- Интеграл по замкнутому контуру, формула Грина, примеры
- Вычислить криволинейный интеграл по замкнутому контуру двумя способами
- Примеры решений криволинейных интегралов
- Криволинейные интегралы 1-го рода: примеры решений
- Криволинейные интегралы 2-го рода: примеры решений
- Моменты инерции: примеры решений
- Другие задания: примеры решений
- Вычисление криволинейных интегралов: теория и примеры
- Понятие криволинейного интеграла
- Криволинейные интегралы первого рода
- Криволинейные интегралы второго рода
- Вычисление криволинейных интегралов первого рода
- Кривая дана в декартовых прямоугольных координатах
- Кривая дана в параметрической форме
- Вычисление криволинейных интегралов второго рода
- Кривая дана в декартовых прямоугольных координатах
- Кривая дана в параметрической форме
- Больше примеров вычисления криволинейных интегралов
- Вычисление длины дуги кривой
- Вычисление площади участка плоскости
- Вычисление площади цилиндрической поверхности
- Вычисление массы материальной кривой
- Определение статических моментов материальной кривой
- Вычисление моментов инерции материальной кривой
- Вычисление координат центра тяжести материальной кривой
- Вычисление работы силы
Интеграл по замкнутому контуру, формула Грина, примеры
Если дан криволинейный интеграл, а кривая, по которой происходит интегрирование — замкнутая (называется контуром), то такой интеграл называется интегралом по замкнутому контуру и обозначается следующим образом:
.
Область, ограниченную контуром L обозначим D. Если функции P(x, y) , Q(x, y) и их частные производные 
и 
— функции, непрерывные в области D, то для вычисления криволинейного интеграла можно воспользоваться формулой Грина:
.
Таким образом, вычисление криволинейного интеграла по замкнутому контуру сводится к вычислению двойного интеграла по области D.
Формула Грина остаётся справедливой для всякой замкнутой области, которую можно проведением дополнительных линий на конечное число простых замкнутых областей.
Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл
,
если L — контур треугольника OAB , где О(0; 0) , A(1; 2) и B(1; 0) . Направление обхода контура — против часовой стрелки. Задачу решить двумя способами: а) вычислить криволинейные интегралы по каждой стороне треугольника и сложить результаты; б) по формуле Грина.
а) Вычислим криволинейные интегралы по каждой стороне треугольника. Сторона OB находится на оси Ox , поэтому её уравнением будет y = 0 . Поэтому dy = 0 и можем вычислить криволинейный интеграл по стороне OB :
Уравнением стороны BA будет x = 1 . Поэтому dx = 0 . Вычисляем криволинейный интеграл по стороне BA :
Уравнение стороны AO составим, пользуясь формулой уравнения прямой, проходящей через две точки:
.
Таким образом, dy = 2dx . Вычисляем криволинейный интеграл по стороне AO :
Данный криволинейный интеграл будет равен сумме интегралов по краям треугольника:
.
б) Применим формулу Грина. Так как 
, 
, то 
. У нас есть всё для того, чтобы вычислить данный интеграл по замкнутому контуру по формуле Грина:
Как видим, получили один и тот же результат, но по формуле Грина вычисление интеграла по замкнутому контуру происходит значительно быстрее.
Пример 2. Пользуясь формулой Грина, вычислить криволинейный интеграл
,
где L — контур OAB , OB — дуга параболы y = x² , от точки О(0; 0) до точки A(1; 1) , AB и BO — отрезки прямых, B(0; 1) .
Решение. Так как функции 
, 
, а их частные производные 
, 
, D — область, ограниченная контуром L , у нас есть всё, чтобы воспользоваться формулой Грина и вычислить данный интеграл по замкнутому контуру:
Пример 3. Пользуясь формулой Грина, вычислить криволинейный интеграл
, если L — контур, который образуют линия y = 2 − |x| и ось Oy .
Решение. Линия y = 2 − |x| состоит из двух лучей: y = 2 − x , если x ≥ 0 и y = 2 + x , если x .
