- Интегрирование по частям
- 1.6. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле
- Интегрирование по частям. Примеры решений
- Интегралы от логарифмов
- Интегралы от экспоненты, умноженной на многочлен
- Интегралы от тригонометрических функций, умноженных на многочлен
- Интегралы от обратных тригонометрических функций. Интегралы от обратных тригонометрических функций, умноженных на многочлен
Интегрирование по частям
Интегрирование по частям – метод для решения интегралов от произведения двух элементарных функций. Одна из них легко дифференцируема, а другая интегрируема. Работает техника для неопределенных и определенных интегралов.
Формула для неопределенного интеграла:
$$ \int udv = uv — \int vdu $$
Формула для определенного интеграла:
Рассмотрим на практике примеры решения интегрирования по частям, которые часто предлагаются преподавателями на контрольных работах. Обратите внимание ещё раз на то, что под значком интеграла стоит произведение двух функций. Это как признак того, что для решения подойдет данный метод.
Видим, что подынтегральная функция состоит из двух функций, одна из которых при дифференцировании моментально превращается в единицу, а другая легко интегрируется. Для решения интеграла используем метод интегрирования по частям. Положим, $ u = x \rightarrow du=dx $, а $ dv = e^x dx \rightarrow v=e^x $
Подставляем найденные значения в первую формулу интегрирования и получаем
$$ \int xe^x dx = xe^x — \int e^x dx = xe^x — e^x + C. $$
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
$$ \int xe^x dx = xe^x — e^x + C $$
| Пример 1 |
| Найти интеграл $ \int xe^xdx $ |
| Решение |
В качестве неизвестных функций $ u $ и $ v $ возьмем следующие: $ u=x \rightarrow du=dx $ и $ dv = \cos x dx \rightarrow v = \sin x $.
Подставим функции $ u $ и $ v $ в первую формулу
$$ \int x \cos x dx = x \sin x — \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C. $$
$$ \int x \cos x dx = x \sin x + \cos x + C $$
| Пример 2 |
| Найти интеграл $ \int x\cos x dx $ |
| Решение |
В данном задании имеем интеграл с пределами, а поэтому будем применять формулу для определенного интеграла. Введём обозначения
$$ u = \ln x \rightarrow du = \frac
Осталось подставить это в формулу
$$ \int \limits_0 ^1 x \ln x dx = \frac<1> <2>$$
| Пример 3 |
| Вычислить интеграл $ \int \limits_0 ^1 x\ln x dx $ |
| Решение |
$$ u=x+5 \rightarrow du=dx, dv=3^x dx \rightarrow v=\frac<3^x>
Теперь все неизвестные функции стали найдены и могут быть поставлены во вторую формулу
1.6. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле
и после того, как мы возьмём интеграл 
. Ну и, конечно, подынтегральные функции должна быть непрерывны на 
, ибо на «нет» и интеграла нет.Пример я подобрал не самый простой, но очень и очень познавательный:
Пример 8
Вычислить определенный интеграл 
Далее открываем решение и на первом шаге
(1) расписываем правую часть формулы 
: 
применяем формулу Ньютона-Лейбница. Для оставшегося интеграла используем свойство линейности, разделяя его на два интеграла. Не путаемся в знаках!(3) Берем два оставшихся интеграла. Интеграл 
также разобран ранее, однако, не поленюсь: 
(4) Применяем формулу Ньютона-Лейбница для двух найденных первообразных.
и, по возможности, … обхожусь вообще без нее! Рассмотрим второй способ решения, который, с моей точки зрения, более рационален:На первом этапе находим неопределенный интеграл: 
?На втором этапе проводим проверку (обычно на черновике).
– получена исходная подынтегральная функция, значит, первообразная найдена верно.И третий этап – применение формулы Ньютона-Лейбница: 
Рассмотренный алгоритм решения
можно применить для любого определенного интеграла!
(1-м способом), то 99% где-нибудь допустит ошибку.Уважаемый студент, распечатай и наклей рядом с формулой Ньютона-Лейбница:
И на холодную закуску интеграл для самостоятельного решения.
Пример 9
Вычислить определенный интеграл
Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.
Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!
С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин
Интегрирование по частям. Примеры решений
. Зато есть такая: 
– формула интегрирования по частям собственной персоной. Знаю, знаю, ты одна такая – с ней мы и будем работать весь урок (уже легче).И сразу список в студию. По частям берутся интегралы следующих видов:
1) 
, 
, 
– логарифм, логарифм, умноженный на какой-нибудь многочлен.
, 
– экспоненциальная функция, умноженная на какой-нибудь многочлен. Сюда же можно отнести интегралы вроде 
– показательная функция, умноженная на многочлен, но на практике процентах так в 97, под интегралом красуется симпатичная буква «е». … что-то лирической получается статья, ах да… весна же пришла.3) 
, 
, 
– тригонометрические функции, умноженные на какой-нибудь многочлен.
