Все способы решения рядов

Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, примеры, решения

Данная статья представляет собой структурированную и подробную информацию, которая может пригодиться во время разбора упражнений и задач. Мы рассмотрим тему числовых рядов.

Данная статья начинается с основных определений и понятий. Далее мы стандартные варианты и изучим основные формулы. Для того, чтобы закрепить материал, в статье приведены основные примеры и задачи.

Базовые тезисы

Для начала представим систему: a 1 , a 2 . . . , a n , . . . , где a k ∈ R , k = 1 , 2 . . . .

Для примера, возьмем такие числа, как: 6 , 3 , — 3 2 , 3 4 , 3 8 , — 3 16 , . . . .

Числовой ряд – это сумма членов ∑ a k k = 1 ∞ = a 1 + a 2 + . . . + a n + . . . .

Чтобы лучше понять определение, рассмотрим данный случай, в котором q = — 0 . 5 : 8 — 4 + 2 — 1 + 1 2 — 1 4 + . . . = ∑ k = 1 ∞ ( — 16 ) · — 1 2 k .

a k является общим или k –ым членом ряда.

Он выглядит примерно таким образом — 16 · — 1 2 k .

Частичная сумма ряда выглядит примерно таким образом S n = a 1 + a 2 + . . . + a n , в которой n –любое число. S n является n -ой суммой ряда.

Например, ∑ k = 1 ∞ ( — 16 ) · — 1 2 k есть S 4 = 8 — 4 + 2 — 1 = 5 .

S 1 , S 2 , . . . , S n , . . . образуют бесконечную последовательность числового ряда.

Для ряда n –ая сумму находится по формуле S n = a 1 · ( 1 — q n ) 1 — q = 8 · 1 — — 1 2 n 1 — — 1 2 = 16 3 · 1 — — 1 2 n . Используем следующую последовательность частичных сумм: 8 , 4 , 6 , 5 , . . . , 16 3 · 1 — — 1 2 n , . . . .

Ряд ∑ k = 1 ∞ a k является сходящимся тогда, когда последовательность обладает конечным пределом S = lim S n n → + ∞ . Если предела нет или последовательность бесконечна, то ряд ∑ k = 1 ∞ a k называется расходящимся.

Суммой сходящегося ряда ∑ k = 1 ∞ a k является предел последовательности ∑ k = 1 ∞ a k = lim S n n → + ∞ = S .

В данном примере lim S n n → + ∞ = lim 16 3 т → + ∞ · 1 — 1 2 n = 16 3 · lim n → + ∞ 1 — — 1 2 n = 16 3 , ряд ∑ k = 1 ∞ ( — 16 ) · — 1 2 k сходится. Сумма равна 16 3 : ∑ k = 1 ∞ ( — 16 ) · — 1 2 k = 16 3 .

В качестве примера расходящегося ряда можно привести сумму геометрической прогрессии со знаменателем большем, чем единица: 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2 n — 1 + . . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k — 1 .

n -ая частичная сумма определяется выражением S n = a 1 · ( 1 — q n ) 1 — q = 1 · ( 1 — 2 n ) 1 — 2 = 2 n — 1 , а предел частичных сумм бесконечен: lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ ( 2 n — 1 ) = + ∞ .

Еще одим примером расходящегося числового ряда является сумма вида ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + . . . . В этом случае n -ая частичная сумма может быть вычислена как S n = 5 n . Предел частичных сумм бесконечен lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞ .

Сумма подобного вида как ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n + . . . – это гармонический числовой ряд.

Сумма ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 n s + . . . , где s –действительное число, является обобщенно гармоническим числовым рядом.

Определения, рассмотренные выше, помогут вам для решения большинства примеров и задач.

Для того, чтобы дополнить определения, необходимо доказать определенные уравнения.

1. ∑ k = 1 ∞ 1 k – расходящийся.

Действуем методом от обратного. Если он сходится, то предел конечен. Можно записать уравнение как lim n → + ∞ S n = S и lim n → + ∞ S 2 n = S . После определенных действий мы получаем равенство l i m n → + ∞ ( S 2 n — S n ) = 0 .

