Все способы решения квадратных рациональных уравнений

Рациональные уравнения (ЕГЭ 2022)

Рациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая, и правая части – рациональные выражения.

Ну… Это было сухое математическое определение, и слово-то какое: «рациональные». А по сути, рациональные выражения – это просто целые и дробные выражения без знака корня.

Что же получается?

А получается, что под пугающим «рациональным уравнением» скрывается всего лишь уравнение, в котором могут присутствовать сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень с целым показателем, но НЕ корень из переменной.

Рациональные уравнения — коротко о главном

Определение рационального уравнения:

Рациональное уравнение – это равенство двух рациональных (без знака корня) выражений.

Дробно-рациональное уравнение – рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.

Алгоритм решения рациональных уравнений:

• Понять, точно ли это рациональное уравнение (убедись, что в нем нет корней);
• Определить ОДЗ;
• Найти общий знаменатель дробей и умножить на него обе части уравнения;
• Решить получившееся целое уравнение;
• Исключить из его корней те, которые обращают в ноль знаменатель дробей.

Система для решения дробно рациональных уравнений:

Что такое рациональные уравнения?

Давай научимся отличать рациональные уравнения от иррациональных! Зачем? Рациональные уравнения решать проще.

А зачем работать больше, если можно работать меньше?

• \( \displaystyle 3\cdot (x+1)=x\) как думаешь, какое это? Тут сложение, умножение, нет корней, и степеней никаких – рациональное;
• \( \displaystyle 3\cdot (x+1)=\sqrt\) – вот тебе и корень из переменной, значит уравнение НЕ рациональное (иррациональное);
• \( \displaystyle 3\cdot (x+1)=\frac<1>\) а это – рациональное;
• \( \displaystyle 3\cdot (x+1)=<^<2>>\) тут вот степень, но она с целым показателем степени (\( \displaystyle 2\)– целое число) – значит это тоже рациональное уравнение;
• \( \displaystyle 3\cdot (x+1)=<^<-1>>\) даже уравнение с отрицательным показателем степени тоже является рациональным, ведь по сути \( \displaystyle <^<-1>>\), это \( \displaystyle \frac<1>\);
• \( \displaystyle 3\cdot (x+1)=<^<0>>\) – тоже рациональное, т.к. \( \displaystyle <^<0>>=1\);
• \( \displaystyle 3\cdot (x+1)=<^<\frac<1><2>>>\) – а с ним поосторожнее, степень-то дробная, а по свойству корней \( \displaystyle <^<\frac<1><2>>>=\sqrt\), как ты помнишь, корня в рациональных уравнениях не бывает.

Надеюсь, теперь ты сможешь различать, к какому виду относится уравнение. (И не поедешь из Москвы в Петербург через Магадан, решая рациональные уравнения как нерациональные).

Целые рациональные уравнения

Важно знать, что рациональные уравнения в свою очередь тоже разные бывают.

Если в дроби нет деления на переменную (то есть на \( \displaystyle x\), \( \displaystyle y\) и т.д.), тогда рациональное уравнение будет называться целым (или линейным) уравнением, вот примеры:

Умеешь такие решать? – конечно, умеешь, упрощаешь и находишь неизвестное, тема-то 5-ого или 6-ого класса.

Ну, рассмотрим первый из примеров на всякий случай и по порядочку. Все неизвестные переносим влево, все известные вправо:

Какой наименьший общий знаменатель будет?

Правильно \( \displaystyle 6\)!

Чтоб к нему привести домножаем и числитель и знаменатель первого слагаемое на \( \displaystyle 2\), а второго на \( \displaystyle 3\), этого делать не запрещено, если и числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же значение, то дробь от этого не изменится, т.к. ее можно будет сократить на то же число.

А \( \displaystyle 13\) не трогаем, оно нам не мешает, имеем:

А теперь делим обе части на \( \displaystyle 13\):

Поскольку уравнение целое, что мы уже определили, то и ограничений никаких нет, \( \displaystyle 6\), так \( \displaystyle 6\), ну можно для верности подставить этот ответ в исходное уравнение, получим \( \displaystyle 0=0\), значит все верно и ответ подходит (ты можешь пересчитать, а вообще должно сойтись).

Дробно-рациональные уравнения

А вот еще одно уравнение \( \displaystyle \frac<5>+\frac<4-6><(x+1)\cdot (x+3)>=3\).

Это уравнение целое? НЕТ. Тут есть деление на переменную \( \displaystyle x\), а это говорит о том, что уравнение не целое. Тогда какое же оно? Это дробно рациональное уравнение.

Дробно-рациональное уравнение – рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.