4) 
, 
– обратные тригонометрические функции («арки»), «арки», умноженные на какой-нибудь многочлен.
Также по частям берутся некоторые дроби, соответствующие примеры мы тоже подробно рассмотрим.
Интегралы от логарифмов
Найти неопределенный интеграл.
Прерываем решение на промежуточные объяснения.
Используем формулу интегрирования по частям: 
Формула применяется слева направо
. Очевидно, что в нашем примере 
(и во всех остальных, которые мы рассмотрим) что-то нужно обозначить за 
, а что-то за 
.В интегралах рассматриваемого типа за 
всегда обозначается логарифм.
Технически оформление решения реализуется следующим образом, в столбик записываем:
То есть, за 
мы обозначили логарифм, а за 
– оставшуюся часть подынтегрального выражения.
Следующий этап: находим дифференциал 
:
. Для того чтобы найти функцию 
необходимо проинтегрировать правую часть нижнего равенства 
:
. 
я сразу переставил местами 
и 
, так как множитель 
принято записывать перед логарифмом.Выполним проверку. Для этого нужно взять производную от ответа:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл решён правильно.
В ходе проверки мы использовали правило дифференцирования произведения: 
. И это не случайно.
Формула интегрирования по частям 
и формула 
– это два взаимно обратных правила.
Найти неопределенный интеграл.
Подынтегральная функция представляет собой произведение логарифма на многочлен.
Решаем.
необходимо обозначить логарифм (то, что он в степени – значения не имеет). За 
обозначаем оставшуюся часть подынтегрального выражения.
Сначала находим дифференциал 
:
. Не случайно, на самом первом уроке темы Неопределенный интеграл. Примеры решений я акцентировал внимание на том, что для того, чтобы освоить интегралы, необходимо «набить руку» на производных. С производными придется столкнуться еще не раз.Теперь находим функцию 
, для этого интегрируем правую часть нижнего равенства 
:
Для интегрирования мы применили простейшую табличную формулу 
. Открываем «звёздочкой» и «конструируем» решение в соответствии с правой частью 
:
в похожих ситуациях всегда обозначается логарифм.
Хорошо бы, если к данному моменту простейшие интегралы и производные Вы умели находить устно.
, и эти скобки нужно корректно раскрыть.(2) Раскрываем скобки. Последний интеграл упрощаем.
А сейчас пара примеров для самостоятельного решения:
Найти неопределенный интеграл.
Найти неопределенный интеграл.
А вот этот интеграл интегрируется по частям (обещанная дробь).
Это примеры для самостоятельного решения, решения и ответы в конце урока.
Интегралы от экспоненты, умноженной на многочлен
Общее правило: за 
всегда обозначается многочлен
Найти неопределенный интеграл.
Используя знакомый алгоритм, интегрируем по частям:
, то следует вернуться к статье Метод замены переменной в неопределенном интеграле.Единственное, что еще можно сделать, это «причесать» ответ:
Но если Ваша техника вычислений не очень хороша, то самый выгодный вариант оставить ответом 
или даже 
Найти неопределенный интеграл.
– сложная функция.Интегралы от тригонометрических функций, умноженных на многочлен
Общее правило: за 
всегда обозначается многочлен
Найти неопределенный интеграл.
Хммм, …и комментировать нечего.
Это пример для самостоятельного решения
Еще один пример с дробью. Как и в двух предыдущих примерах за 
обозначается многочлен.
, то рекомендую посетить урок Интегралы от тригонометрических функций.
Это пример для самостоятельного решения.
Интегралы от обратных тригонометрических функций.
Интегралы от обратных тригонометрических функций, умноженных на многочлен
Общее правило: за 
всегда обозначается обратная тригонометрическая функция.
Найти неопределенный интеграл. 
найден методом подведения функции под знак дифференциала, можно использовать и метод замены в «классическом» виде.
для всех «икс», и поэтому достаточно круглых скобок. Но если вам трудно это проанализировать (да и «начинка» бывает мутная), то ставьте модуль в любом случае. Именно так я и поступил в Примере 10 урока Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Недочёт некритичный.Найти неопределенный интеграл. 
Это пример для самостоятельного решения.
Найти неопределенный интеграл. 
А сейчас, как любила говорить моя учительница по математике, пора кончать.
. Её можно было использовать и сразу: 
, а потом интегрировать по частям.
, 
– в них необходимо (сразу или в ходе решения) понизить степень синуса (косинуса) с помощью соответствующих формул. Более подробно – см. Интегралы от тригонометрических функций.
, то следует посетить урок Интегрирование некоторых дробей. Вы выполнили проверку? Может я и ошибся где… 😉
«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам
| Пример 4 |
| Вычислить интеграл $ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx $ |
| Решение |