Все способы алгоритма евклида

Нахождение НОД по алгоритму Евклида и с помощью разложения на простые множители.

Эта статья про нахождение наибольшего общего делителя (НОД) двух и большего количества чисел. Сначала рассмотрим алгоритм Евклида, он позволяет находить НОД двух чисел. После этого остановимся на методе, позволяющем вычислять НОД чисел как произведение их общих простых множителей. Дальше разберемся с нахождением наибольшего общего делителя трех и большего количества чисел, а также приведем примеры вычисления НОД отрицательных чисел.

Навигация по странице.

Алгоритм Евклида для нахождения НОД

В статье наибольший общий делитель (НОД), определение, примеры, свойства НОД мы сформулировали и доказали алгоритм Евклида. Алгоритм Евклида является универсальным способом, позволяющим вычислять наибольший общий делитель двух положительных целых чисел.

Напомним суть алгоритма Евклида. Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел a и b ( a и b – целые положительные числа, причем a больше или равно b ) последовательно выполняется деление с остатком, которое дает ряд равенств вида

Деление заканчивается, когда r_k+1=0 , при этом r_k=НОД(a, b) .

Рассмотрим примеры нахождения НОД по алгоритму Евклида.

Найдите наибольший общий делитель чисел 64 и 48 .

Воспользуемся алгоритмом Евклида. В этом примере a=64 , b=48 .

Делим 64 на 48 , получаем 64:48=1 (ост. 16) (при необходимости смотрите правила и примеры деления с остатком), что можно записать в виде равенства 64=48·1+16 , то есть, q₁=1 , r₁=16 .

Теперь делим b на r₁ , то есть, 48 делим на 16 , получаем 48:16=3 , откуда имеем 48=16·3 . Здесь q₂=3 , а r₂=0 , так как 48 делится на 16 без остатка. Мы получили r₂=0 , поэтому это был последний шаг алгоритма Евклида, и r₁=16 является искомым наибольшим общим делителем чисел 64 и 48 .

Покажем решение еще одного примера, но теперь обойдемся без подробных пояснений шагов алгоритма Евклида.

Чему равен НОД чисел 111 и 432 ?

Из свойств наибольшего общего делителя мы знаем, что НОД(111, 432)=НОД(432, 111) . Воспользуемся алгоритмом Евклида для нахождения НОД(432, 111) .

Разделив 432 на 111 , получаем равенство 432=111·3+99 .

На следующем шаге делим 111 на 99 , имеем 111=99·1+12 .

Деление 99 на 12 дает равенство 99=12·8+3 .

А 12 на 3 делится без остатка и 12=3·4 . Поэтому это последний шаг алгоритма Евклида, и НОД(432, 111)=3 , следовательно, и искомый наибольший общий делитель чисел 111 и 432 равен 3 .

Для закрепления материала найдем с помощью алгоритма Евклида наибольший общий делитель чисел 661 и 113 .

Найдите НОД(661, 113) по алгоритму Евклида.

Выполняем деление: 661=113·5+96 ; 113=96·1+17 ; 96=17·5+11 ; 17=11·1+6 ; 11=6·1+5 ; 6=5·1+1 , наконец, 5=1·5 . Таким образом, НОД(661, 113)=1 , то есть, 661 и 113 – взаимно простые числа.

Заметим, что если бы мы с самого начала обратились к таблице простых чисел, то выяснили бы, что числа 661 и 113 – простые, откуда можно было бы сразу сказать, что их наибольший общий делитель равен 1 .

Нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители

Рассмотрим еще один способ нахождения НОД. Наибольший общий делитель может быть найден по разложениям чисел на простые множители. Сформулируем правило: НОД двух целых положительных чисел a и b равен произведению всех общих простых множителей, находящихся в разложениях чисел a и b на простые множители.

Приведем пример для пояснения правила нахождения НОД. Пусть нам известны разложения чисел 220 и 600 на простые множители, они имеют вид 220=2·2·5·11 и 600=2·2·2·3·5·5 . Общими простыми множителями, участвующими в разложении чисел 220 и 600 , являются 2 , 2 и 5 . Следовательно, НОД(220, 600)=2·2·5=20 .

