Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения

Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения

Рейтинг: / 1
МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №1 г.Буинска РТ»

Исследовательская работа по
математике

Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения

Автор:
Халитов Айрат,
ученик 10 класса

Руководитель:
Камалова Эльмира Вазыховна,
учитель математики
первой квалификационной категории

Введение 2
Основная часть…………………………………………………………………… 3
Немного теории: 3
1-Й СПОСОБ. ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ К ОДНОРОДНОМУ ОТНОСИТЕЛЬНО СИНУСА И КОСИНУСА. 4
2-Й СПОСОБ. РАЗЛОЖЕНИЕ ЛЕВОЙ ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ. 5
3-й способ. Введение вспомогательного угла. 6
4-Й СПОСОБ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАЗНОСТИ (ИЛИ СУММЫ) ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ. 7
5-й способ. Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций. 8
6-Й СПОСОБ. ВОЗВЕДЕНИЕ ОБЕИХ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЯ В КВАДРАТ. 9
7-Й СПОСОБ. ВЫРАЖЕНИЕ ВСЕХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ TG Х (УНИВЕРСАЛЬНАЯ ПОДСТАНОВКА) ПО ФОРМУЛАМ: 10
8-Й СПОСОБ. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ. 11
Заключение 12
Использованная литература: 13

Введение
Слова известного французского писателя Э.Золя : «Весь смысл жизни заключается в бесконечном завоевании неизвестного; в вечном усилии познать больше» являются девизом моей жизни.Особенно мне нравятся уроки математики.
В этом учебном году на уроках математики мы изучали тригонометрические уравнения. Мы узнали о нескольких методах решения этих уравнений:
1) метод замены переменной;
2)метод разложения на множители;
3)универсальная подстановка.
Выполняя домашнее задание, я заинтересовался вопросом: существуют ли другие методы решения тригонометрических уравнений?
В кабинете математики я увидел подшивки старых газет «Математика», в которых прочитал о других методах решения тригонометрических уравнений.
В данном проекте я вам хочу рассказать о 8 способах решения одного тригонометрического уравнения, о которых я узнал.
Целью моей работы является изучение разных способов решения тригонометрических уравнений. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
Ознакомиться с дополнительной литературой по данной теме.
Систематизировать знаний по теме.
Провести опрос в классе.
Проанализировать данные опроса.
Методами исследования являются опрос, сравнение, анализ и обобщение. Тему исследования, считаю, достаточно актуальной, поскольку эти знания помогут нам при подготовке к ЕГЭ: несколько заданий в части В и С связаны с тригонометрическими уравнениями.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.
НЕМНОГО ТЕОРИИ:

Тригонометрическое уравнение-это уравнения, в которых переменные содержатся под знаками тригонометрических функций. Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида: sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a, где a – действительное число (a ∈ R).

При решении тригонометрических уравнений необходимо помнить следующие моменты:
При решении тригонометрических уравнений нельзя сокращать на переменную величину, это может привести к потере корней уравнения. Необходимо каждый множитель исследовать на решение.
При решении тригонометрических уравнений необходимо учитывать область допустимых значений (О.Д.З.).
При возведении обеих частей уравнения в четную степень могут появляться посторонние корни. Необходима отборка полученных решений, но это сложно, поэтому по возможности нужно обходиться без этой операции.
Потеря корней уравнения может произойти и от замены тригонометрических функций через тангенс tg x/2=t( универсальная тригонометрическая подстановка). Функция tg (х/2) не существует для х/2 = π/2 + πn, т.е. х ≠ π + 2πn. Но sin x и cos x определены в этих точках. Поэтому необходимо всегда проверять корни х = π + 2πn на решение отдельно

1-й способ. Приведение уравнения к однородному относительно синуса и косинуса.
Рассмотрим уравнение sin x – cos x =1.
Разложим левую часть по формуле двойного аргумента, а правую часть заменим тригонометрической единицей:
sin x = 2sin cos ; cos x = cos2 – sin2 ; 1 = sin2x + cos2 x.
2sin cos – cos2 + sin2 = sin2 + cos2
2sin cos – 2cos2 = 0
cos (sin – cos ) = 0
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла, поэтому
cos = 0; или sin – cos = 0 – это однородное уравнение первой
=  /2 + k; степени. Делим обе части уравнения на cos (cos 0),
x =  + 2k, k Z; т.к. если cos = 0, то sin =0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству.)
Получим: tg = 1, sin /cos =1
sin = cos
= + n;
x = +2n; n Z.
Ответ: x =  + 2k, k Z , x = +2n , n Z.

2-й способ. Разложение левой части уравнения на множители.
sin x – cos x =1.
sin x — (1 + cos x) = 0;
1 + cos x = 2 cos2 ;
sin x= 2 sin cos ;
2 sin cos — 2 cos2 = 0;
cos (sin – cos ) = 0. Далее так, как в первом способе.

3-й способ. Введение вспомогательного угла.
sin x – cos x =1.
В левой части вынесем — корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при sin х и cos х вынесем за скобки, получим
(sin x — cos x ) = 1;
sin x — cos x = ;
sin x cos — cos x sin = ; (по формуле sin cos — cos sin = sin ( — ) )
sin (x — ) = ;

1) x — = + 2n; x = + 2n, n Z;
2) x — = + 2k; x =  + 2k, k Z.
Ответ: x = + 2n, n Z; x =  + 2k, k Z.
4-й способ. Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.

sin x – cos x =1.
Запишем уравнение в виде:
sin x – sin( — x )=1.
Применим формулу разности двух синусов:
sin  — sin  = 2 sin (+ )/2 cos ( — )/2.
2 sin (x — ) cos = 1;
2 sin (x — ) = 1;
sin (x — ) = ;
Далее так, как в третьем способе.

5-й способ. Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций.
sin x – cos x =1.
sin2x + cos2 x=1; sin x = ±√(1- cos^2 x) ;
sin x – cos x = 1 => ±√(1- cos^2 x) — cos x=1;
±√(1- cos^2 x) = 1 + cos x;
Возведём в квадрат обе части уравнения,после некоторых упрощений получим:
2cos2 x + 2cos x = 0; cos x (cos x +1) = 0;
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла, поэтому
cos x =0; или cos x + 1 = 0;
x = + 2k, k Z; cos x = — 1 ;
x =  + 2n, n Z.
При решении уравнения обе части возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка.
Выполним её:
Полученные решения эквивалентны объединению трёх решений:
x = + 2k, k Z; x =  + 2n, n Z; x =- + 2m, m Z
Первое и второе решение совпадают с ранее полученными, поэтому не являются посторонними. Проверять не будем. Проверим:
x =- + 2m, m Z
Левая часть: sin (- + 2m) – cos (- + 2m) = sin (- ) – cos (- ) = -1 – 0 = -1. Правая часть: 1.
Следовательно, x =- + 2m, m Z – постороннее решение.
Ответ: x = + 2k, k Z; x =  + 2n, n Z.
6-й способ. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

sin x – cos x = 1
(sin x – cos x)2 = 1^2;
sin2x – 2sin x ∙ cos x + cos2 x = 1;
1 — 2 sin x cos x = 1; (2 sin x cos x = sin 2x – формула двойного угла)
sin 2x = 0;
2x = k;
x = k, k Z;
Полученное решение эквивалентно объединению четырех решений:
x = 2k, k Z;
x = + 2n, n Z;
x = + 2m, m Z;
x =- + l, l Z;
После проверки понятно, что первое и четвёртое решения — посторонние.
Ответ: x = + 2m, m Z , x = + 2n, n Z.
7-й способ. Выражение всех функций через tg х (универсальная подстановка) по формулам:
sin x = (2tg )/(1 + tg² ); cos x = (1 – tg² )/(1 + tg² ); tg x = (2tg )/(1 – tg² ) .
sin x – cos x =1
(2tg )/( 1 + tg² ) – (1 – tg² )/(1 + tg² ) = 1.
Умножим обе части уравнения на 1 + tg2 (1 + tg² ≠0, т.к. tg² ≥0.)
2tg – 1 + tg² = 1 + tg² ;
2tg = 2; tg = 1;
(sin )/(cos ) =1; sin = cos
= + n;
x = + 2n; n Z.
ОДЗ первоначального уравнения — всё множество R.
При переходе к tg из рассмотрения выпали значения, при которых tg не имеет смысла, т.е. x =  + 2k; k Z . Следует проверить, не является ли x =  + 2k; k Z решением данного уравнения.
Левая часть: sin( + 2k) – cos(π + 2k) = sin π – cos  = 0 – (-1) = 1
Правая часть: 1.
Значит, x =  + 2k; k Z является решением данного уравнения.
Ответ: x =  + 2k; k Z , x = + 2n; n Z.
8-й способ. Графическое решение.

sin x – cos x =1
На одном и том же чертеже построим графики функций, соответствующих левой и правой части уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются решением данного уравнения.
у = sin х – график: синусоида.
у = (соs х + 1) – синусоида, смещённая на единицу вверх.

Ответ: x =  + 2n; n Z; x = + 2k; k Z.

После проделанной работы я убедился в том, что существует не один метод решения тригонометрического уравнения. Проведя опрос в классе, я узнал, что в среднем (около 50%) мои одноклассники предпочитают три метода решения тригонометрических уравнений — метод замены переменной, графический и разложение на множители.37% знают 4 метода, а 13% — только 2.

У меня возникло желание познакомить с другими методами и своих одноклассников. Когда я показал свой проект на элективном занятии классу, ребята были удивлены тем, что существует столько методов решения одного тригонометрического уравнения. Я думаю, что это занятие можно считать практическим выходом моей исследовательской работы.

Источник

Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемАлина Мишанина

Похожие презентации

Презентация на тему: » Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения.» — Транскрипт:

1 Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения

2 Человеку, изучающему алгебру часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три – четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнивания выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт. У. У. Сойер /английский математик и педагог XX века/

3 Задача. Решите уравнение различными способами: sin x – cos x = 1. 1.Приведение уравнения к однородному. 2.Разложение левой части уравнения на множители. 3.Введение вспомогательного угла. 4.Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение. 6.Возведение обеих частей уравнения в квадрат. 7.Универсальная подстановка. 8.Графическое решение. 5.Приведение к квадратному уравнению.

4 Воспользуйтесь формулами sin x = 2 sin x/2 cos x/2, cos x = cos 2 x/2 + sin 2 x/2, 1 = sin 2 x/2 + cos 2 x/2.

5 Воспользуйтесь формулами sin x = 2 sin x/2 cos x/2, cos x = 2 cos 2 x/2 — 1

6 Вынести множитель за скобки воспользуйтесь формулами = sin /4 = cos /4 sin cos — cos sin = sin ( — )

7 cos x = sin ( / 2 – x ) Воспользуйтесь формулами sin — sin = 2 sin ( + )/2 cos ( — )/2

8 Возведите в квадрат уравнение sin x = cos x + 1 и незабудьте сделать проверку!

9 Возведите в квадрат обе части исходного уравнения и незабудьте сделать проверку!

10 Воспользуйтесь формулами Следует проверить, не является ли x = + 2 n, где n Z решением данного уравнения

11 sin x = cos x + 1

12 Решите самостоятельно, применяя разные способы решения одного и того же тригонометрического уравнения: 1. sin2x + cosx = 0 ; 2. 3 sin x – cos x = 0; 3. sin6x + sin3x = 0; 4. sin2x +cos2x = 1; 5. 3sin x + cos x = 1.

13 3. x = n/3, x = 2 /9 + 2 n /3, n Z. 2. x = /6 + n, n Z. 1. x = — /2 + 2 n, x = / n/3, n Z. 4. х = n, x = /4 + n, n Z. 5. x = n, x = — /3 + n, n Z. Проверь себя

14 Домашнее задание Решите, применяя разные способы решения одного и того же тригонометрического уравнения:

Источник

Конспект урока «Восемь способов решения тригонометрического уравнения»

Алгебра 10 кл

Тема: «Восемь способов решения тригонометрического уравнения»

Актуализация знаний, умений и навыков учащихся по темам “Тригонометрические формулы” и “Решение тригонометрических уравнений”.

Развитие навыка применять знания в новых ситуациях.

Развитие творческого математического мышления, исследовательских навыков учащихся.

Рассмотреть различные способы решения одного уравнения (приведение уравнения к однородному; разложение левой части на множители; введение вспомогательного угла; преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведении; приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций; возведение обеих частей уравнения в квадрат; выражение sin x и cos х через tg х/2 (универсальная подстановка); графическое решение).

Развитие коммуникативных навыков (работа в группах, взаимопомощь, взаимоконтроль).

Учитель. Сегодня у нас одно главное действующее лицо:

уравнение- sinx – cos x = 1. Поставим цель урока в соответствии с темой урока.

Ученик . Применяя изученные тригонометрические формулы, попытаться решить одно тригонометрическое уравнение различными способами.

Учитель . Урок готовила творческая группа учеников. В эту группу входили 8 человек, которые методом мозговой атаки разбирали различные способы решения уравнения

sin x – cos x =1. Эти ученики не только сумели решить данное уравнение разными способами, но выполнили творческую работу – создали компьютерную презентацию.

Поэтому у нас сегодня необычный урок. Можно сказать это урок – бенефис одного уравнения. Можно сказать это урок – творческий отчет о проделанной работе группы учеников. Рассказывая о различных способах решения одного и того же уравнения, ребята будут использовать созданную ими презентацию.

1 способ — 1 ученик Приведение уравнения к однородному относительно синуса или косинуса .

Разложим левую часть по формуле двойного аргумента, а правую часть заменим тригонометрической единицей:

sin x = 2 sin x/2 cos x/2; cos x = cos 2 x/2 – sin 2 x/2; 1 = sin 2 x + cos 2 x.

2sin x/2 co sx/2 –cos 2 x/2 + sin 2 x/2 = sin 2 x/2 +cos 2 x/2

2sin x/2 co sx/2 – 2cos 2 x/2 = 0

cos x/2 (sin x/2 – cos x/2) = 0

cos x /2 = 0 или sin x /2 – cos x /2 = 0 – это однородное уравнение первой

x /2 = p /2 + p k , k Z , степени. Делим обе части уравнения на cos x /2, cos x /20,

x = p + 2 p k , k Z т.к. если cos x /2 = 0, то sin x /2 =0, но синус и косинус одного аргумента не могут быть одновременно равны нулю

в силу основного тригонометрического тождества.

Получим: tq x/2 = 1,

Ответ: x = p + 2 p k , k Z , x = p /2 +2 p n , n Z .

2 способ — 2 ученик. Разложение левой части уравнения на множители

sin x – cos x =1. sin x — (1 + cos x) = 0;

1 + cos x = 2 cos 2 x/2; sin x= 2 sin x/2 cos x/2;

2sin x/2 cos x/2 — 2 cos 2 x/2 =0;

cos x/2(sin x/2 – cos x/2) = 0. Далее так, как в первом способе.

3 способ — 3 ученик. Введение вспомогательного угла .

sin x – cos x =1. В левой части вынесем — корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при sin х и cos х вынесем за скобки, получим

Учитель: внешне ответ другой, но с помощью тригонометрического круга можно установить, что это решение распадается на два случая:

4 способ — 4 ученик Преобразование разности функций в произведении.

Применим формулу разности двух синусов: sin a — sin b = 2 sin ( a + b )/2 cos ( a — b )/2.

Далее так, как в третьем способе.

5 способ — 5 ученик. Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций.

Возьмем в квадрат:

При решении уравнения обе части возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка.

Полученные решения эквивалентны объединению трёх решений:

Первое и второе решение совпадают с ранее полученными, поэтому не являются посторонними. Проверять не будем. Проверим:

Левая часть равна -1, а правая часть уравнения равна 1, следовательно, это решение является посторонним.

Ответ : x = p + 2 p k k Z , x = p /2 +2 p n, n Z.

6 способ — 6 ученик. Возведение обеих частей уравнения в квадрат .

sin x – cos x = 1

(sin x – cos x) 2 = 1

sin2x – 2sin x cos x + cos 2 x = 1

1 -2 sin x cos x = 1

x= p /2 + p k, k Z

Полученное решение эквивалентно объединению четырех решений:

После проверки устанавливается факт, что первое и четвёртое решения — посторонние.

Ответ : x = p + 2 p k; k Z , x = p /2 +2 p n; n Z.

7 способ -7 ученик. Выражение всех функций через tg х (универсальная подстановка) по формулам:

Умножаем обе части уравнения на 1 + tg 2 x /2.

Область допустимых значений первоначального уравнения — всё множество R При переходе к tg x /2 из рассмотрения выпали значения, при которых tg x /2 не имеет смысла, т.е. x = p + 2 p k ; k Z .Следует проверить, не является ли x = p + 2 p k ; k Z решением данного уравнения.

Левая часть sin ( π + 2 πk ) – cos ( π + 2 πk ) = sin π – cos π = 0 – (-1) = 1 и правая часть равна единице. Значит, x = p + 2 p k ; k Z является решением данного уравнения.

Ответ: x = p + 2 p k ; k Z , x = p /2 +2 p n ; n Z .

8 способ — 8 ученик. Графическое решение.

На одном и том же чертеже построим графики функций, соответствующих левой и правой части уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются решением данного уравнения,

у = sin х — график синусоида.у = (со s х – 1) – синусоида, смещённая на единицу вверх.

Домашнее задание : решить разными способами уравнения:

Закрепление (работа в группах по 4 ученика), решить Следующие уравнения:

1. sin2x + cosx = 0 ; 2. Ö 3 sin x – cos x = 0 3. sin 6 x + sin 3 x = 0;

4. sin 2 x + cos 2 x = 1; 5. Ö 3 sin x + cos x = 1 .

После решения этих уравнений в группах ученики сравнивают свои решения с решениями, представленными на слайдах, обсуждают, какие решения оказались более доступными, почему, оценивают работу каждого ученика в своей группе, делают анализ урока (выполнена ли цель урока, как подготовилась к уроку творческая группа, положительные и отрицательные моменты в ходе урока).

Итог урока: Какие способы решения уравнения вида а sin x + b sin x = 1 (0) узнали сегодня на уроке ? Подведем итоги работы учащихся в группах (анализ делают консультанты) (как была организована работа группы, как работал каждый член группы, что вызвало затруднение, оценки каждому ученику и группе в целом, что понравилось на уроке, что не понравилось, предложения по уроку)

Как вы оцениваете подготовку к уроку творческой группы в целом и каждого члена группы?

Учитель: Урок хочется закончить словами английского математика и педагога 20-го века Сойера: Человеку, изучающему алгебру часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три – четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнивания выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт.

Источник