Вычисление погрешностей при различных способах задания классов точности средств измерений

Тема. Вычисление погрешностей средств измерений и их Вычисление при различных способах задания классов точности средств измерений

Погрешность измерения – это отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины (МИ 2247-93).

Погрешности измерений определяются, главным образом, погрешностями средств измерений (СИ), но эти понятия неидентичные.

По месту возникновения различают инструментальные погрешности и методические.

Инструментальными погрешностями СИ называют такие, которые присущи данному средству измерений и возникают вследствие недостаточно высокого качества его элементов.

Методические погрешности связаны не с самим средством измерений, а с методом проведения измерений. Причинами появления методических погрешностей являются также неточности соотношений, используемых для нахождения оценки измеряемой величины.

Статические и динамические погрешности, присущие как средствам, так и методам измерений, различают по их зависимости от скорости изменения измеряемой величины во времени.

Погрешности, не зависящие от этой скорости, называются статическими.

Погрешности же отсутствующие, когда эта скорость близка к нулю, и возрастающие, при ее отклонении от нуля, называются динамическими.

Динамической погрешностью СИ является разность между погрешностью средства измерения в динамических условиях и его статической погрешностью, соответствующей значению медленно изменяющиеся во времени.

В зависимости от характера изменения, возможностей устранения и причин возникновения различают систематические, прогрессивные и случайные погрешности.

Систематическими называют погрешности измерений, остающиеся постоянными ли закономерно изменяющиеся при повторных измерениях одной и той же величины.

Прогрессивными называются погрешности, медленно изменяющиеся во времени.

Случайными называются погрешности измерений, изменяющиеся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. При этом процесс появления случайных погрешностей средств и результатов измерений за вычетом систематических и прогрессивных погрешностей обычно может рассматриваться как центрированный стационарный случайный процесс.

В зависимости от формы выражения различают абсолютную и относительную. Погрешность измерений.

Абсолютная погрешность измерения – погрешность измерения, выраженная в единицах измерения:

где Δ – погрешность средства измерений;

Χ_о— действительное значение измеряемой величины;

Χ_п— значение измеряемой физической величины, найденное с помощью средства измерений.

Относительная погрешность – погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или измеренному значению измеряемой величины:

где δ – относительная погрешность, выраженная в процентах.

Точность может быть выражена обратной величиной относительной погрешности – 1/δ.

Приведенная погрешность средства измерения – относительная погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерения к условно принятому значению величины. Часто за такое условно принятое значение принимают верхний предел измерений. Приведенную погрешность обычно выражают в процентах;

X_N — нормирующее значение измеряемой величины или параметра (разность между верхним и нижним значе-ниями шкалы прибора или конечное значение шкалы прибора). X_N выражается в тех же единицах, что и абсолютная погрешность

Общая погрешность СИ является суммой двух составляющих:

· случайной погрешности (a), изменяющейся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины (аддитивная составляющая погрешности);

· систематической погрешности (bX), закономерно изменяющейся при повторном измерении одной и той же величины (мультипликативная составляющая погрешности).

В общем виде и тогда для относительной погрешности можно записать

Для нормирования погрешностей СИ с аддитивной и мультипликативной составляющими наибольшее распространение получила формула нормирования предела относительной погрешности вида

где δ_доп — предел допускаемой относительной погрешности, %;

X_N -конечное значение диапазона измерений или диапазона значений величины на выходе меры;

c и d — постоянные числа.

Эту формулу применяют тогда, когда абсолютная погрешность монотонно увеличивается от начала к концу диапазона.

Класс точности СИ в этом случае представлен двумя цифрами: c/d (в процентах), разделенными косой чертой, которые выбирают из нормированного ряда (ГОСТ 8.401-80): 6,0; 4,0; 2,5; 1,5; 1,0; 0,5; 0,2; 0,1; 0,05; 0,02; 0,01 и т.д. В настоящее время такое обозначение класса точности широко применяется при нормировании погрешности цифровых приборов, многозначных мер сопротивлений и др.

Класс точности — обобщенная характеристика СИ, определяемая пределами допускаемых основной и дополнительной погрешностей.

Основная приведенная погрешность не должна превышать значения класса точности СИ. Чем меньше число, обозначающее класс точности средств измерений, тем меньше предел допускаемой основной погрешности.

