Проект по математике на тему «Различные способы доказательства Теоремы Пифагора» (8 класс)
МБОУ — СОШ «Рязанские сады»
«Различные способы доказательства теоремы Пифагора»
Выполнила ученица 8 класса
МБОУ- СОШ «Рязанские сады»
Учитель I квалификационной категории: Ярославцева Л.Е.
Практическое применение…………………………………………. 17
Используемые источники и литература…………………………….20
Теорема Пифагора является одной из важнейших теорем курса геометрии 8 класса. Она возникла из потребности человека выполнять измерения на местности, применяется при доказательстве других теорем, решении многих задач. Теорема известна с древнейших времен. На уроке мы рассмотрели один из способов ее доказательства. От учителя я узнала, что существует более 300 способов доказательства. Я заинтересовалась и решила найти уже известные способы доказательства этой уникальной теоремы.
Расширить свои знания по истории математики.
Узнать больше информации, легенд, мифов о Пифагоре и о его теореме.
Познакомиться с различными способами доказательства теоремы Пифагора.
Найти ответ на вопрос: «В чем уникальность теоремы Пифагора?»
Овладеть навыками применения ИКТ.
Найти исторический материал из биографии Пифагора и о его теореме.
Выступить с докладом о Пифагоре перед одноклассниками на кружке «Математический калейдоскоп».
Найти и разобрать различные способы доказательства теоремы Пифагора.
Рассмотреть применение теоремы Пифагора при решении задач из различных разделов геометрии.
Создать презентацию своего проекта.
«Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них — это теорема Пифагора. »
Теорема Пифагора издавна широко применялась в разных областях науки, техники и практической жизни. О ней писали свои произведения великие писатели всего мира. О ней складывалось множество легенд и мифов. Вокруг теоремы ходит много споров: Кто же ее открыл?
Мне стала интересна история теоремы, способы доказательства. Я решила найти информацию о теореме и ее открытии.
В школьном курсе я нашла 3 способаее доказательства. А их известно более 300, как я узнала от учителя. Я решила найти и другие способы.
Объект исследования: теорема Пифагора.
Предмет исследования: способы доказательства теоремы Пифагора.
Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами интернета.
Наблюдение, сравнение, анализ.
Ожидаемые результаты: В ходе изучения данной работы, я реально смогу оценить свой интеллектуальный потенциал, обогатить свои знания историческими сведениями, увлечься математикой, применить полученные знания в дальнейшей учебе, создать проектный продукт по исследуемой теме в форме компьютерной презентации. Изучение данного вопроса позволит мне укрепить свои знания по данной теме.
Считаю свою работу перспективной, так как в дальнейшем этим материалом могут воспользоваться и ученики для повышения математической грамотности, и учителя на факультативных занятиях.
ИСТОРИЯ. 
Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Имя матери Парфениса. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив. Мнесарх, как всякий отец, мечтал, что сын будет продолжать его дело — ремесло золотых дел мастера. Жизнь рассудила иначе. Будущий великий математик и философ уже в детстве обнаружил большие способности к наукам. У своего первого учителя Гермодамаса Пифагор получает знания основ музыки и живописи. Для упражнения памяти Гермодамас заставлял его учить песни из «Одиссеи» и «Илиады». Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. Вскоре, неугомонному воображению юного Пифагора стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым — Фалесом. Затем отправляется в путешествие и попадает в плен к вавилонскому царю Киру. В 530 г. до н.э. Кир двинулся в поход против племен в Средней Азии. И, пользуясь переполохом в городе, Пифагор сбежал на родину.
А на Самосе в то время царствовал тиран Поликрат. После нескольких месяцев притязаний со стороны Поликрата, Пифагор переселяется в Кротон. В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена («пифагорейцы»), члены которого обязывались вести такназываемый пифагорейский образ жизни.
Измеряй свои желания,
взвешивай свои мысли,
исчисляй свои слова.
В древнекитайской книге Чу-пей говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:
«Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4″.
В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.
Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммурапи, то есть к 2000 году до н. э., приводится приближённое вычисление гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях.
Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э.
Древний Египет: 
Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство: 3² + 4² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I. По мнению Кантора гарпедонапты , или «натягиватели веревок» , строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.
Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12м и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м от одного конца и 4м от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра.
Существует легенда, что когда Пифагор Самосский доказал свою теорему, он отблагодарил богов, принеся в жертву 100 быков. Также о гипнотических способностях учёного ходили легенды: будто он одним своим взглядом мог менять направление полёта птиц. А ещё рассказывали, что этого удивительного человека одновременно видели в разных городах, между которыми было несколько дней пути. И что ему якобы принадлежало «колесо фортуны», вращая которое, он не только предсказывал будущее, но и вмешивался, если это было необходимо, в ход событий.
В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Формулировка, известная с древности (около 1400 г. до н.э.), в переводе читается так:
» площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу».
На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы, она занесена в книгу рекордов Гиннеса. Самые известные методы доказательства: методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства.
