Все способы решения задач по теории вероятности

Как решать задачи на вероятность?

Если вас интересует вопрос заголовка, вы наверняка студент или школьник, столкнувшийся с новым для себя предметом. Задачи теории вероятностей сейчас решают и школьники пятых классов продвинутых школ, и старшеклассники перед ЕГЭ, и студенты буквально всех специальностей — от географов до математиков. Что же это за предмет такой, и как к нему подойти?

Вероятность. Что это?

Теория вероятностей, как следует из названия, имеет дело с вероятностями. Нас окружают множество вещей и явлений, о которых, как бы ни была развита наука, нельзя сделать точных прогнозов.

Мы не знаем, какую карту вытянем из колоды наугад или сколько дней в мае будет идти дождь, но, имея некоторую дополнительную информацию, можем строить прогнозы и вычислять вероятности этих случайных событий.

Таким образом, мы сталкиваемся с основным понятием случайного события — явления, поведение которого невозможно предсказать, опыта, результат которого заранее невозможно вычислить и т.п. Именно вероятности событий вычисляются в типовых задачах.

Вероятность — это некоторая, строго говоря, функция, принимающая значения от 0 до 1 и характеризующая данное случайное событие. 0 — событие практически невозможно, 1 — событие практически достоверно, 0,5 (или «50 на 50») — с равной вероятностью событие произойдет или нет.

Алгоритм решения задач на вероятность

Подробнее с основами теории вероятностей можно ознакомиться, например, в онлайн учебнике.

А теперь не будем ходить вокруг да около, и сформулируем схему, по которой следует решать стандартные учебные задачи на вычисление вероятности случайного события, а затем ниже на примерах проиллюстрируем ее применение.

• Внимательно прочитать задачу и понять, что именно происходит (что из какого ящика вытаскивается, что где лежало, сколько приборов работает и т.п.)
• Найти основной вопрос задачи вроде «вычислить вероятность того, что . » и вот это многоточие записать в виде события, вероятность которого надо найти.
• Событие записано. Теперь надо понять, к какой «схеме» теории вероятностей относится задача, чтобы правильно выбрать формулы для решения. Ответьте на тестовые вопросы типа:
  • происходит одно испытание (например, выбрасывание двух костей) или несколько (например, проверка 10 приборов);
  • если испытаний несколько, зависимы ли результаты одного от других (зависимость или независимость событий);
  • событие происходит в единственной ситуации или задача говорит о нескольких возможных гипотезах (например, шар вынимается из любого ящика из трех, или из конкретного).

  Чем больше опыт решения задач, тем легче будет определить, какие формулы подходят.

• Выбрана формула (или несколько) для решения. Записываем все данные задачи и подставляем в данную формулу.
• Вуаля, вероятность найдена.

Как решать задачи: классическая вероятность

Пример 1. В группе из 30 студентов на контрольной работе 6 студентов получили «5», 10 студентов – «4», 9 студентов – «3», остальные – «2». Найти вероятность того, что 3 студента, вызванные к доске, получили по контрольной работе «2».

Начинаем решение по пунктам, описанным выше.

• В задаче речь идет о выборе 3 студентов из группы, которые удовлетворяют определенным условиям.
• Вводим основное событие $X$ = (Все 3 студента, вызванные к доске, получили по контрольной работе «2»).
• Так как в задаче происходит только одно испытание и оно связано с отбором/выбором по определенному условию, речь идет о классическом определении вероятности. Запишем формулу: $P=m/n$, где $m$ – число исходов, благоприятствующих осуществлению события $X$, а $n$ – число всех равновозможных элементарных исходов.
• Теперь необходимо найти значения $m$ и $n$ для этой задачи. Сначала найдем число всех возможных исходов — число способов выбрать 3 студентов из 30. Так как порядок выбора не имеет значения, это число сочетаний из 30 по 3: $$n=C_<30>^3=\frac<30!><3!27!>=\frac<28\cdot 29 \cdot 30><1\cdot 2 \cdot 3>=4060.$$ Найдем число способов вызвать только студентов, получивших «2». Всего таких студентов было $30-6-10-9=5$ человек, поэтому $$m=C_<5>^3=\frac<5!><3!2!>=\frac<4 \cdot 5><1\cdot 2>=10.$$
• Получаем вероятность: $$P(X)=\frac=\frac<10><4060>=0,002.$$ Задача решена.