Таким образом, если разложить числа a и b на простые множители и найти произведение всех их общих множителей, то этим будет найден наибольший общий делитель чисел a и b .

Рассмотрим пример нахождения НОД по озвученному правилу.

Найдите наибольший общий делитель чисел 72 и 96 .

Разложим на простые множители числа 72 и 96 :

То есть, 72=2·2·2·3·3 и 96=2·2·2·2·2·3 . Общими простыми множителями являются 2 , 2 , 2 и 3 . Таким образом, НОД(72, 96)=2·2·2·3=24 .

В заключение этого пункта заметим, что справедливость приведенного правила нахождения НОД следует из свойства наибольшего общего делителя, которое утверждает, что НОД(m·a₁, m·b₁)=m·НОД(a₁, b₁) , где m – любое целое положительное число.

Нахождение НОД трех и большего количества чисел

Нахождение наибольшего общего делителя трех и большего количества чисел может быть сведено к последовательному нахождению НОД двух чисел. Мы об этом упоминали, при изучении свойств НОД. Там мы сформулировали и доказали теорему: наибольший общий делитель нескольких чисел a₁, a₂, …, a_k равен числу d_k , которое находится при последовательном вычислении НОД(a₁, a₂)=d₂ , НОД(d₂, a₃)=d₃ , НОД(d₃, a₄)=d₄ , …, НОД(d_k-1, a_k)=d_k .

Давайте разберемся, как выглядит процесс нахождения НОД нескольких чисел, рассмотрев решение примера.

Найдите наибольший общий делитель четырех чисел 78 , 294 , 570 и 36 .

Сначала по алгоритму Евклида определим наибольший общий делитель d₂ двух первых чисел 78 и 294 . При делении получаем равенства 294=78·3+60 ; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 и 18=6·3 . Таким образом, d₂=НОД(78, 294)=6 .

Теперь вычислим d₃=НОД(d₂, a₃)=НОД(6, 570) . Опять применим алгоритм Евклида: 570=6·95 , следовательно, d₃=НОД(6, 570)=6 .

Осталось вычислить d₄=НОД(d₃, a₄)=НОД(6, 36) . Так как 36 делится на 6 , то d₄=НОД(6, 36)=6 .

Таким образом, наибольший общий делитель четырех данных чисел равен d₄=6 , то есть, НОД(78, 294, 570, 36)=6 .

НОД(78, 294, 570, 36)=6 .

Разложение чисел на простые множители также позволяет вычислять НОД трех и большего количества чисел. В этом случае наибольший общий делитель находится как произведение всех общих простых множителей данных чисел.

Вычислите НОД чисел из предыдущего примера, используя их разложения на простые множители.

Разложим числа 78 , 294 , 570 и 36 на простые множители, получаем 78=2·3·13 , 294=2·3·7·7 , 570=2·3·5·19 , 36=2·2·3·3 . Общими простыми множителями всех данных четырех чисел являются числа 2 и 3 . Следовательно, НОД(78, 294, 570, 36)=2·3=6 .

НОД(78, 294, 570, 36)=6 .

Нахождение НОД отрицательных чисел

Если одно, несколько или все числа, наибольший делитель которых нужно найти, являются отрицательными числами, то их НОД равен наибольшему общему делителю модулей этих чисел. Это связано с тем, что противоположные числа a и −a имеют одинаковые делители, о чем мы говорили при изучении свойств делимости.

Найдите НОД отрицательных целых чисел −231 и −140 .

Модуль числа −231 равен 231 , а модуль числа −140 равен 140 , и НОД(−231, −140)=НОД(231, 140) . Алгоритм Евклида дает нам следующие равенства: 231=140·1+91 ; 140=91·1+49 ; 91=49·1+42 ; 49=42·1+7 и 42=7·6 . Следовательно, НОД(231, 140)=7 . Тогда искомый наибольший общий делитель отрицательных чисел −231 и −140 равен 7 .

Определите НОД трех чисел −585 , 81 и −189 .

При нахождении наибольшего общего делителя отрицательные числа можно заменить их абсолютными величинами, то есть, НОД(−585, 81, −189)= НОД(585, 81, 189) . Разложения чисел 585 , 81 и 189 на простые множители имеют соответственно вид 585=3·3·5·13 , 81=3·3·3·3 и 189=3·3·3·7 . Общими простыми множителями этих трех чисел являются 3 и 3 . Тогда НОД(585, 81, 189)=3·3=9 , следовательно, НОД(−585, 81, −189)=9 .

