Основные неопределенности пределов и их раскрытие.
С непосредственным вычислением пределов основных элементарных функций разобрались.
При переходе к функциям более сложного вида мы обязательно столкнемся с появлением выражений, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями.
Перечислим все основные виды неопределенностей: ноль делить на ноль 
( 0 на 0 ), бесконечность делить на бесконечность 
, ноль умножить на бесконечность 
, бесконечность минус бесконечность 
, единица в степени бесконечность 
, ноль в степени ноль 
, бесконечность в степени ноль 
.
ВСЕ ДРУГИЕ ВЫРАЖЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ НЕ ЯВЛЯЮТСЯ И ПРИНИМАЮТ ВПОЛНЕ КОНКРЕТНОЕ КОНЕЧНОЕ ИЛИ БЕСКОНЕЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ.
Раскрывать неопределенности позволяет:
- упрощение вида функции (преобразование выражения с использованием формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножением на сопряженные выражения с последующим сокращением и т.п.);
- использование замечательных пределов;
- применение правила Лопиталя;
- использование замены бесконечно малого выражения ему эквивалентным (использование таблицы эквивалентных бесконечно малых).
Сгруппируем неопределенности в таблицу неопределенностей. Каждому виду неопределенности поставим в соответствие метод ее раскрытия (метод нахождения предела).
Эта таблица вместе с таблицей пределов основных элементарных функций будут Вашими главными инструментами при нахождении любых пределов.
Приведем парочку примеров, когда все сразу получается после подстановки значения и неопределенности не возникают.
Вычислить предел 
Подставляем значение:
И сразу получили ответ.
Вычислить предел 
Подставляем значение х=0 в основание нашей показательно степенной функции:
То есть, предел можно переписать в виде
Теперь займемся показателем. Это есть степенная функция 
. Обратимся к таблице пределов для степенных функций с отрицательным показателем. Оттуда имеем 
и 
, следовательно, можно записать 
.
Исходя из этого, наш предел запишется в виде:
Вновь обращаемся к таблице пределов, но уже для показательных функций с основанием большим единицы, откуда имеем:
Разберем на примерах с подробными решениями раскрытие неопределенностей преобразованием выражений.
Очень часто выражение под знаком предела нужно немного преобразовать, чтобы избавиться от неопределенностей.
Вычислить предел 
Подставляем значение:
Пришли к неопределенности. Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения. Пробуем упростить выражение.
После преобразования неопределенность раскрылась.
Вычислить предел 
Подставляем значение:
Пришли к неопределенности ( 0 на 0 ). Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения и пробуем упростить выражение. Домножим и числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю.
Для знаменателя сопряженным выражением будет 
Знаменатель мы домножали для того, чтобы можно было применить формулу сокращенного умножения – разность квадратов и затем сократить полученное выражение.
После ряда преобразований неопределенность исчезла.
ЗАМЕЧАНИЕ: для пределов подобного вида способ домножения на сопряженные выражения является типичным, так что смело пользуйтесь.
Вычислить предел 
Подставляем значение:
Пришли к неопределенности. Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения и пробуем упростить выражение. Так как и числитель и знаменатель обращаются в ноль при х=1 , то если разложить на множители эти выражения, можно будет сократить (х-1) и неопределенность исчезнет.
Разложим числитель на множители:
Разложим знаменатель на множители:
Наш предел примет вид:
После преобразования неопределенность раскрылась.
Рассмотрим пределы на бесконечности от степенных выражений. Если показатели степенного выражения положительны, то предел на бесконечности бесконечен. Причем основное значение имеет наибольшая степень, остальные можно отбрасывать.
Пример.
Пример.
Если выражение под знаком предела представляет собой дробь, причем и числитель и знаменатель есть степенные выражения ( m – степень числителя, а n – степень знаменателя), то при 
возникает неопределенность вида бесконечность на бесконечность , в этом случае неопределенность раскрывается делением и числитель и знаменатель на 
Вычислить предел 
Степень числителя равна семи, то есть m=7 . Степень знаменателя также равна семи n=7 . Разделим и числитель и знаменатель на 
.
Источник
Раскрытие неопределенностей — определение и вычисление с примерами решения
Раскрытие неопределенностей вида 
Пусть 
Если f(x) — рациональная дробь, то числитель и знаменатель дроби раскладывают на множители.
Пример №1
Вычислить предел 
Решение:
Числитель и знаменатель дроби 
при х=-2 обращаются в нуль. Имеем неопределенность вида 
Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, а затем применим теоремы о пределах частного, суммы и произведения:
Если f(x) — дробь, содержащая иррациональные выражения, то выделение множителей вида 
достигается переводом иррациональностей в числитель или знаменатель.
Пример №2
Вычислить предел 
Решение:
Имеем неопределенность вида 
Избавимся от иррациональности в числителе, умножив и разделив дробь на сопряженное к числителю выражение 
Получим:
В остальных случаях для раскрытия неопределенности вида 
используют первый замечательный предел или эквивалентные бесконечно малые функции.
Раскрытие неопределенностей вида 
Пусть 
Если f(x) — рациональная дробь или дробь, содержащая иррациональности, то числитель и знаменатель делят на х в старшей степени.
Пример №3
Вычислить предел 
если 1) а=2; 2) а=1; 3) а=4.
Решение:
Числитель и знаменатель дроби конечного предела не имеют. Имеем неопределенность вида 
Для ее раскрытия разделим числитель и знаменатель дроби на высшую степень х (в первом и втором случаях на 
во третьем — на 
), а затем воспользуемся теоремами о пределах функций:
Вывод. Предел рациональной дроби на бесконечности равен отношению коэффициентов при старших степенях, если эти степени совпадают, нулю — если показатель степени числителя меньше показателя степени знаменателя и бесконечности в противном случае.
Замечание. Для раскрытия неопределенностей вида 
используют также правило Лопиталя.
Раскрытие неопределенностей вида 
Неопределенное выражение вида 
преобразуется к неопределенности вида 
Методику раскрытия такой неопределенности покажем на примерах.
Пример №4
Вычислить предел 
Решение:
Имеем неопределенность вида 
которая преобразуется к неопределенности вида 
приведением функции к общему знаменателю:
Пример №5
Вычислить предел последовательности 
Решение:
Для раскрытия неопределенности вида 
умножим и разделим выражение в скобках на сопряженное:
Получили неопределенность вида 
Раскроем ее, разделив все члены полученного выражения на n:
Раскрытие неопределенностей вида 
Неопределенное выражение вида 
получается при нахождении пределов вида 
где 
и сводится к неопределенности вида 
следующим образом:
Замечание. При вычислении пределов показательно-степенных функций 
могут получиться неопределенности вида 
для раскрытия которых используют второй замечательный предел или правило Лопиталя.
| Рекомендую подробно изучить предметы: |
|
| Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |
- Дробно-рациональные уравнения
- Дробно-рациональные неравенства
- Прогрессии в математике — арифметическая, геометрическая
- Единичная окружность — в тригонометрии
- Рациональная дробь
- Функция в математике
- Наибольшее и наименьшее значения функции
- Вычисления в Mathematica с примерами
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Источник