Некогда решать? Найди решенную задачу

Готовые решения задач по любым разделам теории вероятностей, более 10000 примеров! Найди свою задачу:

Как решать задачи: формула Бернулли

Пример 2. Какова вероятность того, что при 8 бросаниях монеты герб выпадет 5 раз?

Снова по схеме решения задач на вероятность рассматриваем данную задачу:

• В задаче идет речь о серии одинаковых испытаний — бросаний монеты.
• Вводим основное событие $X$ = (При 8 бросаниях монеты герб выпадет 5 раз).
• Так как в задаче происходит несколько испытаний, и вероятность появления события (герба) одинакова в каждом испытании, речь идет о схеме Бернулли. Запишем формулу Бернулли, которая описывает вероятность того, что из $n$ бросков монет герб выпадет ровно $k$ раз: $$ P_(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^.$$
• Записываем данные из условия задачи: $n=8, p=0,5$ (вероятность выпадения герба в каждом броске равна 0,5) и $k=5$
• Подставляем и получаем вероятность: $$ P(X)=P_<8>(5)=C_8^5 \cdot 0,5^5 \cdot (1-0,5)^<8-5>=\frac<8!><5!3!>\cdot 0,5^8=\frac<6\cdot 7 \cdot 8><1\cdot 2 \cdot 3>\cdot 0,5^8= 0,219.$$ Задача решена.

И это все? Конечно, нет.

Выше мы упомянули только малую часть тем и формул теории вероятностей, для более подробного изучения вы можете посмотреть учебник онлайн на данном сайте (или скачать классические учебники по ТВ), ознакомиться со статьями по решению вероятностных задач, бесплатными примерами, воспользоваться онлайн калькуляторами. Удачи!

Источник

Основные способы решения задач по теории вероятностей

Основные способы решения задач

по теории вероятностей

в ЕГЭ по математике

Подготовила Белая И.В.,

МАОУ «ОК «Лицей №3»

В демонстрационных вариантах ЕГЭ задания на проверку знаний элементов теории вероятностей могут встретиться под номером 10 для базового уровня и под номером 4 для профильного уровня.

Все задачи можно разделить по степени сложности на 3 группы: простые задачи, задачи средней трудности и сложные задачи. Если же рассматривать составляющие задач, то они могут подразделяться на:

Мы пытаемся научить детей решать задачи без строгой математической теории, даже определения даем на интуитивном уровне. Самое главное – это практика.

Случайное событие – это событие, которое может произойти или не произойти во время испытания.

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных для этого события исходов к общему равновозможных исходов.

Р(А) =

Таким образом, чтобы решить задачу нужно подсчитать число благоприятствующих и число всех возможных элементарных событий.

Вспомним — элементарные события (исходы испытания) попарно несовместны и равновозможны . Иногда это очевидно, а иногда стоит задуматься. «Попарно несовместны» означает, например, что один человек не может одновременно ехать в двух автобусах. Не являются «равновозможными», например, встречи на улице с динозавром и собакой.

Часто бывает, что условия двух задач отличаются только одним словом, а решения могут быть прямо противоположными. И наоборот, казалось бы разные вопросы, но фактически об одном и том же. Будьте внимательны!

Не забудьте, что благоприятствующих событий не может быть больше, чем вообще всех возможных, а, значит, числитель дроби никогда не превысит знаменатель. В ответе на вопрос о вероятности события должно быть число, удовлетворяющее условию 0 ≤ P ≤ 1 . Если вы получили другой ответ, он заведомо неверный.

На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

Если «остальные места неудобны», то удобны именно упомянутые 12 + 18 = 30 мест.
Пассажиру В. может достаться одно любое место из 300 мест в самолёте, значит всего возможных событий n = 300. Но «благоприятствующими» будут только те из них, когда пассажир В. попал на удобное место, таких событий, как и мест, m = 30.

В примере, который представлен выше, реализуется самое простое понятие элементарного события. Так как один человек способен занять только одно место, события независимы. А так как в условии специально оговорено, что при регистрации место выбиралось случайно, то равновозможны. Поэтому, фактически, мы считали не события, а места в самолёте.

В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.