Источник

Алгоритм Евклида — нахождение наибольшего общего делителя

Алгоритм Евклида – это алгоритм нахождения наибольшего общего делителя (НОД) пары целых чисел.

Наибольший общий делитель (НОД) – это число, которое делит без остатка два числа и делится само без остатка на любой другой делитель данных двух чисел. Проще говоря, это самое большое число, на которое можно без остатка разделить два числа, для которых ищется НОД.

Алгоритм нахождения НОД делением

1. Большее число делим на меньшее.
2. Если делится без остатка, то меньшее число и есть НОД (следует выйти из цикла).
3. Если есть остаток, то большее число заменяем на остаток от деления.
4. Переходим к пункту 1.

Пример:
Найти НОД для 30 и 18.
30 / 18 = 1 (остаток 12)
18 / 12 = 1 (остаток 6)
12 / 6 = 2 (остаток 0)
Конец: НОД – это делитель 6.
НОД (30, 18) = 6

В цикле в переменную a или b записывается остаток от деления. Цикл завершается, когда хотя бы одна из переменных равна нулю. Это значит, что другая содержит НОД. Однако какая именно, мы не знаем. Поэтому для НОД находим сумму этих переменных. Поскольку в одной из переменных ноль, он не оказывает влияние на результат.

Алгоритм нахождения НОД вычитанием

1. Из большего числа вычитаем меньшее.
2. Если получается 0, то значит, что числа равны друг другу и являются НОД (следует выйти из цикла).
3. Если результат вычитания не равен 0, то большее число заменяем на результат вычитания.
4. Переходим к пункту 1.

Пример:
Найти НОД для 30 и 18.
30 — 18 = 12
18 — 12 = 6
12 — 6 = 6
6 — 6 = 0
Конец: НОД – это уменьшаемое или вычитаемое.
НОД (30, 18) = 6

Функция вычисления НОД

Блок-схема алгоритма Евклида

Примечание. В модуле math языка программирования Python есть функция gcd(), вычисляющая наибольший общий делитель двух чисел.

Источник

Как найти НОД двух чисел по алгоритму Евклида

Что такое алгоритм Евклида

Алгоритм Евклида — один из наиболее ранних численных алгоритмов в истории. Название было дано в честь греческого математика Евклида, который впервые дал ему описание в книгах «Начала». Изначально назывался «взаимным вычитанием», так как его принцип заключался в последовательном вычитании из большего числа меньшего, пока в результате не получится ноль. Сегодня чаще используется взятие остатка от деления вместо вычитания, но суть метода сохранилась.

Алгоритм Евклида — это алгоритм, основная функция которого заключается в поиске наибольшего общего делителя (НОД) для двух целых чисел.

Простейшим случаем применения данного алгоритма является поиск наибольшего общего делителя для пары положительных целых чисел. Евклид, автор этого метода, предполагал его использование только для натуральных чисел и геометрических величин. Но позже алгоритм был обобщен и для других групп математических объектов, что привело к появлению такого понятия, как евклидово кольцо.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Понятие НОД

Аббревиатура НОД расшифровывается как «наибольший общий делитель».

Наибольший общий делитель — делитель, который делит без остатка два числа, при этом сам делится без остатка на любой другой делитель исходных двух чисел. То есть это самое большое число, на которое без остатка можно разделить пару чисел, для которых подбирается НОД.

Основная суть алгоритма Евклида

Суть алгоритма заключается в построении ряда следующего вида (при условии, что a больше b):

В нем каждое последующее число — это остаток от деления двух предыдущих, ряд заканчивается, когда остаток от деления становится равным 0 — при условии использования деления.

В нем каждое последующее число является результатом вычитания двух предыдущих, ряд заканчивается, когда частное становится равным 0 — при условии использования вычитания.

Последовательность нахождения НОД при помощи деления:

1. Большее число делится на меньшее.
2. Если результат деления:

• без остатка, то меньшее число и есть НОД;
• с остатком, тогда большее число заменяется на остаток.

1. Переход к пункту 1.