Имеем функции 
, 
и их частные производные 
и 
. Подставляем всё в формулу Грина и получаем результат:
Пример 4. С помощью формулы Грина вычислить криволинейный интеграл
,
если L — окружность 
.
Решение. Функции 
, 
и их частные производные 
и 
непрерывны в замкнутом круге . Подставляем всё в формулу Грина и вычисляем данный интеграл:
Источник
Вычислить криволинейный интеграл по замкнутому контуру двумя способами
Пусть в плоскости \(Oxy\) задана область \(R,\) ограниченная замкнутой, кусочно-непрерывной и гладкой кривой \(C.\) Предположим, что в некоторой области, содержащей \(R,\) задана непрерывная векторная функция \[\mathbf
Если \(Q = x,\) \(P = -y,\) то формула Грина принимает вид \[S = \iint\limits_R
Формулу Грина можно записать также в векторной форме . Для этого введем понятия ротора векторного поля.
Пусть векторное поле описывается функцией \[\mathbf
Источник
Примеры решений криволинейных интегралов
В этом разделе вы найдете подробные решения криволинейных интегралов первого и второго рода (непосредственное вычисление, по разным путям, по формуле Грина), а также применение к вычислению моментов инерции, массы, работы, силы притяжения и т.п.
Криволинейные интегралы 1-го рода: примеры решений
Задача 1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода по указанной кривой $L$:
Задача 2. Вычислить криволинейный интеграл I рода $\int_L y^2 dl$, $L$ — арка циклоиды $x=(t-\sin t)/2$, $y=(1-\cos t)/2$, $0 \le t \le \pi$.
Задача 3. Вычислить криволинейный интеграл $\int_L y^2 dl$, где $L$ – дуга параболы $y^2=2x$ от точки $(0;0)$ до точки $(1;\sqrt<2>)$.
Если вам нужна помощь в нахождении интегралов, выполнении домашней работы, будем рады принять ваш заказ на решение. Стоимость от 100 рублей, срок от нескольких часов.
Криволинейные интегралы 2-го рода: примеры решений
Задача 4. Вычислить криволинейный интеграл второго рода, взятый вдоль ориентированной кривой $L$: $\int_L x^2 dy -xydx$, где $L$ — часть кривой $x^4-y^4=6x^2y$ от точки $A=(-4\sqrt<2>;4)$ до точки $B=(0;0)$
Задача 5. Вычислить интеграл $$\int_L z^2x dx +(z+x+y)dy +y^2zdz,$$ где $L$ — кривая $a^2+y^2=ax, x^+y^2=z^2$ положительно ориентированная на внешней стороне цилиндра.
Задача 6. Вычислить криволинейный интеграл $\int_
Задача 7. Проверить, что криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования и найти его значение.
Задача 8. Проверить криволинейный интеграл, который не зависит от пути интегрирования, и найти его значение (двумя способами – непосредственно и с помощью потенциала).
Задача 9. Вычислить криволинейный интеграл по замкнутому контуру в положительном направлении, используя формулу Грина
$$\int_l (x-y^2)dy + (x^3+3y)dx, \quad l: x=y, y=x^2.$$
Трудности с задачами? МатБюро поможет с интегралами.
Моменты инерции: примеры решений
Задача 10. Найти моменты инерции относительно осей однородных дуг $L$ плотности $\rho$.
Задача 11. Вычислить момент инерции верхней половины окружности $x^2+y^2=a^2$ относительно оси $Oy$, если плотность $\delta=1$.
Другие задания: примеры решений
Задача 12. Найти координаты силы притяжения дугой астроиды $x=a \cos^3 t$, $y=a \sin^3 t$, $0 \le t \le \pi/2$ единичной массы, помещенной в начале координат, если плотность астроиды в каждой ее точке равна кубу расстояния этой точки от начала координат.
Задача 13. Вычислить работу силы $F(z,-x,y)$ вдоль дуги винтовой линии $z=2\cos t$, $y=3\sin t$, $z=4t$, $0 \le t \le 2\pi$.