S 2 n — S n = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n + 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n — — 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n

Справедливы следующие неравенства 1 n + 1 > 1 2 n , 1 n + 1 > 1 2 n , . . . , 1 2 n — 1 > 1 2 n . Получаем, что S 2 n — S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n + . . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2 . Выражение S 2 n — S n > 1 2 указывает на то, что lim n → + ∞ ( S 2 n — S n ) = 0 не достигается. Ряд расходящийся.

1. b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + . . . + b 1 q n + . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k — 1

Необходимо подтвердить, что сумма последовательности чисел сходится при q 1 , и расходится при q ≥ 1 .

Согласно приведенным выше определениям, сумма n членов определяется согласно формуле S n = b 1 · ( q n — 1 ) q — 1 .

lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · q n — 1 q — 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q — 1 — lim n → + ∞ 1 q — 1 = = b 1 · 0 — 1 q — 1 = b 1 q — 1

Мы доказали, что числовой ряд сходится.

При q = 1 b 1 + b 1 + b 1 + . . . ∑ k = 1 ∞ b 1 . Суммы можно отыскать с использованием формулы S n = b 1 · n , предел бесконечен lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞ . В представленном варианте ряд расходится.

Если q = — 1 , то ряд выглядит как b 1 — b 1 + b 1 — . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 ( — 1 ) k + 1 . Частичные суммы выглядят как S n = b 1 для нечетных n , и S n = 0 для четных n . Рассмотрев данный случай, мы удостоверимся, что предела нет и ряд является расходящимся.

При q > 1 справедливо lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · ( q n — 1 ) q — 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q — 1 — lim n → + ∞ 1 q — 1 = = b 1 · ∞ — 1 q — 1 = ∞

Мы доказали, что числовой ряд расходится.

1. Ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k s сходится, если s > 1 и расходится, если s ≤ 1 .

Для s = 1 получаем ∑ k = 1 ∞ 1 k , ряд расходится.

При s 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k , натурального числа. Так как ряд является расходящимся ∑ k = 1 ∞ 1 k , то предела нет. Следуя этому, последовательность ∑ k = 1 ∞ 1 k s неограниченна. Делаем вывод, что выбранный ряд расходится при s 1 .

Необходимо предоставить доказательства, что ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k s сходится при s > 1 .

Представим S 2 n — 1 — S n — 1 :

S 2 n — 1 — S n — 1 = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 ( n — 1 ) s + 1 n s + 1 ( n + 1 ) s + . . . + 1 ( 2 n — 1 ) s — — 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 ( n — 1 ) s = 1 n s + 1 ( n + 1 ) s + . . . + 1 ( 2 n — 1 ) s

Допустим, что 1 ( n + 1 ) s 1 n s , 1 ( n + 2 ) s 1 n s , . . . , 1 ( 2 n — 1 ) s 1 n s , тогда S 2 n — 1 — S n — 1 = 1 n s + 1 ( n + 1 ) s + . . . + 1 ( 2 n — 1 ) s 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s — 1

Представим уравнение для чисел, которые являются натуральными и четными n = 2 : S 2 n — 1 — S n — 1 = S 3 — S 1 = 1 2 s + 1 3 s 1 2 s — 1 n = 4 : S 2 n — 1 — S n — 1 = S 7 — S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s 1 4 s — 1 = 1 2 s — 1 2 n = 8 : S 2 n — 1 — S n — 1 = S 15 — S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s 1 8 s — 1 = 1 2 s — 1 3 . . .

∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + . . . + 1 7 s + 1 8 s + . . . + 1 15 s + . . . = = 1 + S 3 — S 1 + S 7 — S 3 + S 15 + S 7 + . . . 1 + 1 2 s — 1 + 1 2 s — 1 2 + 1 2 s — 1 3 + . . .