Существует несколько основных приемов доказательства теоремы Пифагора:
Доказательство методом площадей (школьный метод):
Достроим ΔАВС до квадрата со стороной а+ b 
∟ 1 + ∟2 = 90° (по свойству прямоугольного треугольника)
∟ 1 + ∟2 + ∟3 = 180° (развернутый угол)
Аналогично можно доказать, что все остальные углы ромба равны 90°. Таким образом, внутри — квадрат со стороной с .
1.2 Доказательство Басхари «Смотри!»:
Доказательство великого индийского математика Басхари сопровождало лишь одно слово: СМОТРИ! 
Внутри – квадрат со стороной b – a .
Доказательство через равнобедренные треугольники:
Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник.На его сторонах строят квадраты.
Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник. На его сторонах строят квадраты.
Квадраты, построенные на катетах исходного треугольника, содержит по 2 таких треугольника.
Квадрат, построенный на гипотенузе исходного треугольника, содержит четыре таких треугольника.
Получим, что квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах: с 2 = a 2 + b 2
2.2 Доказательство древних индусов:
На рисунке изображено два разных квадрата со сторонами а+ b . Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из прямоугольных треугольников и квадратов. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами a и b , то останутся равные площади, т. е. с 2 = а 2 + b 2
2.3 Доказательство методом вычитания:
Знакомый чертеж Пифагора заключим в прямоугольную рамку, направление сторон которой совпадает с направлением катетов прямоугольника. Продолжим некоторые из отрезков фигуры так, как указано на рисунке, при этом прямоугольник разделится на несколько треугольников, прямоугольников и квадратов. Выбросим сначала несколько частей так, чтобы остался лишь квадрат, построенный на гипотенузе. Эти части следующие части:
Треугольники 1, 2, 3, 4.
Прямоугольник 6 и квадрат 8.
Прямоугольник 7 и квадрат 9.
Затем выбросим из прямоугольника части так, чтобы остались только квадраты, построенные на катетах. Эти части будут:
Прямоугольники 6 и 7.
Из рисунков ясно, что:
Прямоугольник 5 равен самому себе.
Треугольники 1, 2, 3, 4 равны прямоугольникам 6 и 7.
Прямоугольник 6 и квадрат 8 (вместе) равновелики прямоугольнику 1.
Прямоугольник 7 и квадрат 9 (вместе) равновелики прямоугольнику 2 
2.4 Доказательство Леонардо да Винчи:
Рассмотрим чертеж, как видно из симметрии, отрезок CI рассекает квадрат ABHJ на две одинаковые части(т.к. Δ ABC = ΔIHJ по построению). Пользуясь поворотами вокруг точки А на 90° мы устраиваем равенство фигур CAJI и DABG . Площадь закрашенной фигуры равна сумме половин площадей маленьких квадратов(построенных на катетах) и площади исходного треугольника ABC . Так же она равна половине площади большого квадрата(построенного на гипотенузе) плюс площади исходного треугольника ABC . Таким образом,
половина суммы меньших квадратов равна половине площади большого квадрата, а следовательно сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадратов, построенных на гипотенузе, т.е.
2.5 Доказательство Эйнштейна: 
Точки Е, С, F лежат на одной прямой, это следует из нескольких несложных расчетов градусной меры угла ECF (он развернутый). Проведем CDEF . Продолжим вверх левую и правую стороны квадрата, построенного на гипотенузе, до пересечения с EF . Продолжим сторону ЕА до пересечения с CD . Соответственно равны треугольники одинаково пронумерованные.
а 2 + b 2 = с 2 
Доказательство Евклида: 
Рассмотрим ΔАВС: ˪С=90°
СН = h , АН = b с – проекция катета b на гипотенузу.
ВН = а с – проекция катета a на гипотенузу.
На сторонах ΔABC построим квадраты со сторонами а, b , с.
Проведем луч СН ⟘ АВ – гипотенузе.
Луч СН делит квадрат ABJK на два прямоугольника AHTK и BJTH .
Рассмотрим вспомогательные треугольники:
∟ CAK = 90° + ∟CAB = ∟DAB
ΔACK = ΔABD (по двум сторонам и углу между ними).
2.7 Доказательство методом Гофмана: 
Построим ΔАВС с ∟С=90 °
Получили равнобедренные прямоугольные треугольники, острые углы в них по 45̊. Тогда точки F , C , D принадлежат одной прямой, т.к. образуется развернутый угол DCF .
Четырехугольники ADFB и ACBE равновелики, т. к. Δ ABF = Δ BCE (по двум сторонам и углу между ними).
Отнимем от обоих равновеликих четырехугольников общий для них ΔАВС, получим: 
Соответственно: a 2 + b 2 = с 2
Доказательство, основанное на разрезании квадратов («колесо с лопастями» — Перигаль): 
Этот метод основан на разрезании квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе.
О – центр квадрата, построенного на большем катете (см. рис.)
Через т. О проводят прямую, параллельную гипотенузе и прямую, перпендикулярную гипотенузе.
Квадрат разрезают. Его части и второй квадрат укладывают на квадрат, построенный на гипотенузе.
3.1 Доказательство через подобие треугольников:
В ΔАВС ∟С = 90° 
Источник