Задача 14. Доказать, что данное выражение $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ является полным дифференциалом функции $Ф(x,y)$ и найти ее с помощью криволинейного интеграла.
Задача 15. Вычислить работу силы $\overline
$$ \overline
Задача 16. Вычислить массу кривой $y=x^2/2$, где $x\in (\sqrt<3>, 2\sqrt<2>)$, если линейная плотность задана функцией $f(x,y)=6y/x$.
Источник
Вычисление криволинейных интегралов: теория и примеры
Понятие криволинейного интеграла
Криволинейные интегралы — обобщение понятия определённого интеграла на случай, когда областью интегрирования является отрезок некоторой кривой, лежащий в плоскости. Общая запись криволинейного интеграла следующая:
где f(x, y) — функция двух переменных, а L — кривая, по отрезку AB которой происходит интегрирование. Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный интеграл равен длине дуги AB.
Как всегда в интегральном исчислении, криволинейный интеграл понимается как предел интегральных сумм каких-то очень маленьких частей чего-то очень большого. Что же суммируется в случае криволинейных интегралов?
Пусть на плоскости расположен отрезок AB некоторой кривой L, а функция двух переменных f(x, y) определена в точках кривой L. Пусть мы выполняем с этим отрезком кривой следующий алгоритм.
- Разделить кривую AB на части точками (рисунки ниже).
- В каждой части свободно выбрать точку M.
- Найти значение функции в выбранных точках.
- Значения функции умножить на
- длины частей в случае криволинейного интеграла первого рода;
- проекции частей на ось координат в случае криволинейного интеграла второго рода.
- Найти сумму всех произведений.
- Найти предел найденной интегральной суммы при условии, что длина самой длинной части кривой стремится к нулю.
Если упомянутый предел существует, то этот предел интегральной суммы и называется криволинейным интегралом от функции f(x, y) по кривой AB.
Случай криволинейного интеграла
первого рода
Случай криволинейного интеграла
второго рода
Введём следующие ообозначения.
M i (ζ i ; η i ) — выбранная на каждом участке точка с координатами.
f i (ζ i ; η i ) — значение функции f(x, y) в выбранной точке.
Δs i — длина части отрезка кривой (в случае криволинейного интеграла первого рода).
Δx i — проекция части отрезка кривой на ось Ox (в случае криволинейного интеграла второго рода).
d = maxΔs i — длина самой длинной части отрезка кривой.
Криволинейные интегралы первого рода
Исходя из вышеизложенного о пределе интегральных сумм, криволинейный интеграл первого рода записывается так:
.
Криволинейный интеграл первого рода обладает всеми свойствами, которыми обладает определённый интеграл. Однако есть одно важное различие. У определённого интеграла при перемене местами пределов интегрирования знак меняется на противоположный:
.
В случае же криволинейного интеграла первого рода не имеет значения, какую из точек кривой AB (A или B) считать началом отрезка, а какую концом, то есть
.
Криволинейные интегралы второго рода
Исходя из изложенного о пределе интегральных сумм, криволинейный интеграл второго рода записывается так:
.
В случае криволинейного интеграла второго рода при перемене местами начала и конца отрезка кривой знак интеграла меняется:
.
При составлении интегральной суммы криволинейного интеграла второго рода значения функции f i (ζ i ; η i ) можно умножать также на проекции частей отрезка кривой на ось Oy. Тогда получим интеграл
.
На практике обычно используется объединение криволинейных интегралов второго рода, то есть две функции f = P(x, y) и f = Q(x, y) и интегралы
,
а сумма этих интегралов
называется общим криволинейным интегралом второго рода.
Вычисление криволинейных интегралов первого рода
Вычисление криволинейных интегралов первого рода сводится к вычислению определённых интегралов. Рассмотрим два случая.
Кривая дана в декартовых прямоугольных координатах
Пусть на плоскости задана кривая y = y(x) и отрезку кривой AB соответствует изменение переменной x от a до b. Тогда в точках кривой подынтегральная функция f(x, y) = f(x, y(x)) («игрек» должен быть выражен через «икс»), а дифференциал дуги 
и криволинейный интеграл можно вычислить по формуле
.
