Виды рациональных уравнений способы решения уравнений

Алгоритм решения уравнений с рациональными числами

Что такое рациональные уравнения: определение и виды

Рациональным называют уравнение, обе части которого содержат рациональные выражения.

По-другому, алгебраическое рациональное уравнение представляет собой такое уравнение, левую часть которого записывают в виде рационального выражения, а правую с нулем.

Данные термины равнозначны. В подтверждении можно записать выражения P и Q с равносильными уравнениями P=Q и P−Q=0.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В рациональных уравнениях может быть разное число переменных от одного и более. Самыми простыми считаются математические выражения с одной переменной. В математике рассматривают два вида рациональных уравнений:

Целое рациональное уравнение – это уравнение, обе части которого содержат целые рациональные выражения.

Дробное рациональное уравнение представляет собой запись, в которой одна или обе части содержат дробь.

В случае дробного рационального уравнения линейное выражение обязательно включает деление на переменную, либо переменную в знаменателе. Подобная запись не характерна для уравнений целого типа.

Основные приемы решения рациональных уравнений

Исходя из вида рационального уравнения, применяют определенный порядок действий для его решения. Когда требуется найти ответ к задаче с целым рациональным уравнением, следует воспользоваться универсальным методом:

1. В первую очередь определяют минимальный общий знаменатель в рамках всего равенства.
2. Второй шаг – расчет множителей, на которые перемножают все компоненты выражения.
3. Далее требуется полученное равенство привести к общему знаменателю.
4. По итогам манипуляций необходимо найти корни целого рационального уравнения.

Когда необходимо решить дробное рациональное уравнение, то следует воспользоваться аналогичным алгоритмом действий, но с небольшими дополнениями. Разница в способах заключается в том, что после четвертого шага, который состоит в поиске предполагаемых корней, при неравносильных преобразованиях необходимо выполнить проверку корней путем их подстановки в формулу.

Важно учитывать тот факт, что обладать нулевым значением может только числитель дроби. Корни, которые приводят знаменатель к нулевому значению, носят названия посторонних.

Встречаются дробные рациональные уравнения в достаточно сложной форме. Такие выражения необходимо упростить и решить путем частичной замены уравнения новой переменной.

Преобразования для упрощения формы уравнения

Решение рациональных уравнений достаточно просто найти, если воспользоваться некоторыми преобразованиями. Подобные манипуляции могут быть следующего типа:

• равносильные или тождественные;
• неравносильные.

Равносильными преобразованиями называют манипуляции, приводящие к выражению нового вида, содержащему корни первоначального.

Равносильные преобразования первоначального уравнения, не требующие проверок:

• умножение или деление этого выражения на конкретное число, не равное нулю;
• перенос компонентов равенства из правой части в левую и наоборот.

Неравносильные преобразования – действия с уравнением или системой, в результате которых образуются посторонние корни.

Неравносильными преобразованиями являются следующие манипуляции:

• возведение в квадрат всех частей выражения;
• исключение знаменателей, которые содержат переменную.

Если рациональное уравнение решено путем неравносильных преобразований, то полученные корни требуется проверить с помощью подстановки в первоначальное выражение. Это связано с вероятностью образования посторонних корней при неравносильных преобразованиях.

Источник

Рациональные уравнения с примерами решения

Содержание:

Рациональные уравнения. Равносильные уравнения

два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни. Равносильными считают и те уравнения, которые корней не имеют.

Так, например, равносильными будут уравнения

Уравнения — не равносильны, так как корнем первого уравнения является число 10, а корнем второго — число 9.

Ранее, в 7 классе, вы знакомились со свойствами, которые преобразуют уравнения в равносильные им уравнения.

1) Если в любой части уравнения раскрыть скобки или привести подобные слагаемые, то получим уравнение, равносильное данному;

2) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному;

3) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Левая и правая части каждого из них являются рациональными выражениями.

Уравнении, левая и правая части которых являются рациональными выражениями, называют рациональными уравнениями.

В первых двух из записанных выше уравнений левая и правая части являются целыми выражениями. Такие уравнения называют целыми рациональными уравнениями. Если хотя бы одна часть уравнения — дробное выражение, то его называют дробным рациональным уравнением. Третье из записанных выше уравнений является дробным рациональным.

