Значение определителя матрицы не должно измениться.
Минор для (2,1):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
∆_2,1 = (3 • 3-0 • (-1)) = 9
Минор для (2,2):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 2-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
∆_2,2 = (2 • 3-(-2 • (-1))) = 4
Минор для (2,3):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 3-й столбец.

Покажем, как происходит разложение по третьей строке. Значение определителя матрицы не должно измениться. Итак, минор для (3,1):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
∆_3,1 = (3 • 1-2 • (-1)) = 5
Минор для (3,2):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 2-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
∆_3,2 = (2 • 1-3 • (-1)) = 5
Минор для (3,3):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 3-й столбец.

Выводы . Как видим, значение определителя матрицы не зависит от способа его вычисления.

Пример №2 . Является ли система арифметических векторов e1=(9;6;0),e2=(6;16;18),e3=(0;-10;-15) линейно независимой? Ответ обоснуйте.
Решение. Находим определитель матрицы. Если он отличен от нуля, то система, составленная из векторов, линейно независима. Если определитель равен нулю, система является линейно зависимой.

Источник

Найти определитель матрицы: онлайн калькулятор

Матрица представляет математический объект, который записан в виде таблицы элементов. Ее размер задается количеством столбцов и строк. В квадратной матрице число столбцов и строк одинаковое.

Чтобы найти определитель матрицы онлайн с помощью нашего сервиса, выберите необходимое число столбцов и строк. Затем введите значения в предназначенные для этого пустые поля и запустите расчет. Ответом будет найденный определитель (детерминант) — величина, которая может быть рассчитана и поставлена в однозначное соответствие квадратной матрице.

Рассмотрим пример нахождения определителя матрицы при помощи онлайн-калькулятора. Пусть есть матрица:
A = 4 3 1 8 — 5 7 2 1 — 1
В этой матрице три строки и три столбца. Зададим в поле калькулятора соответствущую размерность матрицы:
Теперь в поле ниже введем значения элементов матрицы и нажмем на кнопку «рассчитать»:
Калькулятор выдаст подробное решение с пояснениями и указанием использованной формулы:

Онлайн калькулятор особенно удобен, когда необходимо производить громоздкие вычисления и преобразования с матрицами, размерность которых больше 3.

Рассмотрим еще один пример. Зададим матрицу 4х4 и рассчитаем ее определитель:
После того, как мы нажмем «Рассчитать», калькулятор выдаст подробных ход решения:

Материалы, которые помогут вам лучше разобраться в теме:

Определитель матрицы онлайн

Вычислить определитель матрицы онлайн понадобится студентам при решении задач по алгебре и высшей математике, научным сотрудникам для проверки правильности вычислений и сведения погрешностей к минимуму.

На нашем сайте вы можете посчитать определитель матрицы онлайн бесплатно. Выбор встроенного алгоритма вычислений связан с размером матрицы:

• Для матриц порядка n=2 детерминант находится по формуле: Δ=a₁₁*a₂₂-a₁₂*a₂₁.
• Для матриц порядка n=3 детерминант находится с помощью алгебраического дополнения или методом Саррюса.
• При размерности матрицы больше трех она раскладывается на алгебраические дополнения, для которых рассчитываются свои детерминанты (миноры).

Вы сможете найти определитель матрицы с онлайн-калькулятором, что позволит проводить дальнейшие расчеты без ошибок и погрешностей. Это важно учитывать при разработке инструментов статистики в науке и технике, где точность вычислений имеет большое значение. Часто искомое значение определителя требуется как промежуточный результат для решения комплекса задач. В таком случае использование онлайн-калькулятора необходимо для экономии времени.

С помощью нашего сервиса легко осуществлять подготовку к занятиям. Самостоятельно искать решение и сверятся с полученным детерминантом матрицы онлайн.

Источник

Определитель матрицы свойства, методы и способы вычисления, разложение определителя по элементам строки или столбца, определитель матрицы методом Гаусса

В линейной алгебре важным понятием является определитель матрицы. Он используется для записи систем уравнений. Практически это таблица, заполненная числами. Так как математика строится на грамотной и последовательной системе определений, то для успешного решения задач нужно не только знать определители, но и разбираться в их характеристиках.

Понятие и термины

Кроме математики, матрицы нашли широкое применение в физике и других прикладных науках. Используются они и в программировании, где их называют массивами. Большинство экономических моделей также описывается достаточно простой и компактной матричной формой.

