Как можно вычислить значение числа Пи
В данной работе описаны практические способы вычисления значения числа Пи.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| mou_chislo_pi_1.docx | 777.71 КБ |
Предварительный просмотр:
Муниципальное казённое образовательное учреждение
« Южно – Подольская средняя общеобразовательная школа »
научное общество учащихся « Поиск»
Выполнила: Филиппова Анастасия,
МКОУ « Южно-Подольская СОШ».
Учитель: Москавчук О.А.,
Вычисление значения числа П ………………………. 4-7
Из истории открытия …………………………… 4
Способы вычисления числа П……………………… 5-6
Число П в стихах ……………………………………. 7
Простейшее измерение …………………………… 8
Измерение с помощью взвешивания……………… . 8
С этим необычным числом мы сталкиваемся уже в младших классах школы, когда начинаем изучать круг и окружность. В цифровом выражении π начинается как 3,141592. и имеет бесконечную математическую продолжительность.
В повседневных вычислениях мы пользуемся упрощенным написанием числа, оставляя только два знака после запятой, — 3.14. Число π — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине ее диаметра.
В учебнике геометрии сказано, что число Пи является бесконечной непериодической десятичной дробью. Рациональное число является приближённым значением числа Пи с точностью до 0,002. Это приближённое значение было найдено ещё в 3 веке до нашей эры великим греческим учёным Архимедом. При решении задач обычно пользуются приближённым значением Пи с точностью до 0,01:П=3,14. *
Мне стало интересно, а какими способами можно измерить число Пи?
Цели: рассмотреть практические способы вычисления значения числа Пи.
Задачи: 1) изучить литературу и найти сведения из истории о открытии числа Пи;
2) рассмотреть практические способы вычисления числа Пи.
*Л.С. Атанасян Учебник геометрия7-9класс. М: Просвещение ,1991г.
2.Вычисление числа П .
2.1 Из истории открытия числа Пи.
Число пи выражает отношение длины окружности к диаметру и приблизительно равно 3,14. Впервые его обозначил греческой буквой π англичанин Уильям Джонс в труде «Обозрение достижений математики», напечатанном в 1706 году. Он руководствовался тем, что с нее начинается слово περιμετρέο — «измеряю вокруг». Широкое распространение это обозначение получило благодаря великому математику Леонарду Эйлеру (1707–1783), который часто им пользовался. Как и когда было открыто само число, неизвестно. То, что отношение длины окружности к ее диаметру — число постоянное, известно с незапамятных времен. Вавилоняне в III тысячелетии до н. э. уже знали, что пи равно или чуть больше трех. Оно использовалось при строительстве знаменитой Вавилонской башни. Однако, недостаточно точное исчисление значения «Пи» привело к краху всего проекта. Возможно, что эта математическая константа лежала в основе строительства легендарного Храма царя Соломона.
Вычислить значение этого числа с точностью до трех знаков удалось лишь в III веке до н. э. Архимеду. А в XVIII веке Иоганн Ламберт доказал, что пи нельзя выразить в виде отношения двух целых чисел, то есть в виде конечной или периодической десятичной дроби. Ко времени Ламберта пи уже было вычислено с точностью до ста с лишним знаков. А летом этого года была достигнута точность 5 триллионов знаков.
π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375
2.2 Способы вычисления числа П.
Простейшее измерение. Начертим на плотном картоне окружность радиуса R, вырежем получившийся круг и обмотать вокруг него тонкую нить. Измерив длину одного полного оборота нити, разделим полученное число на длину диаметра окружности. Получившееся частное будет приближённым значением числа П.
Измерение с помощью взвешивания. На листе картона начертим квадрат. Впишем в него круг. Вырежем квадрат. Определим массу картонного квадрата с помощью школьных весов. Вырежем из квадрата круг. Взвесим и его. Зная массы квадрата (m кв ) и вписанного в него круга (m кр ), воспользуемся формулами m = ρ*V, V =S*h, где ρ, h- соответственно плотность и толщина картона, S- площадь фигуры. Рассмотрим равенства: m кв = ρ* S кв * h = ρ* 4R 2 * h , m кр = ρ* S кр * h = ρ* П*R 2 * h. Отсюда m кр/ m кв = П/4, т.е. П= 4 m кр / m кв.