Определим, сколько всего рейсов должен совершить вертолет 30 : 6 = 5 (рейсов).
Турист П. может полететь любым из них, но » благоприятствующим» будет только 1 из них — первый. Следовательно n = 5, m = 1.

В этом примере, уже следует задуматься о том, что представляет собой элементарное событие. Здесь это сформированный рейс вертолёта. Один человек может попасть только на один рейс, т.е. только в одну группу из 6-ти человек, — события независимы. По условию задачи порядок рейсов случаен, т.е. все рейсы для каждой группы равновозможны. Считаем рейсы.

Из множества натуральных чисел от 10 до 19 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 3?

Выпишем в ряд заданные числа и отметим те из них, которые делятся на 3.

Получается, что из 10 заданных чисел на 3 делятся 3 числа. Находим ответ по общей формуле

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Давайте распишем все возможные результаты. Причем результаты орел, решка и решка, орел считаются за 2 разных результата.

Всего 4 уникальных варианта, среди которых есть только 2 варианта, удовлетворяющих условию задачи. Искомая вероятность 2:4=0,5.

События А и называются противоположными друг другу, если любой исход благоприятен для одного из них. Например, при бросании кубика « выпало четное число» и «выпало нечетное число» противоположны. P(A)+ P( ) =1

Два события А и В называются несовместными , если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию А, так и событию В, т.е. не могут произойти одновременно.

Например, при бросании кубика « выпало число 3» и «выпало четное число» несовместны. А « выпало число больше 3» и « выпало четное число» совместны.

Или на монете не может одновременно выпасть орел и решка, значит, эти события несовместны.

Два события А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого события, т.е. происходят независимо друг от друга.

Например, выполним два подбрасывания монеты. Тогда события « при первом подбрасывании решка» и « при втором орел» являются независимыми.

Сумма и произведение событий.

Если произошло одно из событий А и В, то говорят об объединении этих событий. Вероятность суммы (объединения) двух несовместных событий А и В= сумме вероятностей А и В.

или P(A B)= P(A) + P(B)

Правило сложения вероятностей для совместных событий: вероятность суммы двух совместимых событий равна сумме их вероятностей за вычетом вероятности их произведения.

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B)

Если произошло как событие А, так и событие В, то говорят о пересечении этих событий. Если события А и В независимы, то вероятность их пересечения равна произведению вероятностей событий А и В. P ( A B )= P ( A ) P ( B )

Пример 1.

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Запишем, как могло случиться, что «Джон промахнулся».
«Ковбой схватил пристрелянный револьвер И не попал в муху», ИЛИ «Ковбой схватил непристрелянный револьвер И не попал в муху»
Сначала разберемся с пистолетами:
— Вероятность схватить пристрелянный пистолет равна 4/10 = 0,4. Мы вычислили её по определению вероятности: здесь один пистолет = одно элементарное событие, один пристрелянный пистолет = одно благоприятствующее событие.
— Вероятность схватить непристрелянный пистолет равна (10−4)/10 = 0,6. Вычислили аналогично, определив число непристрелянных пистолетов.
Затем разберемся с мухой:
— Если ковбой стрелял из пристрелянного револьвера, то он НЕ попал в муху с вероятностью 1−0,9=0,1.
— Если ковбой стрелял из непристрелянного револьвера, то он НЕ попал в муху с вероятностью 1−0,2=0,8.

Здесь мы воспользовались формулой для вероятности противоположного события, потому что в условии даны вероятности попадания в муху из разных пистолетов, но не промахов.
Теперь вернемся к нашей формулировке события «Ковбой схватил. » и вместо текста, описывающего составляющие события, подставим полученные числа — их вероятности, а вместо союзов «И» и «ИЛИ» знаки «·» и «+» соответственно. Получаем:
0,4·0,1 + 0,6·0,8 = 0,04 + 0,48 = 0,52 .

Пример 2.

В тор­го­вом цен­тре два оди­на­ко­вых ав­то­ма­та про­да­ют кофе. Об­слу­жи­ва­ние ав­то­ма­тов происхо­дит по ве­че­рам после за­кры­тия цен­тра. Из­вест­но, что ве­ро­ят­ность со­бы­тия «К ве­че­ру в пер­вом ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе» равна 0,25. Такая же ве­ро­ят­ность со­бы­тия «К ве­че­ру во втором ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе». Ве­ро­ят­ность того, что кофе к ве­че­ру за­кон­чит­ся в обоих авто­ма­тах, равна 0,15. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к ве­че­ру дня кофе оста­нет­ся в обоих автома­тах.