Если интеграл проще интегрировать по y, то из уравнения кривой нужно выразить x = x(y) («икс» через «игрек»), где 
и интеграл вычисляем по формуле
.
Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл
,
где AB — отрезок прямой между точками A(1; −1) и B(2; 1) .
Решение. Составим уравнение прямой AB , используя формулу 
(уравнение прямой, проходящей через две данные точки A(x 1 ; y 1 ) и B(x 2 ; y 2 ) ):
.
Из уравнения прямой выразим y через x :
.
Тогда 
и теперь можем вычислять интеграл, так как у нас остались одни «иксы»:
Кривая дана в параметрической форме
Пусть в пространстве задана кривая
Тогда в точках кривой функцию нужно выразить через параметр t (
) а дифференциал дуги 
, поэтому криволинейный интеграл можно вычислить по формуле
Аналогично, если на плоскости задана кривая
,
то криволинейный интеграл вычисляется по формуле
.
Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл
,
где L — часть линии окружности
,
находящаяся в первом октанте.
Решение. Данная кривая — четверть линии окружности, расположенная в плоскости z = 3 . Она соответствует значениям параметра 
. Так как
,
то дифференциал дуги
Подынтегральную функцию выразим через параметр t :
.
Теперь, когда у нас всё выражено через параметр t , можем свести вычисление данного криволинейного интеграла к определённому интегралу:
Вычисление криволинейных интегралов второго рода
Так же, как и в случае криволинейных интегралов первого рода, вычисление интегралов второго рода сводится к вычислению определённых интегралов.
Кривая дана в декартовых прямоугольных координатах
Пусть дана кривая на плоскости уравнением функции «игрек», выраженной через «икс»: y = y(x) и дуге кривой AB соответствует изменение x от a до b . Тогда в подынтегральную функцию подставим выражение «игрека» через «икс» и определим дифференциал этого выражения «игрека» по «иксу»: 
. Теперь, когда всё выражено через «икс», криволинейный интеграл второго рода вычисляется как определённый интеграл:
Аналогично вычисляется криволинейный интеграл второго рода, когда кривая дана уравнением функции «икс», выраженной через «игрек»: x = x(y) , 
. В этом случае формула для вычисления интеграла следующая:
Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл
, если
а) Вычислим криволинейный интеграл по отрезку прямой (на рисунке — синяя). Напишем уравнение прямой и выразим «игрек» через «икс»:
.
Получаем dy = dx . Решаем данный криволинейный интеграл:
б) если L — дуга параболы y = x² , получим dy = 2xdx . Вычисляем интеграл:
В только что решённом примере получили в двух случаях один и тот же результат. И это не совпадение, а результат закономерности, так как данный интеграл удовлетворяет условиям следующей теоремы.
Теорема. Если функции P(x,y) , Q(x,y) и их частные производные 
, 
— непрерывные в области D функции и в точках этой области частные производные равны, то криволинейный интеграл 
не зависит от пути интегрирования по линии L , находящейся в области D .
Кривая дана в параметрической форме
Пусть в пространстве дана кривая
.
,
а в подынтегральные функции подставим
—
выражения этих функций через параметр t . Получаем формулу для вычисления криволинейного интеграла:
Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл
,
если L — часть эллипса
отвечающая условию y ≥ 0 .
Решение. Данная кривая — часть эллипса, находящаяся в плоскости z = 2 . Она соответствует значению параметра 
.
,
можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и вычислить его:
Если дан криволинейный интеграл и L — замкнутая линия, то такой интеграл называется интегралом по замкнутому контуру и его проще вычислить по формуле Грина.
Больше примеров вычисления криволинейных интегралов
Пример 5. Вычислить криволинейный интеграл
,
где L — отрезок прямой 
между точками её пересечения с осями координат.
Решение. Определим точки пересечения прямой с осями координат. Подставив в уравнение прямой y = 0 , получим 
, 
. Подставив x = 0 , получим 
, 
. Таким образом, точка пересечения с осью Ox — A(2; 0) , с осью Oy — B(0; −3) .
