Выбрать уравнение соответствующее координатному способу задания движения точки

Координатный способ задания движения точки

Введение

Выводы приведенных ниже формул и изложение теории приводится на странице “Кинематика материальной точки”. Здесь мы применим основные результаты этой теории к координатному способу задания движения материальной точки.

Пусть мы имеем неподвижную прямоугольную систему координат с центром в неподвижной точке . При этом положение точки M однозначно определяются ее координатами (x, y, z). Координатный способ задания движения точки – это такой способ, при котором заданы зависимости координат от времени. То есть заданы три функции от времени (при трехмерном движении):

Далее мы приводим формулы вычисления кинематических величин и пример решения задачи для координатного способа задания движения.

Определение кинематических величин

Зная зависимости координат от времени , мы автоматически определяем радиус-вектор материальной точки M по формуле:
,
где – единичные векторы (орты) в направлении осей x, y, z .

Дифференцируя по времени , находим проекции скорости и ускорения на оси координат:
;
;
Модули скорости и ускорения:
;
.

Единичный вектор в направлении касательной к траектории:
.
Его можно определить двумя способами – по направлению скорости, или в противоположную сторону. Поэтому здесь в знаменателе стоит не модуль скорости, а алгебраическая величина скорости, которая, по абсолютной величине, равна модулю скорости, но может принимать как положительные, так и отрицательные значения: . Она является проекцией скорости на направление единичного вектора .

Алгебраическая величина тангенциального (касательного) ускорения – это проекция полного ускорения на направление единичного вектора касательной к траектории:
.
Вектор тангенциального (касательного) ускорения:
.
Здесь также, как и для скорости, – это скалярная величина, которая может принимать как положительные так и отрицательные значения: .

Нормальное ускорение:
.
Вектор нормального ускорения:
; .
Единичный вектор в направлении главной нормали траектории (то есть единичный вектор, перпендикулярный касательной и направленный к центру кривизны траектории):
.
Здесь – это модуль нормального ускорения: . Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории. Оно не может быть направлено в противоположную сторону.

Радиус кривизны траектории:
.
Центр кривизны траектории:
.

Единичный вектор в направлении бинормали:
.

Пример решения задачи

Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

По заданным уравнениям движения точки установить вид ее траектории и для момента времени найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Уравнения движения точки:
, см;
, см.

Решение

Определение вида траектории

Исключаем время из уравнений движения. Для этого перепишем их в виде:
; .
Применим формулу:
.
;
;
;
.

Итак, мы получили уравнение траектории:
.
Это уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии .

Поскольку
, то
; или
.
Аналогичным образом получаем ограничение для координаты :
;
;

Таким образом, траекторией движения точки является дуга параболы
,
расположенная при
и .

Строим параболу по точкам.

0	6
± 3	5,625
± 6	4,5
± 9	2,625
± 12	0

Определяем положение точки в момент времени .
;
.

Определение скорости точки

Дифференцируя координаты и по времени , находим компоненты скорости.
.
Чтобы продифференцировать , удобно применить формулу тригонометрии:
. Тогда
;
.

Вычисляем значения компонент скорости в момент времени :
;
.
Модуль скорости:
.

Определение ускорения точки

Дифференцируя компоненты скорости и по времени , находим компоненты ускорения точки.
;
.

Вычисляем значения компонент ускорения в момент времени :
;
.
Модуль ускорения:
.

Алгебраическая величина тангенциального ускорения – это проекция полного ускорения на направление единичного вектора касательной к траектории. Выберем направление совпадающим с направлением скорости . Тогда ; алгебраическая величина тангенциального ускорения – это проекция полного ускорения на направление скорости :
.
Поскольку , то вектор тангенциального ускорения направлен противоположно скорости .

Нормальное ускорение:
.
Вектор и направлен в сторону центра кривизны траектории.

Радиус кривизны траектории:
.

Траекторией движения точки является дуга параболы
; .
Скорость точки: .
Ускорение точки: ; ; .
Радиус кривизны траектории: .

Определение остальных величин

При решении задачи мы нашли:
вектор и модуль скорости:
; ;
вектор и модуль полного ускорения:
; ;
тангенциальное и нормальное ускорения:
; ;
радиус кривизны траектории: .

Определим остальные величины.