А = кофе за­кон­чит­ся в пер­вом ав­то­ма­те,

В = кофе за­кон­чит­ся во вто­ром ав­то­ма­те.

A·B = кофе за­кон­чит­ся в обоих ав­то­ма­тах,

A + B = кофе за­кон­чит­ся хотя бы в одном ав­то­ма­те.

По усло­вию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,15.

Со­бы­тия A и B сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность суммы двух сов­мест­ных со­бы­тий равна сумме вероятно­стей этих со­бы­тий, умень­шен­ной на ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,25 + 0,25 − 0,15 = 0,35.

Сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия, со­сто­я­ще­го в том, что кофе останется в обоих ав­то­ма­тах, равна 1 − 0,35 = 0,65.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что кофе оста­нет­ся в пер­вом ав­то­ма­те равна 1 − 0,25 = 0,75. Ве­ро­ят­ность того, что кофе оста­нет­ся во вто­ром ав­то­ма­те равна 1 − 0,25 = 0,75. Ве­ро­ят­ность того, что кофе оста­нет­ся в пер­вом или вто­ром ав­то­ма­те равна 1 − 0,15 = 0,85. По­сколь­ку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,85 = 0,75 + 0,75 − х , от­ку­да ис­ко­мая верятность х = 0,65.

За­ме­тим, что со­бы­тия А и В не яв­ля­ют­ся не­за­ви­си­мы­ми. Дей­стви­тель­но, ве­ро­ят­ность произве­де­ния не­за­ви­си­мых со­бы­тий была бы равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: P(A·B) = 0,25·0,25 = 0,0625, од­на­ко, по усло­вию, эта ве­ро­ят­ность равна 0,15.

Би­ат­ло­нист пять раз стре­ля­ет по ми­ше­ням. Ве­ро­ят­ность по­па­да­ния в ми­шень при одном выстре­ле равна 0,8. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что би­ат­ло­нист пер­вые три раза попал в ми­ше­ни, а по­след­ние два про­мах­нул­ся. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

По­сколь­ку би­ат­ло­нист по­па­да­ет в ми­ше­ни с ве­ро­ят­но­стью 0,8, он про­ма­хи­ва­ет­ся с вероятностью 1 − 0,8 = 0,2. Cобы­тия по­пасть или про­мах­нуть­ся при каж­дом вы­стре­ле независимы, ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния не­за­ви­си­мых со­бы­тий равна про­из­ве­де­нию их вероятно­стей. Тем самым, ве­ро­ят­ность со­бы­тия «попал, попал, попал, про­мах­нул­ся, промахнулся» равна 0,8

При ар­тил­ле­рий­ской стрель­бе ав­то­ма­ти­че­ская си­сте­ма де­ла­ет вы­стрел по цели. Если цель не уни­что­же­на, то си­сте­ма де­ла­ет по­втор­ный вы­стрел. Вы­стре­лы по­вто­ря­ют­ся до тех пор, пока цель не будет уни­что­же­на. Ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния не­ко­то­рой цели при пер­вом вы­стре­ле равна 0,4, а при каж­дом по­сле­ду­ю­щем — 0,6. Сколь­ко вы­стре­лов по­тре­бу­ет­ся для того, чтобы ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния цели была не менее 0,98?

В от­ве­те ука­жи­те наи­мень­шее не­об­хо­ди­мое ко­ли­че­ство вы­стре­лов.

Най­дем ве­ро­ят­ность про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия, со­сто­я­ще­го в том, что цель не будет уничтоже­на за n вы­стре­лов. Ве­ро­ят­ность про­мах­нуть­ся при пер­вом вы­стре­ле равна 0,6, а при каж­дом следу­ю­щем — 0,4. Эти со­бы­тия не­за­ви­си­мые, ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния равна произ­ве­дению ве­ро­ят­но­сти этих со­бы­тий. По­это­му ве­ро­ят­ность про­мах­нуть­ся при n вы­стре­лах равна: 0,6 .