60 / 36 = 1 (остаток 24)

36 / 24 = 1 (остаток 12)

24 / 12 = 2 (остаток 0)

НОД для 60 и 36 равен 12 (делитель).

Последовательность нахождения НОД при помощи вычитания:

1. Из большего числа вычитается меньшее.
2. Если результат вычитания:

• равен 0, то числа равны друг другу и являются НОД;
• не равен 0, в таком случае большее число заменяется на результат вычитания.

1. Переход к пункту 1.

НОД для 60 и 36 равен 12 (уменьшаемое, вычитаемое)

Примеры решения задач с алгоритмом Евклида

Найти наибольший общий делитель для чисел 128 и 96.

128 / 96 = 1 (остаток 32)

Найти наибольший общий делитель для чисел 37 и 17.

37 / 17 = 2 (остаток 3)

17 / 3 = 5 (остаток 2)

3 / 2 = 1 (остаток 1)

2 / 1 = 2 (остаток 0)

Числа 37 и 17 являются простыми, соответственно, их НОД — единица. Совет: перед вычислениями проверяйте таблицу простых чисел.

Источник

В очередной раз о НОД, алгоритме Евклида и немного об истории алгоритмов вообще. Конечно, с примерами на Swift

Алгоритмы – одна из центральных тем в программировании, они повсюду (особенно на собеседованиях, ха-ха).

(Разве можно обойтись в таком посте без «баяна»?)

Одним из самых известных является так называемый алгоритм Евклида – пожалуй, самый распространенный способ нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух целых неотрицательных чисел. С него также зачастую любят начинать изучение (и обучение) соответствующих разделов математики и информатики.

А Дональд Кнут, небезызвестный автор трактата “Искусство программирования” (и не только), и вовсе считает алгоритм первым в истории (по крайней мере, относительно современных определений). Потому что, не смотря на то, что алгоритм был придуман и использовался еще до, собственно, Евклида, который жил в IV-III вв. до нашей эры (он упоминается уже у Аристотеля, жившего веком ранее), Евклид описывает процесс итеративно, что согласуется с современным значением слова.

Само слово “алгоритм” восходит к имени персидского математика Аль-Хорезми, жившего примерно в VIII-IX вв. уже нашей эры. А началом его использования в смысле, близком современному, считается уже лишь XX век, точнее – его первые десятилетия, восход информационных технологий.

Алгоритм Евклида

Любопытства ради предлагаю ознакомиться с евклидовским описанием алгоритма в редактуре Кнута. Оно довольно длинное, поэтому спрятано под катом:

Предложение. Для данных двух положительных целых чисел найти их наибольший общий делитель.

Пусть A и C – два заданных положительных целых числа; требуется найти их НОД. Если число A делится на C, то число C есть общий делитель чисел C и A, поскольку оно делит самое себя. И очевидно, что оно будет и наибольшим делителем, поскольку нет числа большего, чем число C, которое бы делило C.

Но если C не делит число A, то будем непрерывно вычитать меньшее из чисел A и C из большего до тех пор, пока не получим число, которое нацело делит предыдущее вычитаемое. Это должно рано или поздно произойти, потому что, если разность будет равна единице, то единица будет делить предыдущее вычитаемое.

Теперь положим, что E – положительный остаток от деления числа A на C; пусть F – положительный остаток от деления числа C на число E и пусть F делит E. Так как F делит E, а E делит C — F, F также делит C — F. Но оно делит и самое себя, поэтому F делит C, а C делит A — E; поэтому F делит также A — E, но оно делит и E; поэтому F делит A. Следовательно F является общим делителем чисел A и C.

Теперь я утверждаю, что оно является и НОД. Действительно, если F – не наибольший общий делитель чисел A и C, то найдется большее число, которое будет делить оба этих числа. Пусть таким числом будет G.

Так как число G делит число C, а число C – делит A — E, то G также делит число A — E. Число G делит также все число A, поэтому оно делит и остаток E. Но E делит C — F, поэтому G также делит C — F. А число G также делит все число C, так как оно делит и остаток F; таким образом, большее число делит меньшее, а это невозможно.

Таким образом, нет такого числа, большего, чем F, которое бы делило A и C; значит, число F является НОД.