Выражение 1 + 1 2 s — 1 + 1 2 s — 1 2 + 1 2 s — 1 3 + . . . – это сумма геометрической прогрессии q = 1 2 s — 1 . Согласно исходным данным при s > 1 , то 0 q 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ 1 + 1 2 s — 1 + 1 2 s — 1 2 + 1 2 s — 1 3 + . . . = 1 1 — q = 1 1 — 1 2 s — 1 . Последовательность ряда при s > 1 увеличивается и ограничивается сверху 1 1 — 1 2 s — 1 . Представим, что есть предел и ряд является сходящимся ∑ k = 1 ∞ 1 k s .

Ряд ∑ k = 1 ∞ a k знакоположителен в том случае, если его члены > 0 a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

Ряд ∑ k = 1 ∞ b k знакочередующийся, если знаки чисел отличаются. Данный пример представлен как ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ ( — 1 ) k · a k или ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ ( — 1 ) k + 1 · a k , где a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

Ряд ∑ k = 1 ∞ b k знакопеременный, так как в нем множество чисел, отрицательных и положительных.

Второй вариант ряд – это частный случай третьего варианта.

Приведем примеры для каждого случая соответственно:

6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 — 3 + 3 2 — 3 4 + 3 8 — 3 16 + . . . 6 + 3 — 3 2 + 3 4 + 3 8 — 3 16 + . . .

Для третьего варианта также можно определить абсолютную и условную сходимость.

Знакочередующийся ряд ∑ k = 1 ∞ b k абсолютно сходится в том случае, когда ∑ k = 1 ∞ b k также считается сходящимся.

Подробно разберем несколько характерных вариантов

Если ряды 6 — 3 + 3 2 — 3 4 + 3 8 — 3 16 + . . . и 6 + 3 — 3 2 + 3 4 + 3 8 — 3 16 + . . . определяются как сходящиеся, то верно считать, что 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . .

Знакопеременный ряд ∑ k = 1 ∞ b k считается условно сходящимся в том случае, если ∑ k = 1 ∞ b k – расходящийся, а ряд ∑ k = 1 ∞ b k считается сходящимся.

Подробно разберем вариант ∑ k = 1 ∞ ( — 1 ) k + 1 k = 1 — 1 2 + 1 3 — 1 4 + . . . . Ряд ∑ k = 1 ∞ ( — 1 ) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k , который состоит из абсолютных величин, определяется как расходящийся. Этот вариант считается сходящимся, так как это легко определить. Из данного примера мы узнаем, что ряд ∑ k = 1 ∞ ( — 1 ) k + 1 k = 1 — 1 2 + 1 3 — 1 4 + . . . будет считаться условно сходящимся.

Особенности сходящихся рядов

Проанализируем свойства для определенных случаев

1. Если ∑ k = 1 ∞ a k будет сходится, то и ряд ∑ k = m + 1 ∞ a k также признается сходящимся. Можно отметить, что ряд без m членов также считается сходящимся. В случае, если мы добавляем к ∑ k = m + 1 ∞ a k несколько чисел, то получившийся результат также будет сходящимся.
2. Если ∑ k = 1 ∞ a k сходится и сумма = S , то сходится и ряд ∑ k = 1 ∞ A · a k , ∑ k = 1 ∞ A · a k = A · S , где A –постоянная.
3. Если ∑ k = 1 ∞ a k и ∑ k = 1 ∞ b k являются сходящимися , суммы A и B тоже, то и ряды ∑ k = 1 ∞ a k + b k и ∑ k = 1 ∞ a k — b k также сходятся . Суммы будут равняться A + B и A — B соответственно.

Пример 4

Определить, что ряд сходится ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 .

Изменим выражение ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 . Ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 считается сходящимся, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k s сходится при s > 1 . В соответствии со вторым свойством, ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .

Определить, сходится ли ряд ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 .

Преобразуем изначальный вариант ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 .

Получаем сумму ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 и ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . Каждый ряд признается сходящимся согласно свойству. Так, как ряды сходятся, то исходный вариант тоже.