На первый взгляд особой разницы не видно, ну давай попробуем решать его как мы решали целое (линейное) уравнение.

Для начала найдем наименьший общий знаменатель, это будет \( \displaystyle (x+1)\cdot (x+3)\).

Важный момент!

В предыдущем примере, где было целое уравнение мы не стали свободный член \( \displaystyle 13\) приводить к знаменателю, т.к. умножали все на числа без переменных, но тут-то наименьший общий знаменатель \( \displaystyle (x+1)\cdot (x+3)\).

А это тебе не шутки, переменная в знаменателе!

Решая дробно-рациональное уравнение, обе его части умножаем на наименьший общий знаменатель!

Это надеюсь, ты запомнишь, но давай посмотрим что вышло:

Что-то оно огромное получилось, надо все посокращать:

\( \displaystyle 5(x+3)+(4-6)=3\cdot (x+1)\cdot (x+3)\).

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

Ну как, это уже попроще выглядит, чем в начале было?

Выносим за скобку общий множитель: \( \displaystyle 3x\cdot (x+1)=0\)

У этого уравнения два решения, его левая сторона принимает нулевое значение при \( \displaystyle x=0\) и \( \displaystyle x=-1\).

Вроде бы все, ну ладно давайте напоследок подставим корни \( \displaystyle x=0\) и \( \displaystyle x=-1\) в исходное уравнение, чтобы проверить, нет ли ошибок. Сначала подставим \( \displaystyle 0\), получается \( \displaystyle 3=3\) –нет претензий?

С ним все нормально. А теперь \( \displaystyle -1\), и тут же видим в знаменателе первого члена \( \displaystyle -1+1\)!

Но ведь это же будет ноль!

На ноль делить нельзя, это все знают, в чем же дело.

Дело в ОДЗ — Области Допустимых Значений!

Всякий раз когда ты видишь уравнение, где есть переменные (\( \displaystyle x,y\) и т.д.) в знаменателе, прежде всего, нужно найти ОДЗ, найти какие значения может принимать икс.

Хотя удобнее в ОДЗ написать, чему икс НЕ может быть равен, ведь таких значений не так много, как правило.

Просто запомни, что на ноль делить нельзя! И перед тем как решать наше уравнение нам следовало сделать так:

ОДЗ: \( \displaystyle x+1\ne 0\) и \( \displaystyle x+3\ne 0\) \( \displaystyle \Rightarrow x\ne -1\) и \( \displaystyle x\ne -3\).

Если бы мы сразу так написали, то заранее бы знали, что эти ответы стоит исключить и так, из полученных нами \( \displaystyle x=0\) и \( \displaystyle x=-1\) мы смело исключаем \( \displaystyle x=-1\), т.к. он противоречит ОДЗ.

Значит, какой ответ будет у решенного уравнения?

В ответ стоит написать только один корень, \( \displaystyle x=0\).

Стоит заметить, что ОДЗ не всегда сказывается на ответе, возможны случаи, когда корни, которые мы получили, не попадают под ограничения ОДЗ.

Но писать ОДЗ в дробно рациональных уравнениях стоит всегда – так просто спокойнее, что ты ничего не упустил и да,

ВСЕГДА по окончании решения сверяй свои корни и область допустимых значений!

Алгоритм решения рационального уравнения

• Понять, точно ли перед тобой рациональное уравнение (убедись, что в нем нет корней);
• Определить ОДЗ;
• Найти общий знаменатель дробей и умножить на него обе части уравнения;
• Решить получившееся целое уравнение;
• Исключить из его корней те, которые обращают в ноль знаменатель дробей.

Усвоил, говоришь? А ты докажи! 🙂 Вот тебе примеры на закрепление. Попробуй решить сам, а потом сверься с ответом.

Источник

Рациональные способы решения квадратных уравнений

ПРОБЛЕМНОЕ ОБУЧЕНИЕ. РАЗВИТИЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНЫХ СПОСОБНОСТЕЙ.

В ходе урока учащиеся знакомятся с нестандартными (не входящими в программу) способами решения квадратных уравнений. Путем проб учащиеся приходят к выводу, что эти способы являются во многих случаях рациональными, облегчающими выполнение заданий. Домашнее задание носит творческий характер (вывести самостоятельно еще одно свойство коэффициентов квадратного уравнения).

Учащиеся 8 класса – дети подросткового возраста, который характеризуется неустойчивостью внимания. Поэтому оправдана высокая плотность урока, у учеников не должно быть ни времени, ни желания, ни возможности отвлекаться на длительное время.

Урок алгебры в 8 классе.

Тема урока: «Рациональные способы решения квадратных уравнений».