Из уравнения прямой выразим y :
.
, 
.
Теперь можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и начать вычислять его:
В подынтегральном выражении выделяем множитель 
, выносим его за знак интеграла. В получившемся после этого подынтегральном выражении применяем подведение под знак дифференциала и окончательно получаем:
Пример 6. Вычислить криволинейный интеграл
,
где L — дуга параболы 
между точками О(0; 0) и B(2; 2) .
Решение. Так как 
, то 
.
Теперь можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и вычислить его:
Пример 7. Вычислить криволинейный интеграл
,
где L — дуга астроиды
в первом квадранте.
Решение. В первом квадранте 
. Определим дифференциал дуги:
Представляем криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и вычисляем его:
Пример 8. Вычислить криволинейный интеграл
,
где L — первая арка циклоиды
Решение. Циклоида образует первую арку при изменении параметра t от 0 до 2π . Определим дифференциал дуги:
.
Подставим в криволинейный интеграл dl и y , выраженные через параметр t и получаем:
Пример 9. Вычислить криволинейный интеграл
,
где L — отрезок прямой от точки A(1; 1) до точки B(3; 5) .
Решение. Составим уравнение прямой AB :
.
Из полученного уравнения прямой выразим «игрек»:
Поэтому 
и теперь можем вычислить данный криволинейный интеграл:
Пример 10. Вычислить криволинейный интеграл
,
где L — первая арка циклоиды
Решение. Из уравнений кривой следует
.
Так как циклоида образует первую арку при изменении параметра t от 0 до 2π , то получаем соответствующие пределы интегрирования. Решаем данный криволинейный интеграл:
.
Уравнением кривой M 0 M 1 является y = 1 , тогда dy = 0 , на кривой M 1 M x — константа, значит, dx = 0 . Продолжаем и завершаем решение:
Вычисление длины дуги кривой
Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный интеграл первого рода равен длине дуги кривой L:
.
Пример 12. Вычислить длину дуги кривой
,
где 
.
Решение. Составляем криволинейный интеграл первого рода:
.
Определим производную «игрека»:
.
Продолжаем и завершаем решение:
Вычисление площади участка плоскости
Если границей участка D плоскости является кривая L, то площадь участка D можно вычислить в виде криволинейного интеграла второго рода
.
Пример 13. Вычислить площадь участка плоскости, ограниченного эллипсом
.
Решение. Площадь участка плоскости можно вычислить как криволинейный интеграл второго рода
,
где L — замкнутая линия, ограничивающая участок. Так как
.
Вычисление площади цилиндрической поверхности
Пусть на плоскости xOy дана гладка кривая L, в точках которой определена непрерывная функция двух переменных 
. Построим цилиндрическую поверхность, образующая которой параллельна оси Oz, и которая заключена между кривой L и поверхностью 
. Площадь этой цилиндрической поверхности можно вычислить по формуле
.
Вычисление массы материальной кривой
Если L — материальная кривая с плотностью 
, то массу материальной кривой можно вычислить по формуле
Определение статических моментов материальной кривой
Статические моменты материальной кривой с плотностью относительно осям координат вычисляются по формулам
,
.
Вычисление моментов инерции материальной кривой
Моменты инерции материальной кривой с плотностью относительно осей координат и начала системы координат можно вычислить по формулам
,
,
.
Вычисление координат центра тяжести материальной кривой
Координаты центра тяжести 
материальной кривой с плотностью можно определить по формулам
,
.
Вычисление работы силы
Если под воздействием переменной силы 
материальная точка перемещается из точки M в точку N по кривой L=MN, то приложенную работу можно вычислить по формуле
.
Пример 14. В каждой точке плоскости действует сила 
. Вычислить работу, совершаемую силой при перемещении единицы массы по дуге параболы 
из точки O(0;0) в точку А(4;2) .
Решение. Работу силы вычислим как криволинейный интеграл второго рода
.
Используя уравнение параболы, производим замену переменной
Источник