По­сле­до­ва­тель­но про­ве­ряя зна­че­ния n , рав­ные 1, 2, 3 и т. д. на­хо­дим, что ис­ко­мым ре­ше­ни­ем яв­ля­ет­ся n =5 . Сле­до­ва­тель­но, не­об­хо­ди­мо сде­лать 5 вы­стре­лов.

Можно ре­шать за­да­чу «по дей­стви­ям», вы­чис­ляя ве­ро­ят­ность уце­леть после ряда последователь­ных про­ма­хов:

Р(4) = Р(3)·0,4 = 0,0384;

Р(5) = Р(4)·0,4 = 0,01536.

По­след­няя ве­ро­ят­ность мень­ше 0,02, по­это­му до­ста­точ­но пяти вы­стре­лов по ми­ше­ни.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность по­ра­зить ми­шень равна сумме ве­ро­ят­но­стей по­ра­зить ее при пер­вом, вто­ром, тре­тьем и т. д. вы­стре­лах. По­это­му за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию наи­мень­ше­го на­ту­раль­но­го ре­ше­ния не­ра­вен­ства 0,4+0,6 +

В ма­га­зи­не стоят два платёжных ав­то­ма­та. Каж­дый из них может быть не­ис­пра­вен с вероятностью 0,05 не­за­ви­си­мо от дру­го­го ав­то­ма­та. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что хотя бы один ав­то­мат ис­пра­вен.

Най­дем ве­ро­ят­ность того, что не­ис­прав­ны оба ав­то­ма­та. Эти со­бы­тия не­за­ви­си­мые, вероятность их про­из­ве­де­ния равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: 0,05 · 0,05 = 0,0025.

Со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ис­пра­вен хотя бы один ав­то­мат, про­ти­во­по­лож­ное. Следователь­но, его ве­ро­ят­ность равна 1 − 0,0025 = 0,9975.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что ис­пра­вен пер­вый ав­то­мат (со­бы­тие А) равна 0,95. Ве­ро­ят­ность того, что ис­пра­вен вто­рой ав­то­мат (со­бы­тие В) равна 0,95. Это сов­мест­ные не­за­ви­си­мые со­бы­тия. Ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий, а ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий, умень­шен­ной на ве­ро­ят­ность их произведения. Имеем :

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = P(A) + P(B) − P(A)P(B) = 0,95 + 0,95 − 0,95·0,95 = 0,9975.

Аг­ро­фир­ма за­ку­па­ет ку­ри­ные яйца в двух до­маш­них хо­зяй­ствах. 40% яиц из пер­во­го хозяйства — яйца выс­шей ка­те­го­рии, а из вто­ро­го хо­зяй­ства — 20% яиц выс­шей ка­те­го­рии. Всего выс­шую ка­те­го­рию по­лу­ча­ет 35% яиц. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что яйцо, куп­лен­ное у этой аг­ро­фир­мы, ока­жет­ся из пер­во­го хо­зяй­ства.

Пусть х — ис­ко­мая ве­ро­ят­ность того, что куп­ле­но яйцо, про­из­ве­ден­ное в пер­вом хо­зяй­стве. Тогда 1-х — ве­ро­ят­ность того, что куп­ле­но яйцо, про­из­ве­ден­ное во вто­ром хо­зяй­стве. По форму­ле пол­ной ве­ро­ят­но­сти имеем: 0,4х+0,2(1-х)=0,35, х=0,75.

Решение с помощью таблиц.

В этих задачах ответ также определяется по формуле P(A) = m/n , но подсчет числа n всех возможных событий и числа m благоприятствующих событий заметно труднее, чем в предыдущих случаях. Для этого используют различные методы перебора вариантов и вспомогательные рисунки, таблицы, графы («дерево возможностей»). Облегчить ситуацию могут правила сложения и умножения вариантов, а также готовые рецепты комбинаторики: формулы для числа перестановок, сочетаний, размещений.

Следующие задачи можно решать как перебором вариантов, так и с помощью формул комбинаторики . Рассмотрим несколько способов решения для каждой задачи, потому что одним способом её можно решить быстро, а другим долго, и потому что кому-то понятнее один подход, а кому-то другой. Но это не значит, что обязательно нужно разбирать все способы. Лучше хорошо усвоить один любимый.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Способ I.
Можно выписать и рассмотреть все возможные исходы 3-ёх бросаний монеты: <ооо, ооp, оро, орр, роо, рор, рро, ррр>, где о — сокращение от «орёл», р — сокращение от «решка». Из перечисления видно, что n = 8, m = 1. (Благоприятствующее только ррр).
По формуле P(А) = 1/8 = 0,125.

