Сложение — это арифметическое действие, в котором единицы двух чисел объединяются в одно новое число
Для записи сложения используют знак «+» (плюс), который ставят между слагаемыми.
Слагаемые — это числа, единицы которых складываются.
Сумма — это число, которое получается в результате сложения.
Рассмотрим пример 2 + 5 = 7, в котором:
2 — это первое слагаемое,
5 — второе слагаемое,
7 — это сумма.
При этом саму запись (2 + 5) можно тоже назвать суммой.
Сложение двух чисел можно проверить вычитанием. Для этого вычитаем из суммы одно из слагаемых. Если разность окажется равной другому слагаемому — сложение выполнено верно.
Впервые мы сталкиваемся со свойствами сложения во 2 классе. С каждым годом задания усложняются, и появляются новые правила и законы. Рассмотрим свойства сложения для 4 класса.
Переместительное свойство сложения От перестановки мест слагаемых сумма не меняется. a + b = b + a
Сочетательное свойство сложения Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье нужно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа. (a + b) + c = a + (b + c)
Свойство нуля при сложении Если к числу прибавить нуль, получится само число. a + 0 = 0 + a = a
Свойства вычитания
Вычитание— это арифметическое действие, в котором отнимают меньшее число от большего.
Для записи вычитания используется знак «-» (минус), который ставится между уменьшаемым и вычитаемым.
Уменьшаемое — это число, из которого вычитают.
Вычитаемое — это число, которое вычитают.
Разность — это число, которое получается в результате вычитания.
Рассмотрим пример 9 — 4 = 5, в котором:
9 — это уменьшаемое,
4 — вычитаемое,
5 — разность.
При этом саму запись (9 — 4) тоже можно назвать разностью.
Свойство нуля при вычитании Если из числа вычесть нуль, получится само число. a — 0 = a Если из числа вычесть само число, то получится нуль. a — a = 0
Свойство вычитания суммы из числа Чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть из этого числа одно слагаемое, из полученной разности — второе слагаемое. a — (b + c) = a — b — c
Свойство вычитания числа из суммы Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого, а к результату прибавить оставшееся слагаемое. (a + b) — c = (a — c) + b (если a > c или а = с) (a + b) — c = (b — c) + a (если b > c или b = с)
Примеры использования свойств сложения и вычитания
Мы узнали основные свойства сложения и вычитания — осталось попрактиковаться. Чтобы ничего не забыть, используйте эту шпаргалку:
Пример 1
Вычислить сумму слагаемых с использованием разных свойств:
а) 4 + 3 + 8 = (4 + 3) + 8 = 7 + 8 = 15
б) 9 + 11 + 2 = (9 + 2) + 11 = 11 + 11 = 22
в) 30 + 0 + 13 = 30 + 13 = 43
Пример 2
Применить разные свойства при вычислении разности:
Вычитание — это арифметическое действие, в котором отнимают меньшее число от большего. Большее число называется уменьшаемым, меньшее — вычитаемым. Результат их вычитания — разностью.
Свойства вычитания
Вычитание нуля из числа не изменяет этого числа.
Если из числа вычесть само это число, то разность равна нулю.
Чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть из этого числа одно слагаемое, из полученной разности — второе слагаемое.
a — (b + c) = a — b — c
Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть это число из одного слагаемого и полученную разность прибавить к сумме остальных слагаемых.
(a + b) — c = (a — c) + b = a + (b — c)
Чтобы прибавить разность к числу, можно прибавить к нему уменьшаемое и из полученной суммы вычесть вычитаемое.
а + (b — c) = a + b — c
Алгоритм вычитания в столбик
Вычитать столбиком проще, чем считать в уме, особенно при действиях с большими числами. Этот способ наглядный — помогает держать во внимании каждый шаг.
Рассмотрим алгоритм вычитания в столбик на примере: 4312 — 901.
Шаг 1. При вычитании столбиком самое главное — правильно записать исходные данные, чтобы самая правая цифра первого числа была под правой цифрой второго числа.