Основная погрешность средств измерений определяется использованием их в нормальных условиях (табл. 1). Она может выражаться допускаемой абсолютной, относительной или приведенной основной погрешностью.

Дополнительная погрешность обусловлена выходом значений влияющих величин (температура, давление и др.) за пределы нормальных значений. Пределы допускаемой дополнительной погрешности устанавливаются в виде дольного значения от основной погрешности, т.е. связаны с классом точности прибора. Дополнительные погрешности при фиксированных влияющих величинах представляют собой систематические погрешности.

Таблица .1 Нормирование основной погрешности и обозначения класса точности

1. Вольтметром со шкалой (0…100) В, имеющим абсолютную погрешность ∆V = 1 В, измерены значения напряжения 0; 10; 20; 40;50; 60; 80; 100 В. Рассчитать зависимости абсолютной, относительной и приведённой погрешностей от результата измерений. Результаты представить в виде таблицы и графиков.

2.Омметром со шкалой (0. 1000) Ом измерены значения 0; 100; 200; 400; 500; 600; 800; 1000 Ом. Определить значения абсолютной и относительной погрешностей, если приведённая погрешность равна 0,5. Результаты представить в виде таблицы и графиков.

3. Определить пределы инструментальных абсолютной и относительной погрешностей измерения тока I = 67 мA, если измерения проводились магнитоэлектрическим миллиамперметром с нулем в начале шкалы, классом точности 1.0 и пределом измерения 100 мA.

4. Oценить инструментальные погрешности измерения тока двумя магнитоэлектрическими миллиамперметрами с классами точности 0,5 и 1.0 и указать, какой из результатов получен с большей точностью, а также, могут ли показания I₁ = 19,0 мA и I₂ = 18,6 мA исправных приборов отличаться так, как задано в условии? Миллиамперметры имеют нули в начале шкалы и пределы I_пр1 = 50 мA и I_пр2 = 20 мA.

5. Амперметром класса точности 2.0 со шкалой (0…50) А измерены значения тока 0; 5; 10; 20; 25; 30; 40; 50 А. Рассчитать зависимости абсолютной, относительной и приведённой основных погрешностей от результата измерений. Результаты представить в виде таблицы и графиков.

6. Вольтметром класса точности со шкалой (0…100) В измерены значения напряжения 0; 10; 20; 40; 50; 60; 80; 100 В. Рассчитать зависимости абсолютной и относительной погрешностей от результата измерений. Результаты представить в виде таблицы и графиков.

7. Выбрать необходимый класс точности миллиамперметра с конечным значением шкалы, равным 250 мА, если при измерении им тока в пределах от 100 до 150 мА относительная погрешность измерения не должна превышать 2 %.

8. Записать обозначение класса точности цифрового вольтметра, если известно, что предел допускаемой погрешности равен 0,02 % для напряжения, равного половине максимального, и 0,03 % для напряжения, равного одной трети максимального.

9. При поверке вольтметра класса точности 1,0 с U_N = 10 В на отметке 8 В показания образцового вольтметра с таким же пределом измерения и классом точности 0,2 были 8,15 В. Определить, соответствует ли поверяемый вольтметр своему классу точности?

Источник

Решение Для записи результатов формируем таблицу (см таблицу 1), в столбцы которой будем записывать измеренные значения

Главная > Решение

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Вычисление абсолютных, относительных и приведенных погрешностей средств измерений

Пример решения задачи

Задача 1. Вольтметром со шкалой (0…100) В, имеющим абсолютную погрешность V=1 В, измерены значения напряжения 0, 10, 20, 40, 50, 60, 80, 100 (В). Рассчитать зависимости абсолютной, относительной и приведенной погрешностей от результата измерений. Результаты представить в виде таблицы и графиков.

Для записи результатов формируем таблицу (см. таблицу 1), в столбцы которой будем записывать измеренные значения V , абсолютные  V , относительные  V и приведенные  V погрешности.

В первый столбец записываем заданные в условии задачи измеренные значения напряжения: 0, 10, 20, 40, 50, 60, 80, 100 (В).

Значение абсолютной погрешности известно из условий задачи ( V =1 В) и считается одинаковым для всех измеренных значений напряжения; это значение заносим во все ячейки второго столбца.

Значения относительной погрешности будем рассчитывать по формуле:

.

При V =0 В получаем: .

При V =10 В получаем: .

Значения относительной погрешности для остальных измеренных значений напряжения рассчитываются аналогично.

Полученные таким образом значения относительной погрешности заносим в третий столбец.

Для расчета значений приведенной погрешности будем использовать формулу:

.

Предварительно определим нормирующее значение V N .

Так как диапазон измерений вольтметра – (0…100) В, то шкала вольтметра содержит нулевую отметку, следовательно, за нормирующее значение принимаем размах шкалы прибора, т. е.

.

Так как величины  V и V N постоянны при любых измеренных значениях напряжения, то величина приведенной погрешности так же постоянна и составляет

.

Это значение заносим во все ячейки четвертого столбца.

По данным таблицы 1 строим графики зависимостей абсолютной  V , относительной  V и приведенной  V погрешностей от результата измерений V (см. рис. 1).

В данном случае графики зависимостей абсолютной и приведенной погрешностей сливаются друг с другом и представляют собой горизонтальные прямые линии. График зависимости относительной погрешности представляет собой гиперболу.

В
нимание : так как диапазон измерений прибора – (0…100) В, то за пределы этого диапазона построенные графики не должны выходить.

Вычисление погрешностей при различных способах задания классов точности средств измерений

Пример решения задачи

Задача 2. Амперметром класса точности 2.0 со шкалой (0…50) А измерены значения тока 0, 5, 10, 20, 25, 30, 40, 50 (А). Рассчитать зависимости абсолютной, относительной и приведенной основных погрешностей от результата измерений. Результаты представить в виде таблицы и графиков.

Для записи результатов формируем таблицу (см. таблицу 2.1), в столбцы которой будем записывать измеренные значения I , абсолютные  I , относительные  I и приведенные  I погрешности.

В первый столбец записываем заданные в условии задачи измеренные значения тока: 0, 5, 10, 20, 25, 30, 40, 50 А.

Класс точности амперметра задан числом без кружка, следовательно, приведенная погрешность, выраженная в процентах, во всех точках шкалы не должна превышать по модулю класса точности, т.е. | I |2%.

При решении задачи рассмотрим худший случай | I| =2%, когда приведенная погрешность принимает максимальное по абсолютной величине значение, что соответствует  I =+2% и  I =-2%.

Данные значения приведенной погрешности заносим в четвертый столбец таблицы 2.1.

Рассчитаем значения абсолютной погрешности.

Из формулы выражаем абсолютную погрешность . За нормирующее значение I N принимаем размах шкалы, т.к. шкала амперметра содержит нулевую отметку, т. е. I N =|50 А – 0 А| = 50 А.

Абсолютная погрешность равна во всех точках шкалы прибора. Заносим данное значение во второй столбец таблицы.

Значения относительной погрешности будем рассчитывать по формуле

. При I =0 A получаем: . При I =5 A получаем: .

Значения относительной погрешности для остальных измеренных значений тока рассчитываются аналогично.

Полученные таким образом значения относительной погрешности заносим в третий столбец.

По данным таблицы 2.1, учитывая, что погрешности могут быть как положительными, так и отрицательными, строим графики зависимостей абсолютной  I , относительной  I и приведенной  I погрешностей от результата измерений I (см. рис. 2).

Рис. 2. Графики зависимостей абсолютной, относительной и приведенной погрешностей от результата измерений для прибора с преобладающими аддитивными погрешностями

Задача 3. Вольтметром класса точности со шкалой (0…100) В измерены значения напряжения 0, 10, 20, 40, 50, 60, 80, 100 (В). Рассчитать зависимости абсолютной и относительной погрешностей от результата измерений. Результаты представить в виде таблицы и графиков.

Для записи результатов формируем таблицу (см. таблицу 2.2), в столбцы которой будем записывать измеренные значения V , абсолютные  V и относительные  V погрешности.

В первый столбец записываем заданные в условии задачи измеренные значения тока: 0, 10, 20, 40, 50, 60, 80, 100 (В).

Класс точности вольтметра задан числом в кружке, следовательно, относительная погрешность, выраженная в процентах, во всех точках шкалы не должна превышать по модулю класса точности, т.е. | V |0,5%.

При решении задачи рассмотрим худший случай, т.е. | V | =0,5%, что соответствует значениям  V =+0,5% и  V =-0,5%

Примем во внимание опыт решения задачи 5.2., из которого видно, что результаты вычисления, выполненные для положительных и отрицательных значений погрешностей, численно совпадают друг с другом и отличаются только знаками «+» или «-«. Поэтому дальнейшие вычисления будем производить только для положительных значений относительной погрешности  V =0,5% , но при этом будем помнить, что все значения второго и третьего столбцов таблицы 2.2. могут принимать и отрицательные значения.

Значение относительной погрешности  V =0,5% заносим в третий столбец таблицы.

Рассчитаем значения абсолютной погрешности.

Из формулы выражаем абсолютную погрешность:

.

При V =0 В получаем: .

При V =10 В получаем:

.

Значения абсолютной погрешности для остальных измеренных значений напряжения рассчитываются аналогично.

Полученные таким образом значения абсолютной погрешности заносим во второй столбец.

По данным таблицы 2.2, учитывая, что погрешности могут быть как положительными, так и отрицательными, строим графики зависимостей абсолютной V и относительной V погрешностей от результата измерений V (см. рис. 3).

Рис. 3. Графики зависимостей абсолютной и относительной погрешностей от результата измерений для прибора с преобладающими мультипликативными погрешностями

Задача 4. Цифровым омметром класса точности 1.0/0.5 со шкалой (0…1000) Ом измерены значения сопротивления 0, 100, 200, 400, 500, 600, 800, 1000 (Ом). Рассчитать зависимости абсолютной и относительной основных погрешностей от результата измерений. Результаты представить в виде таблицы и графиков.

Для записи результатов формируем таблицу (см. таблицу 2.3), в столбцы которой будем записывать измеренные значения R , абсолютные  R и относительные  R погрешности.

В первый столбец записываем заданные в условии задачи измеренные значения сопротивления: 0, 100, 200, 400, 500, 600, 800, 1000 (Ом).

Класс точности вольтметра задан в виде двух чисел, разделенных косой чертой. Следовательно, относительная погрешность, выраженная в процентах, во всех точках шкалы должна удовлетворять следующему соотношению:

, %.

В данном случае, а =1,0; b =0,5; R к =1000 Ом, причем параметры этой формулы а и b ответственны, соответственно, за мультипликативную и аддитивную составляющие суммарной погрешности.

Таким образом, получаем:

.

При решении задачи рассмотрим худший случай

,

что соответствует значениям .

Примем во внимание опыт решения задачи 5.2, из которого видно, что результаты вычисления, выполненные для положительных и отрицательных значений погрешностей, численно совпадают друг с другом и отличаются только знаками «+» или «-«. поэтому дальнейшие вычисления будем производить только для положительных значений относительной погрешности , но при этом будем помнить, что все значения второго и третьего столбцов таблицы 2.3 могут принимать и отрицательные значения.

Рассчитаем значения относительной погрешности.

При R =0 Ом получаем: .

При R =100 Ом получаем: .

Значения относительной погрешности для остальных измеренных значений сопротивления рассчитываются аналогично.

Полученные значения относительной погрешности заносим в третий столбец таблицы 2.3.

Рассчитаем значения абсолютной погрешности.

Из формулы выражаем абсолютную погрешность

. При R=0 Ом получаем: – неопределенность.

Р ис. 4. Графики зависимостей абсолютной и относительной погрешностей от результата измерений для прибора с соизмеримыми аддитивными и мультипликативными погрешностями

Искомое значение  R можно определить следующим образом. Так как класс точности прибора задан в виде двух чисел, то у данного прибора аддитивные и мультипликативные погрешности соизмеримы. При R =0 Ом мультипликативная составляющая погрешность равна нулю, значит, общая погрешность в этой точке обусловлена только аддитивной составляющей. Аддитивную составляющую представляет второе из чисел, задающих класс точности, т.е. в данном случае число b =0,5. Это означает, что аддитивная погрешность составляет 0,5% от верхнего предела измерений прибора, т.е. от R к =1000 Ом.

Таким образом, при R =0 имеем .

При R =100 Ом получаем .

При R =200 Ом получаем .

Значения абсолютной погрешности для остальных измеренных значений сопротивления рассчитываются аналогично. Полученные таким образом значения абсолютной погрешности заносим во второй столбец таблицы 2.3.

По данным таблицы 2.3, учитывая, что погрешности могут быть как положительными, так и отрицательными, строим графики зависимостей абсолютной  R и относительной  R погрешностей от результата измерений R (см. рис. 4).

Источник