Тип урока: изучение нового материала.

Формирование знаний о рациональных способах решения квадратных уравнений.

Развитие умений сравнивать, выявлять закономерности, обобщать.

Воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля.

Этап организации урока. Внешняя и внутренняя готовность учащихся к уроку. (2 мин.)

I Организационный этап урока:

б) визуальная проверка готовности учащихся к уроку;

в) информация о теме урока и его цели;

г) запись темы урока в тетрадь учащихся;

Целесообразность изучения данной темы.

Мотивация запоминания и длительного сохранения в памяти.

Установление связи изучаемого материала с тем, что был ранее изучен.

Актуализация знаний, подготовка к восприятию новых знаний.

Реализация воспитательной цели урока, использование социальных методов.

! Ответы записать на обратной стороне правого крыла доски.

II Подготовка к изучению нового материала.

а) Ребята, решение квадратных уравнений является одним из ключевых вопросов алгебры. Многие задачи в математике связаны с необходимостью решения квадратных уравнений. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, логарифмических и показательных уравнений и неравенств. Таким образом, в курсе алгебры очень много задач, в которых решение квадратного уравнения служит средством для получения правильного ответа. Поэтому так необходимо решать эти уравнения быстро.

Быстрота решения квадратных уравнений обусловлена и введением ЕГЭ.

Итак, сегодня, ребята, мы познакомимся со свойством коэффициентов квадратного уравнения и решением квадратных уравнений «методом переброски».

б) Математический диктант.

(На доске правое крыло)

Назовите коэффициенты а, в, с в данном уравнении.

Найдите произведение коэффициентов а и с.

Разложите полученное число на множители.

Выберите ту пару чисел, сумма которых равна – в.

Запишите сумму коэффициентов а, в, с и вычислите её.

Решите данное уравнение, используя метод, изученный ранее.

Ребята, поменявшись тетрадями с соседом по парте, выполните проверку по образцу:

Д = в 2 – 4ас = 9 + 4*2*5 = 49 > 0 , 2 корня

х₁=; х₂=.

Ответ: —; 1

Д = в 2 – 4ас = 25 — 4*2*3 = 1 > 0 , 2 корня

х₁=;

х₂=

Ответ: 1;

Этап организации восприятия и осмысления новой информации.

Решение развивающей цели урока.

Первичное осмысление и применение изученного.

! Уравнения записать на центральной доске.

Уравнение записать на левом крыле доски.

Демонстрация того, что одно и то же уравнение можно решить разными способами.

Записать обобщение метода на доске и в тетради.

Реализация обучающей цели урока.

III Ознакомление с новым материалом.

— какое количество времени было потрачено на решение квадратного уравнения?

— Какую закономерность, ребята, вы заметили при выполнении задания №5?

— Определите взаимосвязь между одним из корней уравнения и коэффициентами а и с.

— Что можно сказать о втором корне уравнения?

Итак, ребята, вместе мы выявили закономерную связь между коэффициентами уравнения и его корнями. Попробуйте сформулировать свойство коэффициентов квадратного уравнения.

На доске: (записи дополняются в ходе фронтального опроса).

I вариант: 2х 2 + 3х – 5 = 0

а + в + с = 2 + 3 + (-5) = 0

х₁=1; х₂= — .

II вариант: 2х 2 — 5х + 3 = 0

а + в + с = 2 + (-5) + 3 = 0

х₁=1; х₂= .

Если а + в + с = 0, то х₁=1, х₂= (запись свойства в тетради)

Ребята, эти же уравнения можно решить и другим способом, который носит название «метод переброски».

На доске: (левое крыло)

↓ t ₁ и t ₂ промежуточные корни, причём

x ₁ = ; x ₂ =

Примечание: коэффициент а умножается на коэффициент с, как бы «перебрасывается» к нему.

Этот способ применим, когда можно легко найти корни, используя теорему обратную теореме Виета.

б) Решить уравнение «методом переброски»
(желающие у доски по образцу)

2 х 2 — 11х + 15 =0

x ₁ = ; x ₂ =

Итак, ребята, сегодня мы познакомились с ещё двумя способами решения квадратных уравнений и теперь право за выбором решения остаётся за вами.

Преимущество данных методов перед другими заключается в том, что они позволяют быстро находить корни квадратного уравнения.

Обобщить ещё раз методы
(попросить учащихся ещё раз проговорить их)

Устно: Решите квадратное уравнение.

а) 132х 2 +247х+115=0
Так как 132+(-247)+115=0, то х₁=-1, х₂=-

б) -345х 2 +137х+208=0
Так как -345+137+208=0, то х₁=1, х₂=-

Первичное закрепление под руководством учителя.