Вычислить, сходится ли ряд 1 — 6 + 1 2 — 2 + 1 4 — 2 3 + 1 8 — 2 9 + . . . и вычислить сумму.

Разложим исходный вариант:

1 — 6 + 1 2 — 2 + 1 4 — 2 3 + 1 8 — 2 9 + . . . = = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + . . . — 2 · 3 + 1 + 1 3 + 1 9 + . . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k — 1 — 2 · ∑ k = 1 ∞ 1 3 k — 2

Каждый ряд сходится, так как является одним из членов числовой последовательности. Согласно третьему свойству, мы можем вычислить, что исходный вариант также является сходящимся. Вычисляем сумму: Первый член ряда ∑ k = 1 ∞ 1 2 k — 1 = 1 , а знаменатель = 0 . 5 , за этим следует, ∑ k = 1 ∞ 1 2 k — 1 = 1 1 — 0 . 5 = 2 . Первый член ∑ k = 1 ∞ 1 3 k — 2 = 3 , а знаменатель убывающей числовой последовательности = 1 3 . Получаем: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k — 2 = 3 1 — 1 3 = 9 2 .

Используем выражения, полученные выше, для того, чтобы определить сумму 1 — 6 + 1 2 — 2 + 1 4 — 2 3 + 1 8 — 2 9 + . . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k — 1 — 2 · ∑ k = 1 ∞ 1 3 k — 2 = 2 — 2 · 9 2 = — 7

Необходимое условие для определения, является ли ряд сходящимся

Если ряд ∑ k = 1 ∞ a k является сходящимся, то предел его k -ого члена = 0 : lim k → + ∞ a k = 0 .

Если мы проверим любой вариант, то нужно не забывать о непременном условии. Если оно не выполняется, то ряд расходится. Если lim k → + ∞ a k ≠ 0 , то ряд расходящийся.

Следует уточнить, что условие важно, но не достаточно. Если равенство lim k → + ∞ a k = 0 выполняется , то это не гарантирует, что ∑ k = 1 ∞ a k является сходящимся.

Приведем пример. Для гармонического ряда ∑ k = 1 ∞ 1 k условие выполняется lim k → + ∞ 1 k = 0 , но ряд все равно расходится.

Определить сходимость ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n .

Проверим исходное выражение на выполнение условия lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0

Предел n -ого члена не равен 0 . Мы доказали, что данный ряд расходится.

Как определить сходимость знакоположительного ряда.

Если постоянно пользоваться указанными признаками, придется постоянно вычислять пределы. Данный раздел поможет избежать сложностей во время решения примеров и задач. Для того, чтобы определить сходимость знакоположительного ряда, существует определенное условие.

Для сходимости знакоположительного ∑ k = 1 ∞ a k , a k > 0 ∀ k = 1 , 2 , 3 , . . . нужно определять ограниченную последовательность сумм.

Как сравнивать ряды

Существует несколько признаков сравнения рядов. Мы сравниваем ряд, сходимость которого предлагается определить, с тем рядом, сходимость которого известна.

Первый признак

∑ k = 1 ∞ a k и ∑ k = 1 ∞ b k — знакоположительные ряды. Неравенство a k ≤ b k справедливо для k = 1, 2, 3, . Из этого следует, что из ряда ∑ k = 1 ∞ b k мы можем получить ∑ k = 1 ∞ a k . Так как ∑ k = 1 ∞ a k расходится, то ряд ∑ k = 1 ∞ b k можно определить как расходящийся.

Данное правило постоянно используется для решения уравнений и является серьезным аргументом, которое поможет определить сходимость. Сложности могут состоять в том, что подобрать подходящий пример для сравнения можно найти далеко не в каждом случае. Довольно часто ряд выбирается по принципу, согласно которому показатель k -ого члена будет равняться результату вычитания показателей степеней числителя и знаменателя k -ого члена ряда. Допустим, что a k = k 2 + 3 4 k 2 + 5 , разность будет равна 2 – 3 = — 1 . В данном случае можно определить, что для сравнения необходим ряд с k -ым членом b k = k — 1 = 1 k , который является гармоническим.