Матрица состоит из столбцов (n) и строк (m). Характеризуется она порядком и размерностью. Обычно говорят, что некий массив В имеет размер m на n. Записывают это как В = . Существует и другой вариант записи: В = (аij), где i и j – индексы, при этом 1≤ i ≤ m; 1 ≤ j ≤ n. В учебниках же просто указывается разрядность в виде 2х2, 3х3 и так далее. Матрица называется квадратной, если количество её строк равно величине столбцов.

Строки и столбцы начинают нумеровать сверху и с левой стороны. Если элементы массива равны нулю, то матрицу называют нулевой. Существует понятие главной диагонали. Располагается она сверху вниз слева. Расположенные на ней элементы называют диагональными. Когда они равны одному, а все остальные члены нулю, массив считается единичным.

Главной характеристикой массива является определитель, или детерминант. Им называют число, соответствующее алгебраической сумме всех возможных произведений столбцов на строки. Другими словами, чтобы найти значение детерминанта, нужно сумму элементов матрицы n умножить на её размерность m. При перемножении знак произведения определяется по числу инверсий. Их чётное количество соответствует положительному знаку, а нечётное – отрицательному.

Определитель — это число, которое определяет степень матрицы. Характеризуется он порядком. Так, определителем первого порядка называют значение, определяемое единственным элементом массива. Записывают его в виде выражения: A = , detA = |A| = a.

С матрицами можно выполнять любые арифметические действия и даже возводить в степень. Определитель вычисляется только в квадратной матрице, то есть в той, у которой число строк равно числу столбцов. Расчёт проводится с использованием специальных операций. Нахождение определителя построено на использовании ряда аксиом, дающих возможность вычислить характеристику матрицы любого порядка.

Параметры определителя

Использование свойств определителей даёт возможность сделать процедуру их вычисления проще. Если взять множество натуральных чисел, записанных в порядке возрастания, K = <1, 2, 3, 4, …, n>, то с ними можно выполнить две операции: перестановку и транспозицию.

Под первой понимается упорядочение множеству чисел другой последовательности. Например, <1, 2, 3, 4>— <1, 4, 3, 2>. То есть <1, 2, 3, 4, …, n>— . Если же в последовательности изменяются только две позиции, а остальные остаются на своих местах, то такую операцию называют транспозицией <1, 2, 3, 4>— <1, 3, 2, 4>. Когда при перестановке нарушается порядок расположения, то множество содержит инверсию kj > ki (j Нахождение значения

Для того чтобы понять, как находить детерминант матрицы, следует понять способы решения простых матриц 2х2 и 3х3. Умея находить их параметр, несложно будет определить детерминант и массив более высокого порядка. В математике матрицу принято записывать в круглых скобках, а определитель в прямых. Обозначают детерминант в формулах как det.

Если дана матрица второго порядка, то есть 2х2, то её определитель ищут по формуле: det = ab – dc, где: а и d – элементы первой строки, b и c – члены второй строки. То есть определитель находят как разность произведений диагональных элементов между собой. Например, пусть задана матрица:

Её параметр будет равняться: det = 13 * 11 – 9 * 1 = 143 – 9 = 134.

Пусть дана некая матрица три на три:

Необходимо найти её определитель. Для массива 3х3 детерминант можно найти двумя способами:

• правилом Саррюса (треугольника);
• универсальным методом.

Схематично первый способ можно представить следующим образом:

Для нахождения детерминанта по правилу треугольника нужно перемножить элементы массива, соединённые красными линиями, а затем их сложить. То же самое необходимо сделать с элементами, через которые проходит синяя линия. Затем из первого полученного значения вычесть второе. Вычитаемое и уменьшаемое состоит из трёх слагаемых. Определяются они двумя треугольниками и сумой элементов, стоящих на главной диагонали (сплошная линия).

Определитель будет равным: det = (1* (-1) * 5) + (5 * 2 * 1) + (2 * (-1) * (-2)) – (-2 * (-1) * (-1)) – (2 * 5 * 5) – (1 * 2 * (-1)) = — 5 + 10 + 4 – 2 – 20 + 2 = -11.

Второй способ проще. В его основе лежит метод разложения дискриминанта по первой строке или столбцу. То есть определитель можно найти по следующей формуле: det = a * n1 + b * n2 + c * n3, где: n1 — матрица 2х2, образованная с верхней левой части массива; n2 – матрица, полученная из второго и третьего члена первого столбца и третьего; n3 – массив, образованный из второго и третьего элемента первого столбца и третьего; a, b, c – элементы первой строчки.

