Временной способ представления сигналов

Способы представления сигналов

Способы представления сигналов электросвязи представлены рисунком 8.

Рисунок 8 — Способы представления сигналов

Временная диаграмма представляет собой график зависимости какого либо параметра сигнала (например, напряжения или тока) от времени (рисунок 9). На временной диаграмме сигнала можно наблюдать форму сигнала. Временную диаграмму (осциллограмму) можно визуально наблюдать с помощью специального измерительного прибора — осциллографа.

Рисунок 9 — Временные диаграммы сигналов

Векторная диаграмма используется при изучении процессов связанных с изменением фазы сигнала (например, при фазовой модуляции). В данной диаграмме сигнал представляется вектором, длина которого пропорциональна амплитуде сигнала, а угол наклона относительно исходного вектора показывает фазу сигнала (рисунок 10).

Рисунок 10 — Векторная диаграмма сигнала

В геометрической диаграмме сигнал представляется в виде геометрического фигуры. Данная диаграмма может быть использована при визуальном представлении объема сигнала.
Спектральная диаграмма представляет собой график распределения энергии (спектр амплитуд) или фаз (спектр фаз) сигнала по частотам. Более подробно данный способ представления сигналов будет описан ниже. Данные диаграммы можно наблюдать с помощью специального измерительного прибора — анализатора спектра .
Математические модели сигналов
Математической моделью сигнала называется математическое выражение, по которому можно определить значения сигнала в любой момент времени.
Математические модели необходимы для изучения сигналов и моделировании электрических цепей.
Математическая модель может быть задана формулой (рисунок 11а) либо математическим условием (рисунок 11 б)

Рисунок 11 — Способы задания математических моделей

Приведенные выше сигналы являются простыми по форме. Сложные сигналы описать подобными выражениями нельзя. Математическую модель таких сигналов можно записать в виде ряда:

где ak — коэффициенты пропорциональности;
?k (t) — элементарные базисные функции.
т. е. сложный сигнал можно представить в виде суммы элементарных (простейших) базисных функций (сигналов) амплитуда которых будет зависеть от значений описываемого сигнала. Например, нужно описать сигнал u(t) представленный на рисунке 12. Возьмем в качестве базисных функций прямоугольные импульсы, сдвинутые один относительно другого на длительность импульса ? и имеющие единичную амплитуду. Затем амплитуды этих импульсов уменьшим до мгновенных значений описываемого сигнала в каждый конкретный момент времени. Значение амплитуды в этом случае будет являться коэффициентом пропорциональности (ak). Таким образом, сигнал будет представлен множеством импульсов с различными амплитудами и сигнал может быть представлен записанным выше рядом. Точность описания сигнала определяется количеством слагаемых ряда и формой базисных функций: чем больше нужна точность сигнала, тем больше слагаемых должен иметь ряд (необходимо уменьшать длительность импульсов). В качестве базисных функций могут быть

Рисунок 12 — Представление сложного сигнала базисными функциями

использованы любые функции, но при этом они должны быть обязательно простыми. Наиболее удобными в описании и техническом получении являются гармонические функции. При их использовании любой сигнал может быть описан рядом Фурье.

Источник

Временной и частотный способы представления сигналов. Спектр сигнала

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Сигнал-изменение напряжения или тока в соответствии с передаваемым сообщением.

Классификациясигналов

По физической природе носителя информации:

• электрические,
• электромагнитные,
• оптические,
• акустические

По способу задания сигнала:

• регулярные (детерминированные), заданные аналитической функцией;
• нерегулярные (случайные), принимающие произвольные значения в любой момент времени. Для описания таких сигналов используется аппарат теории вероятностей;

В зависимости от функции, описывающей параметры сигнала, выделяют аналоговые, дискретные, квантованные и цифровые сигналы.:

• непрерывные (аналоговые), описываемые непрерывной функцией;
• дискретные, описываемые функцией отсчетов, взятых в определенные моменты времени;
• Квантованные по уровню;
• Дискретные сигналы, квантованные по уровню (цифровые).

Временной и частотный способы представления сигналов. Спектр сигнала

Есть два способа представления сигнала в зависимости от области определения: временной и частотный. В первом случае сигнал представляется функцией времени s(t) характеризующей изменение его параметра.

Кроме привычного временного представления сигналов и функций при анализе и обработке данных широко используется описание сигналов функциями частоты. Действительно, любой сколь угодно сложный по своей форме сигнал можно представить в виде суммы более простых сигналов, и, в частности, в виде суммы простейших гармонических колебаний, совокупность которых называется частотным спектром сигнала.

Для перехода к частотному способу представления используется преобразование Фурье:
.
Функция S(ω) называется спектральной функцией или спектральной плотностью.
Поскольку спектральная функция S(ω) является комплексной, то можно говорить о спектре амплитуд | S(ω) | и спектре фаз φ(ω) = arg(S(ω)). Физический смысл спектральной функции: сигнал s(t) представляется в виде суммы бесконечного ряда гармонических составляющих (синусоид) с амплитудами , непрерывно заполняющими интервал частот от 0 до , и начальными фазами φ(ω).