Большее число (уменьшаемое) записываем сверху. Слева между числами ставим знак минус. Вот так:
Шаг 2. Вычитание столбиком начинаем с самой правой цифры. Вычитаем по цифре (знаку). Результат записываем под чертой.
Шаг 3. Далее вычитаем из второй цифры справа: из «1» ноль.
Шаг 4. Теперь нам нужно вычесть из «3» девять. Это сделать невозможно. Поэтому займем десятку у соседа слева от тройки. Это цифра «4». Поставим над четверкой точку. Занятый десяток прибавим к «3»: 10 + 3 = 13.
Из «13» вычтем девять: 13 − 9 = 4.
Так как мы заняли десяток у «4», значит четверка уменьшилось на единицу. Об этом нам напоминает точка над «4»: 4 − 1 = 3. Вот, как это выглядит:
Рассмотрим пример вычитания в столбик чисел с нулями: 1009 — 423.
Шаг 1. Запишем числа в столбик. Большее число ставим сверху.
Вычитаем справа налево по одной цифре.
Шаг 2. Так как из нуля нельзя вычесть «2», занимаем у соседней цифры слева (ноль). Поставим над «0» точку. У нуля занять нельзя, поэтому смотрим на следующую цифру. Занимаем у «1» и ставим над ней точку. Теперь вычитаем не из нуля двойку, а из «10». Вот так:
Шаг 3. Над нулем стоит точка, поэтому нуль превращается в «9». Вычитаем из «9» четыре: 9 − 4 = 5.
Над «1» стоит точка. Единица уменьшается на «1»: 1 − 1 = 0. Если в результате разности левее всех цифр стоит ноль, то его записывать не надо.
Так выглядит алгоритм вычитания в столбик. Во 2 классе школьники могут сделать себе подсказку в виде таблички. А позже алгоритм запомнится и будет срабатывать автоматически, как «дважды два четыре».
Источник
Как найти разность чисел в математике
Содержание:
Само слово «разность» мы часто употребляем в нашей повседневной речи, объясняя им различие чего либо. Например, говоря о различии разных мнений и взглядов можно сказать о «разности» в них. Часто этот термин употребляется в науках, им обозначают разные количественные показатели, скажем разность электрических потенциалов, атмосферного давления или количества сахара в крови человека. Но прежде всего «разность» – это математический термин и об этой его ипостаси мы поговорим в нашей статье.
Арифметические действия с числами
Все основные арифметические действия с числами делятся на четыре большие группы:
Результат каждого из этих действий в свою очередь имеет свое уникальное название:
сумма – результат от сложения чисел или говоря простым языком – сума, когда мы прибавляем,
разность – результат от вычитания чисел или – когда мы отнимаем,
произведение – результат от умножения чисел,
частное – результат от деления чисел.
Роль в математике
Исходя из выше написанного, несложно дать определение того, что такое разность чисел, причем это понятие можно обозначить сразу несколькими способами:
Разность между числами показывает нам, насколько одно число является больше другого.
Разностью также называют итог, который получился при отнимании друг от друга двух или больше чисел.
Разность двух чисел – вычитание одного числа от другого.
Разность – цифра, составляющая остаток при минусовании двух величин.
Она показывает количественное различие между цифрами.
Все эти определение разности являются правильными.
Как найти разность величин
Разность – это результат вычитания одного числа из другого. Первое из этих чисел, с которого делается вычитание, называют уменьшаемым, а второе число называется вычитаемым, его как раз вычитают из первого числа. Итак, чтобы найти значение разности чисел нужно просто от уменьшаемого отнять вычитаемое.
Тут все предельно просто, но при этом у нас появилось еще два дополнительных термина, которые также надо знать:
Уменьшаемое – математическое число, от которого отнимают, в результате оно уменьшается.
Вычитаемое – это то математическое число, которое вычитают от уменьшаемого.
Итого, для того, чтобы найти разность необходимо знать значение уменьшаемого и вычитаемого, они должны быть известны.