Единичный вектор в направлении касательной к траектории:
.
Вектор тангенциального ускорения:

.
Вектор нормального ускорения:

.
Единичный вектор в направлении главной нормали:
.
Координаты центра кривизны траектории:

.

Введем третью ось системы координат перпендикулярно осям и . В трехмерной системе
; .
Единичный вектор в направлении бинормали:

.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 22-02-2016 Изменено: 29-01-2020

Источник

Координатный способ задания движения точки

В выбранной системе координат задаются координаты движущейся точки как функции от времени. В прямоугольной декартовой системе координат это будут уравнения:

x=x(t)

z=z(t)

Эти уравнения являются и уравнениями траектории в параметрической форме. Исключая из этих уравнений параметр t, можно получить три пары систем двух уравнений, каждая из которых представляет траекторию точки, как пересечение поверхностей.

Кроме декартовых могут быть использованы другие системы координат (сферическая, цилиндрическая). Всегда можно перейти от координатного способа задания движения к векторному (рисунок 1.3):

r(t)=i⋅x(t) ⊕ j⋅y(t) ⊕ k⋅z(t) (1.5)

Поэтому, используя формулы для определения скорости и ускорения точки при векторном способе задания движения, можно получить аналогичные формулы для координатного способа:

Направление вектора скорости определяется с помощью направляющих косинусов:

Формулы (1.6) и (1.7) полностью определяют вектор скорости при координатном способе задания движения точки, т.е. по величине и направлению.

Аналогичны формулы для определения ускорения точки:

Формулы (1.8) определяют величину и направление вектора ускорения. В формулах (1.6) и (1.8) приведены используемые в различных учебниках обозначения проекций скоростей и ускорений точек на оси декартовой системы координат.

Естественный способ задания движения точки

При естественном способе задания движения предполагается определение параметров движения точки в подвижной системе отсчета, начало которой совпадает с движущейся точкой, а осями служат касательная, нормаль и бинормаль к траектории движения точки в каждом ее положении.

Единичные орты τ, n ,b определяют направление соответствующих осей в каждой точке кривой.

Чтобы задать закон движения точки естественным способом необходимо:

1) знать траекторию движения;

2) установить начало отсчета на этой кривой;

3) установить положительное направление движения;

4) дать закон движения точки по этой кривой, т.е. выразить расстояние от начала отсчета до положения точки на кривой в данный момент времени ∪OM=S(t) .

Зная эти параметры можно найти все кинематические характеристики точки в любой момент времени (рисунок 1.5).

Скорость точки определяется по формулам (1.9)

Первая формула определяет величину и направление вектора скорости, вторая формула только величину.

Ускорение определяется как производная от вектора скорости:

a_τ=τ⋅dV/dt=τ⋅d 2 S/dt 2 , a_τ=dV/dt=τ⋅d 2 S/dt 2 — касательное ускорение; оно характеризует быстроту изменения величины скорости точки;

a_n=n⋅V 2 /ρ, a_n=V 2 /ρ — нормальное ускорение точки; характеризует быстроту изменения направления вектора скорости;

ρ — радиус кривизны траектории в данной точке (например, для окружности:ρ=R , для прямой линии ρ=∞).

Полное ускорение точки определяется следующим образом (рисунок 1.5):

Выше отмечалось, что всегда можно перейти от одного способа задания закона движения точки к другому. Поэтому, преобразовывая одни и те же формулы, можно получить другое их написание.

или a_τ=acosγ (рисунок 1.5).

Кинематика твердого тела. Поступательное движение

В кинематике твердого тела определяются: закон движения и кинематические характеристики тела, а также кинематические характеристики точек тела.

В данном методическом пособии рассмотрены следующие виды движения твердого тела:

Поступательное движение – это движение, при котором любая прямая, связанная с телом, перемещается параллельно самой себе.

Источник

Координатный способ задания движения точки

Рассматривается движение точки М в неподвижной системе отсчёта OXYZ (рис. 2.1). Единичные векторы (орты) i, j, k показывают положительные направления отсчёта координат X, Y, Z. Движущаяся точка описывает в пространстве некоторую линию, которую называют траекторией движения точки. По виду траектории все движения точки делятся на прямолинейные и криволинейные. Положение точки М в неподвижной системе отсчёта (НСО) определяется тремя координатами X, Y, Z. При движении точки М её координаты изменяются с течением времени. Следовательно, коорди
наты X, Y, Z движущейся точки М являются функциями времени t.