Для того, чтобы закрепить полученный материал, детально рассмотрим пару типичных вариантов.

Определить, каким является ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k — 1 2 .

Так как предел = 0 lim k → + ∞ 1 k — 1 2 = 0 , мы выполнили необходимое условие. Неравенство будет справедливым 1 k 1 k — 1 2 для k , которые являются натуральными. Из предыдущих пунктов мы узнали, что гармонический ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k – расходящийся. Согласно первому признаку, можно доказать, что исходный вариант является расходящимся.

Определить, является ряд сходящимся или расходящимся ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k — 1 .

В данном примере выполняется необходимое условие, так как lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k — 1 = 0 . Представляем в виде неравенства 1 k 3 + 3 k — 1 1 k 3 для любого значения k . Ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 является сходящимся, так как гармонический ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k s сходится при s > 1 . Согласно первому признаку, мы можем сделать вывод, что числовой ряд является сходящимся.

Определить, является каким является ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln ( ln k ) . lim k → + ∞ 1 k ln ( ln k ) = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

В данном варианте можно отметить выполнение нужного условия. Определим ряд для сравнения. Например, ∑ k = 1 ∞ 1 k s . Чтобы определить, чему равна степень, расммотрим последовательность < ln ( ln k ) >, k = 3 , 4 , 5 . . . . Члены последовательности ln ( ln 3 ) , ln ( ln 4 ) , ln ( ln 5 ) , . . . увеличивается до бесконечности. Проанализировав уравнение, можно отметить, что, взяв в качестве значения N = 1619 , то члены последовательности > 2 . Для данной последовательности будет справедливо неравенство 1 k ln ( ln k ) 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln ( ln k ) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln ( ln k ) также сходящийся.

Второй признак

Допустим, что ∑ k = 1 ∞ a k и ∑ k = 1 ∞ b k — знакоположительные числовые ряды.

Если lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ , то ряд ∑ k = 1 ∞ b k сходится, и ∑ k = 1 ∞ a k сходится также.

Если lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 , то так как ряд ∑ k = 1 ∞ b k расходится, то ∑ k = 1 ∞ a k также расходится.

Если lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ и lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 , то сходимость или расходимость ряда означает сходимость или расходимость другого.

Рассмотрим ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k — 1 с помощью второго признака. Для сравнения ∑ k = 1 ∞ b k возьмем сходящийся ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 . Определим предел: lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k — 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k — 1 = 1

Согласно второму признаку можно определить, что сходящийся ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 означается, что первоначальный вариант также сходится.

Определить, каким является ряд ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 .

Проанализируем необходимое условие lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0 , которое в данном варианте выполняется. Согласно второму признаку, возьмем ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k . Ищем предел: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k → + ∞ k 3 + 3 k 4 k 3 + 5 = 1 4

Согласно приведенным выше тезисам, расходящийся ряд влечет собой расходимость исходного ряда.

Третий признак

Рассмотрим третий признак сравнения.

Допустим, что ∑ k = 1 ∞ a k и _ ∑ k = 1 ∞ b k — знакоположительные числовые ряды. Если условие выполняется для некого номера a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k , то сходимость данного ряда ∑ k = 1 ∞ b k означает, что ряд ∑ k = 1 ∞ a k также является сходящимся. Расходящийся ряд ∑ k = 1 ∞ a k влечет за собой расходимость ∑ k = 1 ∞ b k .

Признак Даламбера

Представим, что ∑ k = 1 ∞ a k — знакоположительный числовой ряд. Если lim k → + ∞ a k + 1 a k 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k > 1 , то расходящимся.

Признак Даламбера справедлив в том случае, если предел бесконечен.

Если lim k → + ∞ a k + 1 a k = — ∞ , то ряд является сходящимся, если lim k → ∞ a k + 1 a k = + ∞ , то расходящимся.

Если lim k → + ∞ a k + 1 a k = 1 , то признак Даламбера не поможет и потребуется провести еще несколько исследований.

Определить, является ряд сходящимся или расходящимся ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k по признаку Даламбера.

Необходимо проверить, выполняется ли необходимое условие сходимости. Вычислим предел, воспользовавшись правилом Лопиталя: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = » open=» ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 ‘ 2 k ‘ = lim k → + ∞ 2 2 k · ln 2 = 2 + ∞ · ln 2 = 0

Мы можем увидеть, что условие выполняется. Воспользуемся признаком Даламбера: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 ( k + 1 ) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 1 2 1

Ряд является сходящимся.

Определить, является ряд расходящимся ∑ k = 1 ∞ k k k ! .

Воспользуемся признаком Даламбера для того, чтобы определить рассходимость ряда: lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ ( k + 1 ) k + 1 ( k + 1 ) ! k k k ! = lim k → + ∞ ( k + 1 ) k + 1 · k ! k k · ( k + 1 ) ! = lim k → + ∞ ( k + 1 ) k + 1 k k · ( k + 1 ) = = lim k → + ∞ ( k + 1 ) k k k = lim k → + ∞ k + 1 k k = lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e > 1

Следовательно, ряд является расходящимся.

Радикальный признак Коши

Допустим, что ∑ k = 1 ∞ a k — это знакоположительный ряд. Если lim k → + ∞ a k k 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k > 1 , то расходящимся.

Данный признак будет считаться справедливым только в том случае, если предел бесконечен. Другими словами, если lim k → + ∞ a k k = — ∞ , то ряд сходится, если lim k → + ∞ a k k = + ∞ , то ряд расходится.

Если lim k → + ∞ a k k = 1 , то данный признак не дает никакой информации – требуется проведение дополнительного анализа.

Данный признак может быть использован в примерах, которые легко определить. Случай будет характерным тогда, когда член числового ряда – это показательно степенное выражение.

Для того, чтобы закрепить полученную информацию, рассмотрим несколько характерных примеров.

Определить, является ли знакоположительный ряд ∑ k = 1 ∞ 1 ( 2 k + 1 ) k на сходящимся.

Нужное условие считается выполненным, так как lim k → + ∞ 1 ( 2 k + 1 ) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

Согласно признаку, рассмотренному выше, получаем lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 ( 2 k + 1 ) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0 1 . Данный ряд является сходимым.

Сходится ли числовой ряд ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 .

Используем признак, описанный в предыдущем пункте lim k → + ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 k = 1 3 · lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

Интегральный признак Коши

Допустим, что ∑ k = 1 ∞ a k является знакоположительным рядом. Необходимо обозначить функцию непрерывного аргумента y = f ( x ) , которая совпадает a n = f ( n ) . Если y = f ( x ) больше нуля, не прерывается и убывает на [ a ; + ∞ ) , где a ≥ 1

, то в случае, если несобственный интеграл ∫ a + ∞ f ( x ) d x является сходящимся, то рассматриваемый ряд также сходится. Если же он расходится, то в рассматриваемом примере ряд тоже расходится.

При проверке убывания функции можно использовать материал, рассмотренный на предыдущих уроках.

Рассмотреть пример ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k на сходимость.

Условие сходимости ряда считается выполненным, так как lim k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0 . Рассмотрим y = 1 x · ln x . Она больше нуля, не прерывается и убывает на [ 2 ; + ∞ ) . Первые два пункта доподлинно известны, а вот на третьем следует остановиться подробнее. Находим производную: y ‘ = 1 x · ln x ‘ = x · ln x ‘ x · ln x 2 = ln x + x · 1 x x · ln x 2 = — ln x + 1 x · ln x 2 . Она меньше нуля на [ 2 ; + ∞ ) . Это доказывает тезис о том, что функция является убывающей.

Собственно, функция y = 1 x · ln x соответствует признакам принципа, который мы рассматривали выше. Воспользуемся им: ∫ 2 + ∞ d x x · ln x = lim A → + ∞ ∫ 2 A d ( ln x ) ln x = lim A → + ∞ ln ( ln x ) 2 A = = lim A → + ∞ ( ln ( ln A ) — ln ( ln 2 ) ) = ln ( ln ( + ∞ ) ) — ln ( ln 2 ) = + ∞

Согласно полученным результатам, исходный пример расходится, так как несобственный интеграл является расходящимся.

Докажите сходимость ряда ∑ k = 1 ∞ 1 ( 10 k — 9 ) ( ln ( 5 k + 8 ) ) 3 .

Так как lim k → + ∞ 1 ( 10 k — 9 ) ( ln ( 5 k + 8 ) ) 3 = 1 + ∞ = 0 , то условие считается выполненным.

Начиная с k = 4 , верное выражение 1 ( 10 k — 9 ) ( ln ( 5 k + 8 ) ) 3 1 ( 5 k + 8 ) ( ln ( 5 k + 8 ) ) 3 .

Если ряд ∑ k = 4 ∞ 1 ( 5 k + 8 ) ( ln ( 5 k + 8 ) ) 3 будет считаться сходящимся, то, согласно одному из принципов сравнения, ряд ∑ k = 4 ∞ 1 ( 10 k — 9 ) ( ln ( 5 k + 8 ) ) 3 также будет считаться сходящимся. Таким образом, мы сможет определить, что исходное выражение также является сходящимся.

Перейдем к доказательству ∑ k = 4 ∞ 1 ( 5 k + 8 ) ( ln ( 5 k + 8 ) ) 3 .

Так как функция y = 1 5 x + 8 ( ln ( 5 x + 8 ) ) 3 больше нуля, не прерывается и убывает на [ 4 ; + ∞ ) . Используем признак, описанный в предыдущем пункте:

∫ 4 + ∞ d x ( 5 x + 8 ) ( l n ( 5 x + 8 ) ) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A d x ( 5 x + 8 ) ( ln ( 5 x + 8 ) ) 3 = = 1 5 · lim A → + ∞ ∫ 4 A d ( ln ( 5 x + 8 ) ( ln ( 5 x + 8 ) ) 3 = — 1 10 · lim A → + ∞ 1 ( ln ( 5 x + 8 ) ) 2 | 4 A = = — 1 10 · lim A → + ∞ 1 ( ln ( 5 · A + 8 ) ) 2 — 1 ( ln ( 5 · 4 + 8 ) ) 2 = = — 1 10 · 1 + ∞ — 1 ( ln 28 ) 2 = 1 10 · ln 28 2

В полученном сходящемся ряде, ∫ 4 + ∞ d x ( 5 x + 8 ) ( ln ( 5 x + 8 ) ) 3 , можно определить, что ∑ k = 4 ∞ 1 ( 5 k + 8 ) ( ln ( 5 k + 8 ) ) 3 также сходится.

Признак Раабе

Допустим, что ∑ k = 1 ∞ a k — знакоположительный числовой ряд.

Если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 — 1 > 1 , то сходится.

Данный способ определения можно использовать в том случае, если описанные выше техники не дают видимых результатов.

Исследование на абсолютную сходимость

Для исследования берем ∑ k = 1 ∞ b k . Используем знакоположительный ∑ k = 1 ∞ b k . Мы можем использовать любой из подходящих признаков, которые мы описывали выше. Если ряд ∑ k = 1 ∞ b k сходится, то исходный ряд является абсолютно сходящимся.

Исследовать ряд ∑ k = 1 ∞ ( — 1 ) k 3 k 3 + 2 k — 1 на сходимость ∑ k = 1 ∞ ( — 1 ) k 3 k 3 + 2 k — 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k 3 + 2 k — 1 .

Условие выполняется lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k — 1 = 1 + ∞ = 0 . Используем ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 и воспользуемся вторым признаком: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k — 1 1 k 3 2 = 1 3 .

Ряд ∑ k = 1 ∞ ( — 1 ) k 3 k 3 + 2 k — 1 сходится. Исходный ряд также абсолютно сходящийся.