Способ II.
Можно заметить, что условия испытания удовлетворяют схеме Бернулли с p = 1/2 и q = 1/2 и воспользоваться формулой
P(0) = C 0 ₃ ·(1/2) 0 (1/2) (3-0) = 1·(1/2) 3 = 1/8 = 0,125.

В кар­ма­не у Пети было 2 мо­не­ты по 5 руб­лей и 4 мо­не­ты по 10 руб­лей. Петя, не глядя, перело­жил какие-то 3 мо­не­ты в дру­гой кар­ман. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что пя­ти­руб­ле­вые мо­не­ты лежат те­перь в раз­ных кар­ма­нах.

Чтобы пя­ти­руб­ле­вые мо­не­ты ока­за­лись в раз­ных кар­ма­нах, Петя дол­жен взять из кар­ма­на одну пя­ти­руб­ле­вую и две де­ся­ти­руб­ле­вые мо­не­ты. Это можно сде­лать тремя спо­со­ба­ми: 5, 10, 10; 10, 5, 10 или 10, 10, 5. Эти со­бы­тия не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме вероят­но­стей этих со­бы­тий:

Ве­ро­ят­ность того, что Петя взял пя­ти­руб­ле­вую мо­не­ту, затем де­ся­ти­руб­ле­вую, и затем еще одну де­ся­ти­руб­ле­вую (в ука­зан­ном по­ряд­ке) равна

По­сколь­ку Петя мог до­стать пя­ти­руб­ле­вую мо­не­ту не толь­ко пер­вой, но и вто­рой или третьей, ве­ро­ят­ность до­стать набор из одной пя­ти­руб­ле­вой и двух де­ся­ти­руб­ле­вых монет в 3 раза боль­ше. Тем самым, она равна 0,6.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Ко­ли­че­ство спо­со­бов взять 3 мо­не­ты из 6, чтобы пе­ре­ло­жить их в дру­гой кар­ман, равно Ко­ли­че­ство спо­со­бов вы­брать 1 пя­ти­руб­ле­вую мо­не­ту из 2 пя­ти­руб­ле­вых монет и взять вме­сте с ней еще 2 де­ся­ти­руб­ле­вых мо­не­ты из име­ю­щих­ся 4 де­ся­ти­руб­ле­вых монет по пра­ви­лу про­из­ве­де­ния равно По­это­му ис­ко­мая ве­ро­ят­ность того, что пя­ти­руб­ле­вые моне­ты лежат в раз­ных кар­ма­нах, равна

Задачи для самостоятельной работы (из открытого банка заданий ЕГЭ)

Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,6. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,45. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

В чемпионате по гимнастике участвуют 70 спортсменок: 25 из США, 17 из Мексики, остальные из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.

В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 теннисистов, среди которых 7 спортсменов из России, в том числе Анатолий Москвин. Найдите вероятность того, что в первом туре Анатолий Москвин будет играть с каким-либо теннисистом из России.

В сборнике билетов по истории всего 50 билетов, в 13 из них встречается вопрос про Александра Второго. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос про Александра Второго.

На олимпиаде по русскому языку 350 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 140 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Вероятность того, что на тестировании по физике учащийся А. верно решит больше 6 задач, равна 0,61. Вероятность того, что А. верно решит больше 5 задач, равна 0,66. Найдите вероятность того, что А. верно решит ровно 6 задач.

В классе 26 семиклассников, среди них два близнеца — Иван и Игорь. Класс случайным образом делят на две группы, по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Иван и Игорь окажутся в разных группах.

Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,8. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,02. Известно, что 76% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 25 этих стекол, вторая – 75%. Первая фабрика выпускает 4 % бракованных стекол, а вторая – 2 %. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 8 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 5 очков, в случае ничьей — 3 очка, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,2.

(использованы материалы Малковой А.Г.,

руководителя Образовательной компании ЕГЭ-Студия и сайта ege — study . ru )

Источник