Размерность спектральной функции есть размерность сигнала, умноженная на время.

Спектральная форма представления сигнала – это представление параметров сигнала в виде двух графиков:

• графика спектра амплитуд;
• графика спектра фаз.

Спектральная диаграмма амплитуд показывает распределение энергии сигнала между составляющими его спектра. Пример такой диаграммы показан на рис. 1 Структура спектра периодического сигнала полностью определяется значениями амплитуд и фаз гармоник. Высота линий спектра амплитуд пропорциональна амплитуде данной гармоники, поэтому их высоты различны. Основание спектральной линии на оси частот лежит в точке, соответствующей частоте гармоники. Длины линий спектра фаз пропорциональны значению фаз. Основание спектральной линии на оси частот лежит в точке, соответствующей частоте гармоники.

Источник

Основы радиолокации

Представление сигналов во временной и в частотной области

Рисунок 1. Трехмерное представление сигнала и его проекции, поясняющие сущность понятий «временная область» и «частотная область»

Рисунок 1. Трехмерное представление сигнала и его проекции, поясняющие сущность понятий «временная область» и «частотная область»

Представление сигналов во временной и в частотной области

Существуют два основных подхода к представлению и анализу процессов или сигналов: во временной области и в частотной области .

В первом случае (во временной области) процесс или сигнал представляется в виде зависимости его физических параметров от времени. Графическое изображение выполняется в декартовой системе координат, где ось абсцисс является осью времени, а вдоль оси ординат откладывается амплитуда или мощность сигнала. Таким образом, представление во временной области показывает как изменяется сигнал с течением времени. Представление сигналов во временной области имеет место в индикаторах осциллографов.

Представление сигнала в частотной области показывает зависимость его физических параметров от частоты. Графическое представление сигнала в частотной области выполняется также в декартовой системе координат, где вдоль оси абсцисс откладывается частота, а вдоль оси ординат — амплитуда или мощность сигнала, как и при анализе во временной области. Такое представление показывает какое количество сигнала приходится на ту или иную частоту (полосу частот), входящую в спектр сигнала. Представление сигнала в частотной области соответствует изображению на экране анализатора спектра.На Рисунке 1 показано представление сигнала, состоящего из нескольких гармонических колебаний разной амплитуды и частоты, в трехмерном пространстве «амплитуда (мощность) — время — частота». Как можно видеть из рисунка, представление сигнала во временной области является его проекцией на плоскость «амплитуда (мощность) — время», а в частотной области — проекцией на плоскость «амплитуда (мощность) — частота».

Частотное представление сигнала является более компактным, особенно когда сигнал является составным и представляет собой смесь из колебаний различных амплитуд и частот. Так, сигнал, показанный на рисунке (сумма трех гармоник с различными амплитудами и частотами), в частотной области будет изображен в виде трех пиков, расставленных на оси частот. С другой стороны временное представление сигнала является традиционным и интуитивно понятным. Использование представления сигнала во временной области приводит нас к индикатору типа А. Такое представление важно, в первую очередь, для функционирования импульсных радиолокаторов, в которых дальность до цели определяется по времени запаздывания принятого эхо-сигнала. После измерения времени запаздывания и расчета дальности цели сигнал зачастую переводят в частотную область. Это дает возможность выявить наличие и количество допплеровских частот с тем, чтобы использовать эту информацию для распознавания цели. В радиолокаторах непрерывного излучения с частотной модуляцией (FMCW) дальность и, возможно, скорость цели определяются по текущему значению частоты эхо-сигнала в момент его приема. Поэтому в таких радиолокационных устройствах используется представление сигнала в частотной области.

Переход из временной области представления сигнала в частотную и обратно выполняется при помощи преобразования Фурье.

Издатель: Кристиан Вольф, Автор: Андрій Музиченко
Текст доступен на условиях лицензий: GNU Free Documentation License
а также Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported License,
могут применяться дополнительные условия.
(Онлайн с ноября 1998 года)

Источник

Связь между временной и частотной областями представления сигналов

Электрические сигналы можно исследовать во временной области с помощью осциллографа и в частотной области с помощью анализатора спектра (рисунок 1).

Рисунок 1 – Сигналы, исследуемые во временной и частотной областях

Эти два режима отображения сигналов связаны друг с другом преобразованием Фурье (обозначается как F), поэтому каждый сигнал во временной области имеет характерный частотный спектр. Таким образом, связь представлениями во временной и частотной областях будет следующей:

• \(F\< x(t) \>\) – преобразование Фурье от \(x(t)\) ;
• \(F^<-1>\\) – обратное преобразование Фурье от \(X_f (f)\) ;
• \(x(t)\) – сигнал во временной области;
• \(X_f (f)\) – комплексный сигнал в частотной области.

Чтобы проиллюстрировать эту взаимосвязь, сначала исследуем сигналы только с периодическим откликом во временной области.

Периодические сигналы

Согласно теореме Фурье любой сигнал, являющийся периодическим во временной области, может быть получен из суммы синусоидальных и косинусоидальных сигналов разной частоты и амплитуды. Такая сумма называется рядом Фурье. В этом случае применима следующая формула:

\[x(t) = \frac <2>+ \sum_^ <\infty>A_n \cdot \sin(n \cdot \omega_0 \cdot t) + \sum_^ <\infty>B_n \cdot \cos(n \cdot \omega_0 \cdot t) \qquad (3)\]

Коэффициенты Фурье A₀, A_n и B_n зависят от формы сигнала x(t) и могут быть рассчитаны следующим образом:

\[A_0 = \frac<2> \int_<0>^ x(t) \ dt \qquad (4)\]

\[A_n = \frac<2> \int_<0>^ x(t) \cdot \sin(n \cdot \omega_0 \cdot t) \ dt \qquad (5)\]

\[B_n = \frac<2> \int_<0>^ x(t) \cdot \cos(n \cdot \omega_0 \cdot t) \ dt \qquad (6)\]

На рисунке 2b показан прямоугольный сигнал, аппроксимированный в ряд Фурье. Отдельные компоненты этого ряда Фурье показаны на рисунке 2a. Чем больше этих компонентов, тем итоговый сигнал ближе к идеальным прямоугольным импульсам.

Рисунок 2 – Аппроксимация прямоугольного сигнала путем суммирования различных синусоидальных колебаний

В случае синусоидальных или косинусоидальных сигналов для уравнения 1 можно найти решение в замкнутой форме, и для отображения комплексного спектра будут получены следующие соотношения:

где \(\delta (f-f_0)\) – функция Дирака:

\[\begin \delta (f-f_0) = \begin \infty &\text <если >f-f_0=0 \ \text <, т.е. >f=f_0 \\\ 0 \end \end \\ \int_<-\infty>^ <+\infty>\delta (f-f_0) \ df = 1\]

Можно видеть, что частотный спектр и синусоидального, и косинусоидального сигналов является функцией Дирака при f₀ (смотрите рисунок 4a). Преобразования Фурье синусоидального и косинусоидального сигналов идентичны по величине, так что эти два сигнала демонстрируют идентичный амплитудный спектр на одной и той же частоте f₀.

Чтобы вычислить частотный спектр периодического сигнала, временная характеристика которого описывается рядом Фурье в соответствии с уравнением 3, необходимо преобразовать каждый компонент ряда. Каждый из этих элементов приводит к функции Дирака, то есть дискретной составляющей в частотной области. Поэтому периодические сигналы всегда демонстрируют дискретные спектры, которые также называются линейчатыми спектрами. Например, спектр, показанный на рисунке 3, получен для аппроксимированного прямоугольного сигнала на рисунке 2.

Рисунок 3 – Амплитудный спектр аппроксимированного прямоугольного сигнала, показанного на рисунке 2

На рисунке 4 показаны еще несколько примеров периодических сигналов во временной и частотной областях.

Рисунок 4 – Периодические сигналы во временной и частотной области (амплитудные спектры)

Непериодические сигналы

Сигналы с непериодическим поведением во временной области не могут быть описаны рядом Фурье. Следовательно, частотный спектр таких сигналов не может быть составлен из дискретных спектральных составляющих. Непериодические сигналы демонстрируют непрерывный частотный спектр с частотно-зависимой спектральной плотностью. Представление такого сигнала в частотной области вычисляется с помощью преобразования Фурье (уравнение 1).

Подобно синусоидальным и косинусоидальным сигналам, решение уравнения 1 в замкнутой форме может быть найдено для многих сигналов. Таблицы с такими парами преобразований можно найти в [1].

Для сигналов со случайными характеристиками во временной области, таких как шум или случайные битовые последовательности, решение в замкнутой форме встречается редко. В этом случае частотный спектр легче определить численным решением уравнения 1.

На рисунке 5 показаны некоторые непериодические сигналы во временной и частотной областях.

Рисунок 5 – Непериодические сигналы во временной и частотной областях

В зависимости от типа выполняемого измерения, полезными могут быть исследования либо во временной, либо в частотной области. Например, для измерения джиттера сигнала цифровой передачи данных требуется осциллограф. Для определения содержания гармоник более полезно исследовать сигнал в частотной области.

Сигнал, показанный на рисунке 6, кажется чистой синусоидой с частотой 20 МГц. Исходя из приведенных выше соображений, можно было бы ожидать, что его частотный спектр будет состоять только из одного компонента на частоте 20 МГц.

Рисунок 6 – Синусоидальный сигнал (f = 20 МГц), исследуемый на осциллографе

Однако при исследовании сигнала в частотной области с помощью анализатора спектра становится очевидным, что основная гармоника (гармоника 1-го порядка) накладывается на несколько гармоник более высокого порядка, то есть кратные 20 МГц (рисунок 7). Исследуя сигнал во временной области, эту информацию получить нелегко, и практическая количественная оценка высших гармоник невозможна. Кратковременную стабильность частоты и амплитуды синусоидального сигнала намного легче исследовать в частотной области, чем во временной (смотрите также раздел 6.1 «Измерение фазового шума).

Рисунок 7 – Исследование синусоидального сигнала, показанного на рисунке 6, в частотной области с помощью анализатора спектра

Источник