Порой необходимо решить задачу обратную, при известной разности найти уменьшаемое или вычитаемое число. Сделать это тоже просто:
Чтобы найти уменьшаемое, надо к вычитаемому прибавить разность.
Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
Примеры нахождения
Пример 1. Найти разницу двух величин. Дано: 20 — уменьшаемое, 15 — вычитаемое. Решение: 20 — 15 = 5 Ответ: 5 — разница величин.
Пример 2. Найти уменьшаемое. Дано: 48 — разность, 32 — вычитаемое значение. Решение: 32 + 48 = 80 Ответ: 80.
Пример 3. Найти вычитаемое значение. Дано: 7 — разность, 17 — уменьшаемая величина. Решение: 17 — 7 = 10 Ответ: 10.
И немного более сложных примеров, ведь в математике зачастую высчитывают разность с использованием не только двух, но и гораздо большего количества компонентов, в которых могут быть к тому же не только лишь целые числа, но и дробные, рациональные, иррациональные числа.
Пример 4. Найти разницу трех значений. Даны целые значения: 56, 12, 4. 56 — уменьшаемое значение, 12 и 4 — вычитаемые значения. Решение можно выполнить двумя способами. 1 способ (последовательное отнимание вычитаемых значений): 1) 56 — 12 = 44 (здесь 44 — получившаяся разница двух первых величин, которая во втором действии будет уменьшаемым); 2) 44 — 4 = 40. 2 способ (отнимание из уменьшаемого суммы двух вычитаемых, которые в таком случае называются слагаемыми); 1) 12 + 4 = 16 (где 16 — сумма двух слагаемых, которая в следующем действии будет вычитаемым); 2) 56 — 16 = 40. Ответ: 40 — разница трех значений.
Пример 5. Найти разницу величин 7 и 18. Дано: 7 — уменьшаемое значение, 18 — вычитаемое. Вроде все просто, но ведь вычитаемое у нас больше уменьшаемого, как быть в таком случае? В таком случае действует следующее правило: если вычитаемое больше уменьшаемого, то разность окажется отрицательной или другими словами, она будет числом со знаком минус. Решение: 7 — 18 = —11 Ответ: —11 — отрицательное число со знаком минус.
Источник
П. 7 Вычитание натуральных чисел и их свойства
Вычитание натуральных чисел
Мы можем не только собирать в группы различные предметы, то есть, складывать их, но и забирать из существующей группы определенное их количество.
Например, в кошельке было 1850 рублей. В магазине было потрачено 780 рублей. Чтобы узнать, сколько осталось денег, можно вытащить кошелек и пересчитать их. Но можно поступить по-другому: из той суммы, которая была в кошельке, отнять ту сумму, что была потрачена в магазине. Разница этих чисел , то есть, на сколько единиц изначальная сумма денег больше той суммы, которую потратили, и будет остатком денег.
Компоненты вычитания:
Про действие вычитание также говорят, что нужно из одного числа вычесть другое , или одно число уменьшить на другое .
Совершая вычитание натуральных чисел, вы должны помнить, что из одного натурального числа можно вычесть только равное ему или меньшее натуральное число. Действительно, мы никак не можем отобрать единиц предметов больше, чем их есть в наличии.
Поэтому, уменьшаемое натуральное число всегда больше или равное вычитаемому. Другими словами, мы всегда вычитаем из большего меньшее или из равного равное .
Связь вычитания и сложения
Действие вычитание непосредственно связано с действием сложение .
Действительно, когда мы ищем сумму, мы складываем все единицы, из которых состоят числа, вместе. То есть, получаем число, которое складывается из разных чисел.
А когда мы ищем разность, мы из одного числа (уменьшаемое) отнимаем некоторое количество единиц (вычитаемое), которые входят в его состав , и получаем другое количество единиц . То есть, получаем число ( разность ), которое также составляло уменьшаемое , пока от него не отняли вычитаемое . Поэтому разность и имеет второе название – остаток – то, что осталось от числа, после вычитания его части.
Из этого мы можем сделать вывод, что, если сложить обратно обе части одного числа (разность и вычитаемое), то мы получим уменьшаемое .