Суммирование площадей прямоугольников, вписанных в полукруг. Пусть А(а,0), В(b,0). Опишем на АВ полуокружность как на диаметре. Разделим отрезок АВ на п равных частей точками х 1 , х 2 , …х п-1 и восстановим из них перпендикуляры до пересечения с полуокружностью. Длин каждого перпендикуляра — это значение функции f(x) = . Из рисунка 1(Приложение1) видно, что площадь S полукруга можно вычислить по формуле: S= ((f(x 0 )+f(x 1 ) +…+f(x n-1 )). В нашем случае b= 1, a = -1. Тогда П
Метод Монте — Карло . Это фактически метод статистических испытаний. Своё экзотическое название он получил от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что метод требует применения случайных чисел, а одним из простейших приборов , генерирующих случайные числа , может служить рулетка. Впрочем , можно получить случайные числа и при помощи дождя. Для опыта можно взять кусок картона , нарисовать на нём квадрат и вписать в него четверть круга. Если такой чертёж подержать некоторое время подождем, то на его поверхности останутся следы капель. Подсчитаем число следов внутри квадрата и внутри четверти круга . их отношение будет приближённо равно отношению площадей этих фигур , так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно. Пусть N кр – число капель в круге, N кв –число капель в квадрате, тогда П
4* N кр / N кв . В этом способе можно использовать вместо дождя таблицу случайных чисел, которая составляется с помощью компьютера по специальной программе. ( Приложение 2)
2.3 Число Пи в стихах. Число Пи бесконечная непериодическая дробь, значение которой многие хотят знать наизусть. Поэтому сложено много стихотворений для лёгкого запоминания. Хочется привести несколько примеров.
Чтобы нам не ошибиться,
Нужно правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть
Нужно только постараться,
И запомнить все, как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Если очень постараться,
Можно сразу пи прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, два, шесть, пять, три, пять.
Чтоб наукой заниматься,
Это каждый должен знать.
Можно просто постараться
И почаще повторять:
«Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, двадцать шесть и пять.»
Для запоминания можно использовать запоминалки. Для восстановления числа нужно подсчитать число символов в каждом из слов и записать по порядку.
Что я знаю о кругах (5 знаков)
Это я знаю и помню прекрасно:
Пи многие знаки мне лишни, напрасны.
Доверимся знаньям громадным
Тех, пи кто сосчитал, цифр армаду. (21 знак!)
Я построила на картоне окружность радиуса 3,3см, затем аккуратно вырезала круг. Далее намотала на окружность тонкую нить , отрезала и её длина оказалась равна 22,2см. Вычислила П по формуле: П =С/2R= 2/2 =22,2/2*3,3=3,36
Полученное мною значение П оказалось больше 3,14 на 0,22. Данный довольно грубый способ даёт в обычных условиях приближённое значение П с точностью до единиц.
Измерение с помощью взвешивания. Из листа бумаги я вырезала квадрат со стороной 4см. Затем с помощью весов (лабораторных)и гирь определила его массу 500мг=0,5г. Далее я вписала в круг окружность и вырезала её . Определила массу круга 410мг = 0,41г. Полученные мной значения масс я подставила в формулу : П= 4 m кр / m кв. П= 4*0,41/0,5=1,64/0,5 = 3,28 .
Выводы. В ходе выполнения исследовательской работы я узнала о истории открытия числа П – вавилонскими магами, способах его вычисления. Мною было вычислено значение числа П двумя способами: простейшее измерение и с помощью взвешивания. Полученное опытным путём (измерение с помощью взвешивания ) значение числа П =3,28. Оно отличается от приближённого значения, используемого в повседневной жизни на 0,14. (Погрешность измерения составила 3,28-3,14= 0,14, что составляет 4%). Число П, полученное в результате простейшего измерения , составило 3,36, что составляет 7% от значения П, используемого при решении задач.
Источник
Вычисление числа Пи методом Монте-Карло
Существует много способов вычисления числа Пи. Самым простым и понятным является численный метод Монте-Карло, суть которого сводится к простейшему перебору точек на площади. Суть расчета заключается в том, что мы берем квадрат со стороной a = 2 R, вписываем в него круг радиусом R. И начинаем наугад ставить точки внутри квадрата. Геометрически, вероятность P1 того, чтот точка попадет в круг, равна отношению площадей круга и квадрата:
P1=Sкруг / Sквадрата = πR 2 / a 2 = πR 2 / (2 R ) 2 = πR 2 / (2 R) 2 = π / 4 (1)
Выглядит это так:
Вероятность попадания точки в круг можно также посчитать после численного эксперимента ещё проще: посчитать количество точек, попавших в круг, и поделить их на общее количество поставленных точек:
P2=Nпопавших в круг / Nточек; (2)
Так, при большом количестве точек в численном эксперименте вероятности должны вести себя cледующим образом:
lim(Nточек→∞)(P2-P1)=0; (3)
Следовательно:
π / 4 = Nпопавших в круг / Nточек; (4)
π =4 Nпопавших в круг / Nточек; (5)
НО! При моделировании мы применяем псевдослучайные числа, которые не являются случайным процессом.