Следствие. Это рассуждение делает очевидным предположение, что всякое число, делящее два числа, делит и их НОД. Ч.т.д.

Описание приводит два способа нахождения НОД – вычитанием и делением. Собственно, и в наши дни широко известны эти два способа реализации алгоритма.

Вот пример функции, написанной на «Swift», реализации первого способа:

Здесь, переиспользования ради, я вынес в отдельную функцию случаи поиска НОД, когда он известен сразу, без необходимости следования какому-либо алгоритму:

(Если два числа равны, то, естественно, их НОД также равен им. Если какое-то из чисел равно нулю, то НОД будет равняться второму числу, т.к. ноль делится любым числом (с результатом, понятное дело, тоже ноль).)

В качестве входных данных могут использоваться только неотрицательные значения. Соответственно, для отрицательных можно использовать те же методы, но взяв числа по модулю. (Да, общий делитель может быть и отрицательным, но мы ищем именно НОД, а положительные числа, очевидно, всегда больше отрицательных.)

А вот так может выглядеть реализация версии алгоритма делением:

Вторая версия в наши дни считается предпочтительней, так как содержит в себе, в среднем, ощутимо меньшее количество шагов. Тем не менее, во времена, когда компьютеры были большие и медленные, операция деления могла быть сама по себе сложной процедурой. И тогда первая версия алгоритма могла оказаться эффективней.

Чтобы немного их сравнить, я произвел несколько замеров с использованием любимого мной метода measure(_:) класса XCTestCase «нативного» фреймворка для тестирования кода в Xcode-проектах XCTest .

В качестве входных данных я использовал массив пар случайных чисел. Замеры производились, естественно, с использованием одного и того же массива для каждого способа. Разброс чисел для пар я взял от нуля до 9999. Замеры производились на количестве вычислений (пар чисел): одно, десять, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000 и 10000000. Последнее заставляло ожидать результата уже несколько минут, поэтому на нем я решил остановиться.

Вот простой код генерации входных данных:

Сам замер выглядит, например, так:

А вот так выглядят результаты запуска на моем компьютере:

(Subtraction – вычитание, division – деление.)

В общем, очень хорошо видно, как сильно на современных компьютерах проигрывает метод вычитания.

«Улучшенная» версия алгоритма Евклида

В литературе можно встретить версию алгоритма, в которой одно из чисел на каждом шаге вместо остатка от деления на второе заменяется на разность между этим отстатком и вторым числом, но только в случае, если остаток от деления больше половины второго числа. Реализация этой версии может выглядеть так:

Такая модификация сокращает количество шагов алгоритма, но, судя по результатам замеров на моем компьютере, дополнительные вычисления и проверки на каждом шаге, нейтрализуют это преимущество и даже более:

(Improved – «улучшенная» версия.)

Еще немного о значимости алгоритма Евклида

Алгоритм имеет также геометрическую версию (для нахождения наибольшей меры двух отрезков).

Алгоритм был, конечно, обощен и для нахождения НОД любого количества чисел, не только двух. В двух словах идея такова: если обозначить функцию поиска НОД двух чисел как gcd(a, b), то, скажем, НОД трех чисел gcd(a, b, c) равен gcd(gcd(a, b), c). И так далее, для любого количества чисел НОД находится последовательным вычислением НОД НОД-а предыдущей пары чисел и следующего числа. Хотя, конечно, это касается поиска НОД вообще, а не только алгоритма Евклида.

Существует также обощение алгоритма для нахождения НОД полиномов. Но это уже выходит за рамки этого несложного поста, а в некоторой степени, и моих познаний в математике.

Сложность алгоритма Евклида

Временная сложность алгоритма исследовалась давно, не быстро и гораздо более учеными мужами, чем ваш покорный слуга. Тем не менее, вопрос давно закрыт и ответ получен. Собственно, еще в середине позапрошлого века. Габриэлем Ламе.

Если коротко, то ответ формулируется, собственно, теоремой Ламе, связанной с этим алгоритмом. Количество шагов алгоритма будет равно порядковому номеру ближайшего большего числа Фибоначчи наименьшему из двух чисел входных параметров минус 2. Оперируя чуть более традиционно-математическими обозначениями, то если u > v (и v > 1), то число проходов алгоритма будет равняться n — 2 при v

Источник