Детерминант четвёртого порядка

Более сложной матрицей считается квадрат размером 4х4. Для подсчёта определителя нужно использовать универсальный способ нахождения детерминанта массива 3х3. То есть понадобится раскрыть первую строку и найти минор. Первый элемент в строке умножают на матрицу, образованную квадратом, начинающегося со второго члена следующего от него столбца.

Затем вычитают произведение второго элемента на алгебраическое дополнение, полученное путём вычёркивания первой строки и второго столбца. Далее, прибавляют третий элемент в первой строке и умножают на дополнение этого элемента. На последнем этапе вычитают четвёртый элемент верхней строки, умноженный на соответствующую ему дополнительную матрицу.

Теперь находят дискриминанты полученных матриц 3х3. Важно помнить, что знаки, стоящие перед алгебраическим дополнением, меняются. Если первый член имеет плюс, то перед вторым элементом ставится минус, перед третьим снова плюс и так далее.

Таким образом, массивы с высокими порядковыми номерами решаются методом понижения основного выражения. Если всё будет выполнено правильно, в ответе получится дискриминант, равный -13.

Например, для поиска определителя квадрата 6х6, нужно будет предварительно разложить систему по первой строке на массив низшего порядка 5х5, найти определитель матрицы 4х4, 3х3 и 2х2. Делая всё последовательно блочным методом, допустить ошибку практически невозможно. Если необходимо найти детерминант массивов десятого порядка и выше, то целесообразно находить определитель матрицы на онлайн-калькуляторе.

Стоит напомнить, что детерминант можно найти только для квадратного выражения в прямоугольной матрице. Правило нахождения определителя n порядка было предложено Лапласом. Он доказал и сформулировал теорему, гласящую о том, что величина определителей высшего порядка находится как сумма произведений частей какой-либо строки или столбца на принадлежащее им алгебраическое дополнение.

То есть выполняется разложение определителя по n строке или m столбцу.

Метод Гаусса

Способ Гаусса используется для решения системы уравнений. На их базе составляется массив. Первые столбцы образуют из коэффициентов, стоящих после неизвестных, а последний из значений, расположенных после знака равно. Для нахождения определителя этим способом необходимо выполнить два шага:

Привести матрицу к верхнетреугольной или нижнетреугольной форме путём элементарных преобразований.

Сосчитать произведение всех элементов, расположенных на главной диагонали треугольного массива, заменив при этом полученный знак определителя на противоположный.

Например, необходимо найти детерминант системы уравнений:

n1 + 2 * n2 – 3 * n3 = — 4.

2*n1 + 5 * n2 – 4 * n3 = 0.

-3*n1 + n2 – 3 * n3 = 5.

На первом этапе составляют матрицу и решают её. Выделяют первую строку и пытаются обнулить все первые коэффициенты. Для этого каждый элемент нужно умножить на такое число, чтобы последующий элемент обнулился. Затем берут другую строку и обнуляют уже вторые элементы. Так, для заданной системы уравнений первую строку необходимо умножить на -2, а затем сложить со второй строкой. То есть первый элемент в первом столбце будет равен: x11 = -2 * 1 + 2 = 0; второй: x22 = -2 * 2 +5 = 1; третий: x33 = -2*(-3) – 4 = 2; четвёртый: x44 = -2* (-4) + 0 = 8.

Аналогичные действия проводят по отношению к элементам третьей строки. Для обнуления первую строчку умножают уже не на -2, а на тройку. В результате первый столбец будет состоять из двух нулевых элементов. Затем переходят к обнулению элементов во втором столбце. Делают это последовательным умножением третьей строки на – 7. В итоге получится массив с тремя нулевыми членами.

Опираясь на полученную матрицу, составляют новую систему уравнений:

n1 + 2 * n2 – 3 * n3 = -4.

Затем из последнего равенства находят n3. Полученное значение подставляют во второе уравнение и определяют n2. На последнем этапе, используя найденные величины, вычисляют n1. Для нахождения детерминанта определяют тип матрицы, в этом случае она нижнетреугольная, и вычисляют его значение det = (1 * 1 * (-20)) = -20.

Найти детерминант небольшого ранга несложно. Но существуют задания, для решения которых нужно не только проявить внимание, но и потратить много времени. Для таких случаев существуют калькуляторы, помогающие выполнить вычисление определителя матрицы онлайн.

Кроме быстрого определения ответа, они также показывают подробное решение поставленной задачи. Если же доступа к интернету нет, то можно выполнить расчёт и в excel. Делается это с помощью функции «=МОПРЕД».

Источник