Уменьшаемое – это сумма вычитаемого и разности . То есть, разность и вычитаемое – это слагаемые .
Когда мы складываем числа, слагаемые нам известны , и нужно вычислить их сумму . А когда мы вычитаем , нам даются сумма (уменьшаемое) и одно из слагаемых (вычитаемое) этой суммы, а второе слагаемое (разность) нам нужно вычислить .
Рассмотрим это на примере. Мы нашли разность 8-5=3 . Это означает, что мы разложили одно данное нам число 8 на два: 5 (данное нам уменьшаемое ) и 3 (найденная нами разность ). Но мы знаем, что состав числа – это слагаемые , которые в сумме дают нам это самое число . Поэтому, найденную нами разность чисел мы можем превратить в сумму чисел , сложив остаток с вычитаемым: 3+5=8 .
Свойства разности натуральных
чисел
Свойства разности натуральных чисел состоят из:
Правила вычитания суммы из числа и числа из суммы;
Зависимость разности от изменения уменьшаемого или вычитаемого.
Правило вычитания разности из числа;
Рассмотрим каждый пункт подробнее.
Правила вычитания суммы из числа и числа из суммы
Как вычесть сумму из числа
Действительно, так как сумма – это объединение всех слагаемых , то очевидно, что, отнимая последовательно каждое слагаемое , каждое ее составляющее число, мы в конце концов отнимем всю сумму .
Рассмотрим это на примере из урока сложение чисел.
325 +( 12 + 64 + 5 ) = 325 +81 = 406
Я запишу это в виде разности:
406 -( 12 + 64 + 5 ) = 325
и покажу, что результат будет равен первому слагаемому:
406 — 12 = 394; 394- 64 = 330; 330- 5 = 325 .
Как видите, все верно.
Как вычесть число из суммы
Действительно, вы знаете, что, если уменьшить одно из слагаемых на какое-то число, то и сумма уменьшится на это же самое число. Следовательно, если нам нужно сумму чисел уменьшить на какое-то число, то для этого достаточно уменьшить на это число одно из слагаемых суммы.
Для рассмотрения я возьму тот же пример, только сумму расчленю на слагаемые, а слагаемое в скобках заменю суммой:
325 +81 = ( 191 + 65 + 150 )
Превращаю выражение в разность:
( 191 + 65 + 150 )-81 = 325
и покажу, что результат также будет равен первому слагаемому:
Я недаром написал в правиле, что нужно отнимать от подходящего слагаемого суммы , потому что, если оно будет меньше вычитаемого , то оно нам не подходит. Так, в нашем примере 65 .
Отсюда следует, что это правило применимо не к любой сумме натуральных чисел , а только к той, в которой хотя бы одно из слагаемых больше, чем вычитаемое .
Как меняется разность при изменении вычитаемого или уменьшаемого
Изменение разности при изменении вычитаемого и уменьшаемого является следствием описанных в уроке изменений суммы чисел с изменением ее слагаемых.
Правила вычитания разности
Это свойство выводится из предыдущих, рассмотренных нами.
Рассмотрим на примере 22 -( 17 — 3 ).
Для начала вычислим обычным способом: сперва узнаем разность в скобках (это будет 17-3=14 ), а потом вычтем 14 из 22 . Получится 22-14=8 .
22 -( 17 — 3 ) = 8
Теперь вернемся к исходному примеру и отнимем от 22 не разность 17-3 , то есть, не 17 без 3 единиц, а все число 17 .
22 — 17 = 5
Но мы ведь отняли больше, чем нужно было , поэтому нам нужно вернуть лишне взятые 3 единицы обратно, а именно, прибавить их к полученному результату.
5+ 3 = 8
Попробуем решить другим путем : увеличим и уменьшаемое (данное число), и вычитаемое (разность в скобках) на одно и то же число 3 . Получим:
22 +3-( 17 +3- 3 )
Так как 22+3=25 , а 3-3=0 , то в итоге получается:
25- 17 +0 = 8
Как видите, оба способа показали верный результат.
Компоненты вычитания:
