Cпособы определения площадей в геодезии
Определение площадей земельных участков является одним из важнейших видов геодезических работ для целей земельного кадастра.
В зависимости от хозяйственной значимости земельных участков, наличия планово-топографического материала, топографических условий местности и требуемой точности применяют различные способы определения площадей.
1. Аналитический, когда площадь вычисляется по результатам измерений линий на местности, по результатам измерений линий и углов на местности или по их функциям (координатам вершин фигур).
2. Графический, когда площадь вычисляется по результатам измерений линий или координат на плане (карте). Графические способы. Участок на плане разбивают на простые геометрические фигуры (обычно – треугольники), элементы которых измеряют с помощью измерителя и поперечного масштаба, а площади вычисляют по известным формулам и суммируют.
3. Механический, когда площадь определяется по плану с помощью специальных приборов (планиметров) или приспособлений (палеток). Иногда эти способы применяют комбинированно, например, часть линейных величин для вычисления площади определяют по плану, а часть берут из результатов измерений на местности.
Площади можно также определить на ЭВМ по цифровой модели местности по специальной программе.
При аналитическом способе определения площадей применяются формулы геометрии, тригонометрии и аналитической геометрии. При определении площадей небольших участков (для учета площадей, занятых строениями, усадьбами, площадей вспашки, посева) участки разбиваются на простейшие геометрические фигуры, преимущественно треугольники, прямоугольники, реже трапеции. В этом случае площади участков определяются как суммы площадей отдельных фигур, вычисляемых по линейным элементам — высотам и основаниям.
Рис. 23.1. Геометрические фигуры для определения площадей участков (а, б)
Если по границам участка выполнены геодезические измерения, то площадь всего участка или его части можно вычислить по формулам, приведенным применительно к следующим фигурам участков (рис. 23.1).
Треугольник (рис. 23.1, а). Площадь треугольника определяется по сторонам l1 и l2, углу β2, заключенному между ними, по формуле
Четырехугольник (рис. 23.1, б). В зависимости от элементов, известных в четырехугольнике, могут быть использованы различные формулы для расчета, в связи с чем приведем пример, характеризующий это многообразие. Пусть в четырехугольнике измерены все стороны и один угол при вершине 2. В таком случае площадь треугольника 1 — 2 — 3 может быть вычислена по формуле (23.1). При этом полезно вычислить длину l1-3, используя теорему косинусов
Площадь треугольника 1 — 3 — 4 может быть вычислена по формуле
где S — полупериметр, равный
Общая площадь четырехугольника будет равна:
Источник
Основы геодезии
О геодезии и разный полезный материал для геодезистов.
Геометрический способ
Существует три способа определения площади участков: геометрический, аналитический и механический. На местности применяют два первых способа, на картах и планах – все три способа.
Геометрический способ – это вычисление площади геометрических фигур по длинам сторон и углам между ними, значения которых можно получить только из измерений.
Сначала рассмотрим простейшую фигуру – треугольник.
Формулы для вычисления площади треугольника известны:
P = 0.5 * a * b * Sin(C) (6.2)
в этих формулах:
a, b, c – длины сторон треугольника,
A, B, C – углы при вершинах против соответствующих сторон,
h – высота, проведенная из вершины A на сторону a,
p – полупериметр, p=0.5*(a + b + c).
Для решения любого n-угольника нужно знать (2*n – 3) его элементов, причем количество известных углов не должно быть больше (n-1), так как один угол всегда может быть вычислен, если остальные углы известны, на основании формулы:
β = 180 * ( n – 2 ) (6.4)
При расчете ошибки определения площади следует учитывать ошибки всех (2n-3) измеряемых элементов.
В треугольнике нужно знать (измерить) три элемента. Формула (6.1) содержит всего два элемента; это значит, что прямой угол между основанием и высотой нужно отдельно обеспечить с необходимой точностью, что равнозначно одному измерению.
Примем относительную ошибку площади mp/P = 1/1000, тогда для применения формулы (6.1) на основании принципа равных влияний необходимо выполнить условия:
где ma,mb,β – ср.кв. ошибки сторон a, b и прямого угла между основанием и высотой.
Для формулы (6.2) на основании принципа равных влияний можно написать:
Считая попрежнему mp/P=1/1000, получим: 
Источник
Геометрический способ
Существует три способа определения площади участков: геометрический, аналитический и механический. На местности применяют два первых способа, на картах и планах — все три способа.
Геометрический способ — это вычисление площади геометрических фигур по длинам сторон и углам между ними, значения которых можно получить только из измерений.
Сначала рассмотрим простейшую фигуру — треугольник.
Формулы для вычисления площади треугольника известны:
P = 0.5 * a * b * Sin(C) (6.2)
(6.3)
в этих формулах:
a, b, c — длины сторон треугольника,
A, B, C — углы при вершинах против соответствующих сторон,
h — высота, проведенная из вершины A на сторону a,
p — полупериметр, p=0.5*(a + b + c).
Для решения любого n-угольника нужно знать (2*n — 3) его элементов, причем количество известных углов не должно быть больше (n-1), так как один угол всегда может быть вычислен, если остальные углы известны, на основании формулы:
β = 180o * ( n — 2 ) (6.4)
При расчете ошибки определения площади следует учитывать ошибки всех (2n-3) измеряемых элементов.
В треугольнике нужно знать (измерить) три элемента. Формула (6.1) содержит всего два элемента; это значит, что прямой угол между основанием и высотой нужно отдельно обеспечить с необходимой точностью, что равнозначно одному измерению.
Примем относительную ошибку площади mp/P = 1/1000, тогда для применения формулы (6.1) на основании принципа равных влияний необходимо выполнить условия:
где ma,mb,β — ср.кв. ошибки сторон a, b и прямого угла между основанием и высотой.
Для формулы (6.2) на основании принципа равных влияний можно написать:
(6.5)
Считая попрежнему mp/P=1/1000, получим:
где a — длина стороны квадрата,
M — знаменатель масштаба карты,
n — количество квадратов на участке.
Применение палеток с параллельными линиями описано в [23].
Источник
Способы определения площадей земельных участков
ГОУ ВПО «Дальневосточный государственный университет
Кафедра «Изыскания и проектирование железных дорог»
СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ
ЗЕМЕЛЬНЫХ УЧАСТКОВ
Методические указания по выполнению
УКД 528.48.068.03: 625
А 674
, . Способы определения площадей земельных участков. Методические указания по выполнению лабораторной работы. – Хабаровск: ДВГУПС, 2010. – 18 с.
Методические указания соответствуют требованиям ГОС ВПО по направлениям подготовки дипломированного специалиста 653600 «Транспортное строительство» и 653500 «Строительство».
Указания разработаны в соответствии с программой курса инженерной геодезии для строительных специальностей и предназначено студентам всех форм обучения, изучающих дисциплину ‘‘Инженерная геодезия’’.
В методических указаниях изложена методика выполнения лабораторной работы по способам определения площадей, приведены примеры вычислений и образцы оформления работы.
А 674
Ó ГОУ ВПО «Дальневосточный государственный университет путей сообщения» (ДВГУПС), 2010
Изучение «Инженерной геодезии» складывается из лекционных, лабораторных, практических работ и полевой практики. Использованию методического указания должно предшествовать изучение соответствующих разделов учебника. Это требование должно обязательно выполняться студентами.
Наличие в методическом указании краткого описания основных понятий и формул для вычислений обусловлено необходимостью обратить внимание студентов на существо вопроса перед переходом к закреплению материала путем выполнения лабораторной работы. Выполнение лабораторной работы рассчитано на два часа занятий.
Настоящее методическое указание к лабораторной работе имеет своей целью дать студентам первого курса строительных специальностей знания по методам и приемам определения площадей с учётом погрешностей всех геодезических измерений. В методическом указании приведены методы и приемы определения площадей, рассмотрены вопросы точности определения площадей с учетом погрешностей всех геодезических измерений.
Для закрепления теоретических знаний и практических навыков в методическом указании приведены контрольные вопросы для самоконтроля.
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ
Составление различного рода проектов, связанных с использованием земельной территории, изучение её природных богатств, учет и инвентаризация земель требует определения площадей. При проведении этих работ определяются площади небольших участков или больших земельных массивов, суммы площадей нескольких несмежных участков, обладающих одними и теми же природными или хозяйственными признаками.
К таким площадям могут относиться различные сельскохозяйственные территории (луга, пашни, огороды), лесонасаждения, площади под планировку и застройку. А также территории осушения (болота), площади бассейнов водотоков (рек и оврагов), границы затоплений, водные пространства (озера, пруды, водохранилища), площади насыпей и выемок для подсчета объемов земляных дорог и других сооружений [3].
В одних случаях достаточно ограничиться общими сведениями о площади участков и массивов, а в других случаях необходимы более точные способы определения площадей и погрешность даже в несколько десятых долей процента считается недопустимой. Поэтому наряду с определением площади очень часто требуется знать и точность её определения. При определении площадей по результатам измерений на местности точность зависит от качества этих измерений, в то время как при измерении площади по плану (или карте) на точность площади влияет качество измерений на местности, по которым составляется план или карта, графических построений участка на плане и определения площади по плану.
В зависимости от хозяйственной значимости участков и массивов, их размеров, конфигурации и вытянутости, наличия планово – топографического материала, топографических условий местности применяют следующие способы определения площадей:
1. Аналитический способ — когда площадь вычисляется по результатам измерений линий на местности или по их функциям (координатам вершин участка);
2. Графический способ — когда площадь вычисляется по результатам измерений линий на плане (карте);
3. Механический способ — когда площадь определяется по плану при помощи специальных приборов (планиметров).
Иногда эти способы применяются комбинированно. Например, общая площадь определяется аналитическим способом (по координатам вершин), а площади внутренних контуров – графическим или механическим способом. Далее в методическом указании будет более подробно рассмотрен каждый из выше перечисленных способов определения площадей.
1.1 Аналитический способ определения площадей
Цель: ознакомиться и получить навык определения площадей аналитическим способом.
Вычисление площади этим способом производится по формулам геометрии, тригонометрии и аналитической геометрии. Исходными данными для вычисления служат измеренные в натуре углы или их функции – координаты.
Если участок представляет собой простейшую геометрическую фигуру (треугольник, трапецию и др.), то площадь его вычисляют по общеизвестным формулам геометрии или тригонометрии [4,5]. Площади многоугольников вычисляют обычно по координатам вершин (рис. 1).
Рис. 1. Вычисление площади многоугольника по координатам.
Площадь замкнутого контура () в этом случае определяется по формулам [5]:
, (1)
(2)
где i — это порядковый номер вершин контура от 1 до n; n — число вершин полигона; x, y — координаты вершин контура.
При подстановке i = 1 получим в первой формуле x0 — x2, а второй y2 — y0, где вместо x0 и y0 необходимо подставить xn и yn; если при подстановке i = n получим в первой формуле xn-1 — xn+1, во второй yn+1 — yn-1, где вместо xn+1, yn+1 необходимо подставить x1 и y1 (так как нулевая точка предшествует первой, а в данном случае первой вершине предшествует вершина n; точка n + 1 следует за точкой n, а в данном случае за вершиной n следует первая вершина) [4,5]. Вычисление площади производиться для контроля по обеим формулам.
В таблице 1 приведен пример расчета площади при помощи аналитического способа. В соответствие с рисунком 1 в графах 1 и 2 таблицы 1 заданы прямоугольные координаты каждой вершины замкнутого полигона.
Разности координат xi-1 — xi+1 и yi+1 – yi-1 с соответствующим знаком запишем в графы 3 и 4. Например, для вершины 1 разность будет складываться из координаты последующей вершины 2 (Х2 = 209,43) и координаты предыдущей вершины 6 (Х6 = 209,43). Результат перемножения соответственно граф 2 и 3, а также 1 и 4 запишем в графы 5 и 6.
Таким образом, площадь участка составляет 0998 м2 или 14,1 га. Вычисление разностей координат контролируется тем, что алгебраическая сумма, как разностей координат X, так и разностей координат Y должна равняться нулю, либо при составлении разностей каждая координата входит как со знаком плюс, так и со знаком минус. Совпадение сумм произведений в обоих случаях указывает на отсутствие ошибок вычислений.
Сумма произведений соответствует удвоенной площади полигона в квадратных метрах, так как координаты даны в метрах.
Точность аналитического способа 1/1000. При определении площади этим способом на точность влияют только погрешности измерений на местности.
Источник