Расходимость знакопеременных рядов

Если ряд ∑ k = 1 ∞ b k – расходящийся, то соответствующий знакопеременный ряд ∑ k = 1 ∞ b k либо расходящийся, либо условно сходящийся.

Лишь признак Даламбера и радикальный признак Коши помогут сделать выводы о ∑ k = 1 ∞ b k по расходимости из модулей ∑ k = 1 ∞ b k . Ряд ∑ k = 1 ∞ b k также расходится, если не выполняется необходимое условие сходимости, то есть, если lim k → ∞ + b k ≠ 0 .

Проверить расходимость 1 7 , 2 7 2 , — 6 7 3 , 24 7 4 , 120 7 5 — 720 7 6 , . . . .

Модуль k -ого члена представлен как b k = k ! 7 k .

Исследуем ряд ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k на сходимость по признаку Даламбера: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ ( k + 1 ) ! 7 k + 1 k ! 7 k = 1 7 · lim k → + ∞ ( k + 1 ) = + ∞ .

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k расходится так же, как и исходный вариант.

Является ли ∑ k = 1 ∞ ( — 1 ) k · k 2 + 1 ln ( k + 1 ) сходящимся.

Рассмотрим на необходимое условие lim k → + ∞ b k = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln ( k + 1 ) = » open=» ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 ‘ ( ln ( k + 1 ) ) ‘ = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k ( k + 1 ) = + ∞ . Условие не выполнено, поэтому ∑ k = 1 ∞ ( — 1 ) k · k 2 + 1 ln ( k + 1 ) ряд расходящийся. Предел был вычислен по правилу Лопиталя.

Признаки для условной сходимости

Признак Лейбница

Если величины членов знакочередующегося ряда убывают b 1 > b 2 > b 3 > . . . > . . . и предел модуля = 0 при k → + ∞ , то ряд ∑ k = 1 ∞ b k сходится.

Рассмотреть ∑ k = 1 ∞ ( — 1 ) k 2 k + 1 5 k ( k + 1 ) на сходимость.

Ряд представлен как ∑ k = 1 ∞ ( — 1 ) k 2 k + 1 5 k ( k + 1 ) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k ( k + 1 ) . Нужное условие выполняется lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k ( k + 1 ) = 0 . Рассмотрим ∑ k = 1 ∞ 1 k по второму признаку сравнения lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k ( k + 1 ) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 ( k + 1 ) = 2 5

Получаем, что ∑ k = 1 ∞ ( — 1 ) k 2 k + 1 5 k ( k + 1 ) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k ( k + 1 ) расходится. Ряд ∑ k = 1 ∞ ( — 1 ) k 2 k + 1 5 k ( k + 1 ) сходится по признаку Лейбница: последовательность 2 · 1 + 1 5 · 1 · 1 1 + 1 = 3 10 , 2 · 2 + 1 5 · 2 · ( 2 + 1 ) = 5 30 , 2 · 3 + 1 5 · 3 · 3 + 1 , . . . убывает и lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k ( k + 1 ) = 0 .

Ряд условно сходится.

Признак Абеля-Дирихле

∑ k = 1 + ∞ u k · v k сходится в том случае, если < u k >не возрастает, а последовательность ∑ k = 1 + ∞ v k ограничена.

Исследуйте 1 — 3 2 + 2 3 + 1 4 — 3 5 + 1 3 + 1 7 — 3 8 + 2 9 + . . . на сходимость.

1 — 3 2 + 2 3 + 1 4 — 3 5 + 1 3 + 1 7 — 3 8 + 2 9 + . . . = 1 · 1 + 1 2 · ( — 3 ) + 1 3 · 2 + 1 4 · 1 + 1 5 · ( — 3 ) + 1 6 · = ∑ k = 1 ∞ u k · v k

где < u k >= 1 , 1 2 , 1 3 , . . . — невозрастающая, а последовательность < v k >= 1 , — 3 , 2 , 1 , — 3 , 2 , . . . ограничена < S k >= 1 , — 2 , 0 , 1 , — 2 , 0 , . . . . Ряд сходится.

Источник