Поэтому, выражение (5), к сожалению, строго не выполняется. Логичны вопросы, каковы оптимальные размеры квадрата и как много нужно применить точек?
Чтобы это выяснить, я написал такую программу:
Программа выводит значения числа Пи в зависимости от радиуса и количества точек. Единственное, что остается читателю, это скомпилировать её самостоятельно и запустить с параметрами, которые желает он.
Приведу лишь одну таблицу с полученными значениями:
| Радиус | Nточек | Pi |
| 102400 | 204800 | 3,145664 |
| 102400 | 409600 | 3,137188 |
| 102400 | 819200 | 3,139326 |
| 102400 | 1638400 | 3,144478 |
| 102400 | 3276800 | 3,139875 |
| 102400 | 6553600 | 3,142611 |
| 102400 | 13107200 | 3,140872 |
| 102400 | 26214400 | 3,141644 |
| 102400 | 52428800 | 3,141217 |
| 102400 | 1,05E+08 | 3,141324 |
| 102400 | 2,1E+08 | 3,141615 |
| 102400 | 4,19E+08 | 3,141665 |
| 102400 | 8,39E+08 | 3,141724 |
| 102400 | 1,68E+09 | 3,141682 |
Если что, значение числа Пи можно посмотреть с точностью до определенного знака здесь.
Источник картинки — википедия.
Источник
Вычисление N-го знака числа Пи без вычисления предыдущих
С недавних пор существует элегантная формула для вычисления числа Пи, которую в 1995 году впервые опубликовали Дэвид Бэйли, Питер Борвайн и Саймон Плафф:
Казалось бы: что в ней особенного — формул для вычисления Пи великое множество: от школьного метода Монте-Карло до труднопостижимого интеграла Пуассона и формулы Франсуа Виета из позднего Средневековья. Но именно на эту формулу стоит обратить особое внимание — она позволяет вычислить n-й знак числа пи без нахождения предыдущих. За информацией о том, как это работает, а также за готовым кодом на языке C, вычисляющим 1 000 000-й знак, прошу под хабракат.
Как же работает алгоритм вычисления N-го знака Пи?
К примеру, если нам нужен шестнадцатеричный знак числа Пи, мы домножаем всю формулу на 16^1000, тем самым обращая множитель, стоящий перед скобками, в 16^(1000-k). При возведении в степень мы используем двоичный алгоритм возведения в степень или, как будет показано в примере ниже, возведение в степень по модулю. После этого вычисляем сумму нескольких членов ряда. Причём необязательно вычислять много: по мере возрастания k 16^(N-k) быстро убывает, так что, последующие члены не будут оказывать влияния на значение искомых цифр). Вот и вся магия — гениальная и простая.
Формула Бэйли-Борвайна-Плаффа была найдена Саймоном Плаффом при помощи алгоритма PSLQ, который был в 2000 году включён в список Top 10 Algorithms of the Century. Сам же алгоритм PSLQ был в свою очередь разработан Бэйли. Вот такой мексиканский сериал про математиков.
Кстати, время работы алгоритма — O(N), использование памяти — O(log N), где N — порядковый номер искомого знака.
Думаю, уместно будет привести код на языке Си, написанный непосредственно автором алгоритма, Дэвидом Бэйли:
Какие возможности это даёт? Например: мы можем создать систему распределённых вычислений, рассчитывающую число Пи и поставить всем Хабром новый рекорд по точности вычисления (который сейчас, к слову, составляет 10 триллионов знаков после запятой). Согласно эмпирическим данным, дробная часть числа Пи представляет собой нормальную числовую последовательность (хотя доказать это достоверно ещё не удалось), а значит, последовательности цифр из него можно использовать в генерации паролей и просто случайных чисел, или в криптографических алгоритмах (например, в хэшировании). Способов применения можно найти великое множество — надо только включить фантазию.
Больше информации по теме вы можете найти в статье самого Дэвида Бэйли, где он подробно рассказывает про алгоритм и его имплементацию (pdf);
И, похоже, вы только что прочитали первую русскоязычную статью об этом алгоритме в рунете — других я найти не смог.
Источник