Работа с «опорой» для запоминания материала.

Контроль результатов первичного запоминания, использование волевых методов.

IV Первичное осмысление и применение изученного.

а) Устно: По таблицам коррекции знаний решить первые пять уравнений.

б) В это время на доске № 11-15 (по желанию)

в) Задания № 6-10 выполнить в тетради и сделать самопроверку.

г) резервные задания № 15-20.

Использование познавательного метода — творческое задание.

Инструкции по выполнения домашнего задания.

V Постановка домашнего задания.

Ребята, существует ещё одно свойство коэффициентов квадратного уравнения, которое помогает быстро найти его корни. Это свойство вы самостоятельно выведите дома.

Найдите сумму а+(-в)+с.

Решите квадратные уравнения, используя формулы или теорему Виета.

Найдите закономерную связь между суммой коэффициентов и корнями уравнения.

Сформулируйте и запишите в тетрадь свойство 2.

Если а + (-в) + с = 0, то х₁=-1, х₂=-

Обобщение изучаемого на уроке и введение его в систему ранее усвоенных знаний.

Создание ситуации быть значимым, самоанализ работы на уроке.

а) Оценка знаний учащихся.

В ходе урока учащиеся, оценивая себя, ставили на полях «+» при верном выполнении задания и «±», если задание было выполнено с недочётом.

«5» — 8 и более верно выполненных заданий.

«4» — 6-7 верно выполненных заданий.

Оценки «3» и «2» на этом этапе ознакомления с материалом лучше не ставить.

б) В ходе фронтального опроса вместе с учащимися подвести итог урока, используя записи на правом и левом крыльях доски.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 798 человек из 78 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 284 человека из 70 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 602 человека из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

ПРОБЛЕМНОЕ ОБУЧЕНИЕ. РАЗВИТИЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНЫХ СПОСОБНОСТЕЙ.

В ходе урока учащиеся знакомятся с нестандартными (не входящими в программу) способами решения квадратных уравнений. Путем проб учащиеся приходят к выводу, что эти способы являются во многих случаях рациональными, облегчающими выполнение заданий. Домашнее задание носит творческий характер (вывести самостоятельно еще одно свойство коэффициентов квадратного уравнения).

Учащиеся 8 класса – дети подросткового возраста, который характеризуется неустойчивостью внимания. Поэтому оправдана высокая плотность урока, у учеников не должно быть ни времени, ни желания, ни возможности отвлекаться на длительное время.

Урок алгебры в 8 классе.

Тема урока: «Рациональные способы решения квадратных уравнений».

Тип урока: изучение нового материала.

Формирование знаний о рациональных способах решения квадратных уравнений.

Развитие умений сравнивать, выявлять закономерности, обобщать.

Воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля.

Этап организации урока. Внешняя и внутренняя готовность учащихся к уроку. (2 мин.)

I Организационный этап урока:

б) визуальная проверка готовности учащихся к уроку;

в) информация о теме урока и его цели;

г) запись темы урока в тетрадь учащихся;

Целесообразность изучения данной темы.

Мотивация запоминания и длительного сохранения в памяти.

Установление связи изучаемого материала с тем, что был ранее изучен.

Актуализация знаний, подготовка к восприятию новых знаний.

Реализация воспитательной цели урока, использование социальных методов.

! Ответы записать на обратной стороне правого крыла доски.

II Подготовка к изучению нового материала.

а) Ребята, решение квадратных уравнений является одним из ключевых вопросов алгебры. Многие задачи в математике связаны с необходимостью решения квадратных уравнений. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, логарифмических и показательных уравнений и неравенств. Таким образом, в курсе алгебры очень много задач, в которых решение квадратного уравнения служит средством для получения правильного ответа. Поэтому так необходимо решать эти уравнения быстро.

Быстрота решения квадратных уравнений обусловлена и введением ЕГЭ.

Итак, сегодня, ребята, мы познакомимся со свойством коэффициентов квадратного уравнения и решением квадратных уравнений «методом переброски».

б) Математический диктант.

(На доске правое крыло)

I вариант: 2х2+3х-5=0

II вариант: 2х2-5х+3=0

Назовите коэффициенты а, в, с в данном уравнении.

Найдите произведение коэффициентов а и с.

Разложите полученное число на множители.

Выберите ту пару чисел, сумма которых равна – в.

Запишите сумму коэффициентов а, в, с и вычислите её.

Решите данное уравнение, используя метод, изученный ранее.