Как решать целые рациональные уравнения, мы рассмотрели при изучении математики в предыдущих классах. Рассмотрим теперь, как решать дробные рациональные уравнения, то есть уравнения с переменной в знаменателе.

Применение условия равенства дроби нулю

Напомним, что когда

Пример №202

Решите уравнение

Решение:

С помощью тождественных преобразований и свойств уравнений приведем уравнение к виду где и — целые рациональные выражения. Имеем:

Окончательно получим уравнение:

Чтобы дробь равнялась нулю, нужно, чтобы числитель равнялся нулю, а знаменатель не равнялся нулю.

Тогда откуда При знаменатель Следовательно, — единственный корень уравнения.

Решение последнего, равносильного данному, уравнения, учитывая условие равенства дроби нулю, удобно записывать так:

Значит, решая дробное рациональное уравнение, можно:

1) с помощью тождественных преобразований привести уравнение к виду

2) приравнять числитель к нулю и решить полученное целое уравнение;

3) исключить из его корней те, при которых знаменатель равен нулю, и записать ответ.

Использование основного свойства пропорции

Если то где

Пример №203

Решите уравнение

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении. Так как знаменатели дробей не могут равняться нулю, то Имеем: то есть ОДЗ переменной содержит все числа, кроме 1 и 2.

Сложив выражения в правой части уравнения, приведем его к виду: получив пропорцию:

По основному свойству пропорции имеем:

Решим это уравнение:

откуда

Так как число 4 принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, то 4 является его корнем.

Запись решения, чтобы не забыть учесть ОДЗ, удобно закончить так:

Таким образом, для решения дробного рационального уравнения можно:

1) найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении;

2) привести уравнение к виду

3) записать целое уравнение и решить его;

4) исключить из полученных корней те, которые не принадлежат ОДЗ, и записать ответ.

Метод умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель дробей

Пример №204

Решите уравнение

Решение:

Найдем ОДЗ переменной и простейший общий знаменатель всех дробей уравнения, разложив знаменатели на множители:

Областью допустимых значений переменной будут те значения при которых то есть все значения кроме чисел А простейшим общим знаменателем будет выражение

Умножим обе части уравнения на это выражение:

Получим: а после упрощения: то есть откуда или

Число 0 не принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, поэтому не является его корнем.

Следовательно, число 12 — единственный корень уравнения. Ответ. 12.

Решая дробное рациональное уравнение, можно:

3) умножить обе части уравнения на этот общий знаменатель;

4) решить полученное целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые не принадлежат ОДЗ переменной уравнения, и записать ответ.

Пример №205

Являются ли равносильными уравнения

Решение:

Поскольку уравнения являются равносильными в случае, когда они имеют одни и те же, или не имеют корней, найдем корни данных уравнений.

Первое уравнение имеет единственный корень а второе — два корня (решите уравнения самостоятельно). Следовательно, уравнения не являются равносильными.

Степень с целым показателем

Напомним, что в 7 классе мы изучали степень с натуральным показателем. По определению:

где — натуральное число,

В математике, а также при решении задач практического содержания, например в физике или химии, встречаются степени, показатель которых равен нулю или является целым отрицательным числом. Степень с отрицательным показателем можно встретить и в научной или справочной литературе. Например, массу атома гелия записывают так: кг. Как понимать смысл записи

Рассмотрим степени числа 3 с показателями — это соответственно

В этой строке каждое следующее число втрое больше предыдущего. Продолжим строку в противоположном направлении, уменьшая каждый раз показатель степени на 1. Получим:

Число должно быть втрое меньше числа равного числу 3. Но втрое меньшим числа 3 является число 1, следовательно, Равенство справедливо для любого основания при условии, что

Нулевая степень отличного от нуля числа а равна единице, то есть при

Вернемся к строке со степенями числа 3, где слева от числа записано число Это число втрое меньше, чем 1, то есть равно Следовательно, Рассуждая аналогично получаем: и т. д.

Приходим к следующему определению степени с целым отрицательным показателем:

если натуральное число, то

Источник