Систему трёх уравнений X = f₁(t); Y = f₂(t); Z = f₃(t) называют уравнениями движения точки в пространстве в декартовых координатах.

Пример: X = 10·t 2 + 1; Y = 7·t 3 + t 2 + 1; Z = 10·sin(p·t). Действительно, имея эти уравнения, можно для любого момента времени найти значения соответствующих координат X, Y, Z и по ним определить положение точки в пространстве в этот момент времени.

Движение точки М на плоскости (рис. 2.2) определяется двумя уравнениями: X = f₁(t); Y = f₂(t). Эти выражения называют уравнениями движения точки на плоскости в декартовой системе отсчёта.

Пример. Заданы уравнения движения точки в плоскости OXY. X = 3·t 2 + t 2 + t; Y = 7·cos(p·t).

Уравнения движения, определяющие координаты точки в любой момент времени, рассматривают как параметрические уравнения траектории точки. При исключении параметра t из уравнений движения получают уравнение траектории точки в координатной форме (Y = f(t)).

Пример. Заданы уравнения: X = 4·t (см); Y = 16·t 2 – 1 (см) движения точки в плоскости OXY. Определить вид траектории движения точки, построить её график и найти положение точки на траектории движения в момент времени t₁ = 0,5 с.

Решение. Из уравнения X = 4·t находим t = X/4. Значение времени t подставляем в уравнение Y = 16·t 2 – 1. Получаем

Y = 16·(X/4) 2 – 1 = X 2 – 1.

Выражение Y = X 2 – 1 есть уравнение параболы (y= a·x 2 +b·x+c) с вершиной в точке с координатами (0, – 1). В момент времени t₁ = 0,5 с определяем координаты:

Y(t₁) = 16·(t₁) 2 – 1 = 16·(0,5) 2 – 1 = 3 см >0.

Показываем положение точки на траектории её движения (рис. 2.3).

Пример. Дано: X = 3·sin(p·t), см (1); Y = 3·cos(p·t), см (2); t₁ = 0,25 c. Определить вид траектории движения точки и её положение на траектории движения в момент времени t₁.

Решение. Уравнения движения точки представим в следующем виде: (X) 2 = (3·sin(p·t)) 2 (1 I ); (Y) 2 = (3·cos(p·t)) 2 (2 I ). Для решения используем тригонометрическую формулу sin 2 (α) + cos 2 (α) = 1.

Складывая левые и правые части уравнений (1 I ) и (2 I ), получим (X) 2 + (Y) 2 = 3 2 ·(sin 2 (p·t) + cos 2 (p·t)) = 3 2 ·1 или (X) 2 + (Y) 2 = 3 2 . Известно, что уравнение (X) 2 + (Y) 2 = R 2 есть уравнение окружности радиусом R с центром в начале координат. Таким образом, точка
движется по окружности радиусом R = 3 см (рис. 2.4).

Определяем положение точки на траектории движения в момент времени t₁.

X(t₁) = 3·sin(p·t₁) = 3·sin(p·0,25) = 3·0,707 = 2,121 см > 0.

Y(t₁) = 3·cos(p·t₁) = 3·cos(p·0,25) = 3·0,707 = 2,121 см > 0.

Показываем точку на траектории её движения (см. рис. 2.4).

ВНИМАНИЕ! Если точка не попадает на траекторию её движения, то:

1) неверно определен вид траектории движения;

2) неверно рассчитаны значения координат X(t₁), Y(t₁).

Прямолинейное движение точки М определяется одним уравнением движения X = f(t).

Пример. Дано: X = 10·t 2 + sin(2·p·t) + 3, см (рис. 2.5).

Определить положение точки на траектории движения в начальный момент времени t₀ = 0 и в момент времени t₁ = 1 c.

Решение.

X(t₀) = 10·(t₀) 2 + sin(2·p·t₀) + 3 = 10·0 2 + sin(2·p·0) + 3 = 3 см > 0.

X(t₁) = 10·(t₁) 2 + sin(2·p·t₁) + 3 = 10·1 2 + sin(2·p·1) + 3 = 13 см > 0.

Значения координат X(t₀), X(t₁) наносим на рис. 2.5.

Источник