Ребята, поменявшись тетрадями с соседом по парте, выполните проверку по образцу:

Д = в2 – 4ас = 9 + 4*2*5 = 49 > 0 , 2 корня

Д = в2 – 4ас = 25 — 4*2*3 = 1 > 0 , 2 корня

Этап организации восприятия и осмысления новой информации.

Решение развивающей цели урока.

Первичное осмысление и применение изученного.

! Уравнения записать на центральной доске.

Уравнение записать на левом крыле доски.

Демонстрация того, что одно и то же уравнение можно решить разными способами.

Записать обобщение метода на доске и в тетради.

Реализация обучающей цели урока.

III Ознакомление с новым материалом.

— какое количество времени было потрачено на решение квадратного уравнения?

— Какую закономерность, ребята, вы заметили при выполнении задания №5?

— Определите взаимосвязь между одним из корней уравнения и коэффициентами а и с.

— Что можно сказать о втором корне уравнения?

Итак, ребята, вместе мы выявили закономерную связь между коэффициентами уравнения и его корнями. Попробуйте сформулировать свойство коэффициентов квадратного уравнения.

На доске: (записи дополняются в ходе фронтального опроса).

I вариант: 2х2 + 3х – 5 = 0

а + в + с = 2 + 3 + (-5) = 0

II вариант: 2х2 — 5х + 3 = 0

а + в + с = 2 + (-5) + 3 = 0

Если а + в + с = 0, то х1=1, х2= (запись свойства в тетради)

Ребята, эти же уравнения можно решить и другим способом, который носит название «метод переброски».

На доске: (левое крыло)

↓ t 1 и t 2 промежуточныекорни, причём

-5 = t 2 t 1+ t 2=-3 и t 1* t 2=2*(-5) =-10

Примечание: коэффициент а умножается на коэффициент с, как бы «перебрасывается» к нему.

Этот способ применим, когда можно легко найти корни, используя теорему обратную теореме Виета.

б) Решить уравнение «методом переброски»
(желающие у доски по образцу)

2 х2 — 11х + 15 =0

Итак, ребята, сегодня мы познакомились с ещё двумя способами решения квадратных уравнений и теперь право за выбором решения остаётся за вами.

Преимущество данных методов перед другими заключается в том, что они позволяют быстро находить корни квадратного уравнения.

Обобщить ещё раз методы
(попросить учащихся ещё раз проговорить их)

Устно: Решите квадратное уравнение.

а) 132х2+247х+115=0
Так как 132+(-247)+115=0, то х1=-1, х2=-

б) -345х2+137х+208=0
Так как -345+137+208=0, то х1=1, х2=-

Первичное закрепление под руководством учителя.

Работа с «опорой» для запоминания материала.

Контроль результатов первичного запоминания, использование волевых методов.

IV Первичное осмысление и применение изученного.

а) Устно: По таблицам коррекции знаний решить первые пять уравнений.

б) В это время на доске № 11-15 (по желанию)

в) Задания № 6-10 выполнить в тетради и сделать самопроверку.

г) резервные задания № 15-20.

Использование познавательного метода — творческое задание.

Инструкции по выполнения домашнего задания.

V Постановка домашнего задания.

Ребята, существует ещё одно свойство коэффициентов квадратного уравнения, которое помогает быстро найти его корни. Это свойство вы самостоятельно выведите дома.

Найдите сумму а+(-в)+с.

Решите квадратные уравнения, используя формулы или теорему Виета.

Найдите закономерную связь между суммой коэффициентов и корнями уравнения.

Сформулируйте и запишите в тетрадь свойство 2.

Если а + (-в) + с = 0, то х1=-1, х2=-

Обобщение изучаемого на уроке и введение его в систему ранее усвоенных знаний.

Создание ситуации быть значимым, самоанализ работы на уроке.

а) Оценка знаний учащихся.

В ходе урока учащиеся, оценивая себя, ставили на полях «+» при верном выполнении задания и «±», если задание было выполнено с недочётом.

«5» — 8 и более верно выполненных заданий.

«4» — 6-7 верно выполненных заданий.

Оценки «3» и «2» на этом этапе ознакомления с материалом лучше не ставить.

б) В ходе фронтального опроса вместе с учащимися подвести итог урока, используя записи на правом и левом крыльях доски.

Номер материала: 512329

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

На новом «Уроке цифры» школьникам расскажут о разработке игр

Время чтения: 1 минута

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

Российские школьники установили рекорд на олимпиаде по астрономии

Время чтения: 2 минуты

Дополнительные занятия по изучению культуры чеченского народа появятся в школах Чечни

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

Время чтения: 2 минуты

В Осетии студенты проведут уроки вместо учителей старше 60 лет

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник