Виды неопределенностей способы устранения неопределенностей

Основные неопределенности пределов и их раскрытие.

С непосредственным вычислением пределов основных элементарных функций разобрались.

При переходе к функциям более сложного вида мы обязательно столкнемся с появлением выражений, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями.

Перечислим все основные виды неопределенностей: ноль делить на ноль ( 0 на 0 ), бесконечность делить на бесконечность , ноль умножить на бесконечность , бесконечность минус бесконечность , единица в степени бесконечность , ноль в степени ноль , бесконечность в степени ноль .

ВСЕ ДРУГИЕ ВЫРАЖЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ НЕ ЯВЛЯЮТСЯ И ПРИНИМАЮТ ВПОЛНЕ КОНКРЕТНОЕ КОНЕЧНОЕ ИЛИ БЕСКОНЕЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ.

Раскрывать неопределенности позволяет:

• упрощение вида функции (преобразование выражения с использованием формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножением на сопряженные выражения с последующим сокращением и т.п.);
• использование замечательных пределов;
• применение правила Лопиталя;
• использование замены бесконечно малого выражения ему эквивалентным (использование таблицы эквивалентных бесконечно малых).

Сгруппируем неопределенности в таблицу неопределенностей. Каждому виду неопределенности поставим в соответствие метод ее раскрытия (метод нахождения предела).

Эта таблица вместе с таблицей пределов основных элементарных функций будут Вашими главными инструментами при нахождении любых пределов.

Приведем парочку примеров, когда все сразу получается после подстановки значения и неопределенности не возникают.

Вычислить предел

Подставляем значение:

И сразу получили ответ.

Вычислить предел

Подставляем значение х=0 в основание нашей показательно степенной функции:

То есть, предел можно переписать в виде

Теперь займемся показателем. Это есть степенная функция . Обратимся к таблице пределов для степенных функций с отрицательным показателем. Оттуда имеем и , следовательно, можно записать .

Исходя из этого, наш предел запишется в виде:

Вновь обращаемся к таблице пределов, но уже для показательных функций с основанием большим единицы, откуда имеем:

Разберем на примерах с подробными решениями раскрытие неопределенностей преобразованием выражений.

Очень часто выражение под знаком предела нужно немного преобразовать, чтобы избавиться от неопределенностей.

Вычислить предел

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности. Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения. Пробуем упростить выражение.

После преобразования неопределенность раскрылась.

Вычислить предел

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности ( 0 на 0 ). Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения и пробуем упростить выражение. Домножим и числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю.

Для знаменателя сопряженным выражением будет

Знаменатель мы домножали для того, чтобы можно было применить формулу сокращенного умножения – разность квадратов и затем сократить полученное выражение.

После ряда преобразований неопределенность исчезла.

ЗАМЕЧАНИЕ: для пределов подобного вида способ домножения на сопряженные выражения является типичным, так что смело пользуйтесь.

Вычислить предел

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности. Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения и пробуем упростить выражение. Так как и числитель и знаменатель обращаются в ноль при х=1 , то если разложить на множители эти выражения, можно будет сократить (х-1) и неопределенность исчезнет.

Разложим числитель на множители:

Разложим знаменатель на множители:

Наш предел примет вид:

После преобразования неопределенность раскрылась.

Рассмотрим пределы на бесконечности от степенных выражений. Если показатели степенного выражения положительны, то предел на бесконечности бесконечен. Причем основное значение имеет наибольшая степень, остальные можно отбрасывать.

Пример.

Пример.

Если выражение под знаком предела представляет собой дробь, причем и числитель и знаменатель есть степенные выражения ( m – степень числителя, а n – степень знаменателя), то при возникает неопределенность вида бесконечность на бесконечность , в этом случае неопределенность раскрывается делением и числитель и знаменатель на

Вычислить предел

Степень числителя равна семи, то есть m=7 . Степень знаменателя также равна семи n=7 . Разделим и числитель и знаменатель на .

Источник

Неопределенности пределов

Вы будете перенаправлены на Автор24

Очень часто при вычислении пределов функций в какой-либо точке в результате упрощения получаются выражения, не несущие какой-либо информации об этой функции. Такие выражения носят название неопределённостей.

Виды неопредлённостей

$\frac<0><0>$ — деление нуля на нуль;

$\frac<\infty><\infty>$ — деление бесконечности на бесконечность;

$0 \cdot \infty$ — умножение нуля на бесконечность;

$1^<\infty>$ — единица, возведённая в степень бесконечности;

$(\infty-\infty$) — разность бесконечностей;

$0^0$ — нуль в нулевой степени;

$\infty^0$ — бесконечность в степени 0.

Неопределённости вида $\frac<0><0>$ и $\frac<\infty><\infty>$ называются основными и для их раскрытия применяется правило Лопиталя, тогда как остальные неопределённости сводятся путём тождественных преобразований также к основным или решаются иными способами.

Раскрытие неопределенностей

Сам по себе термин «неопределённость» не означает, что предела не существует. Во многих случаях для того чтобы прийти к конечному ответу можно использовать упрощения, правило Лопиталя и другие способы раскрытия математических неопределенностей.

Например, выражение вида $\frac$ можно упростить до просто $x$ при любых значениях $x$, кроме нуля. Таким образом, предел этого выражения при приближении $x$ к нулю есть не что иное как $x$, а сам $x$ стремится к нулю, следовательно:

Наиболее универсальным способом для раскрытия неопределённостей является правило Лопиталя, но к нему не всегда возможно прибегнуть. Как было упомянуто выше, его возможно применять лишь к двум видам неопределённостей, тогда как остальные необходимо для начала привести к одной из форм основных неопределённостей.

В целом, при раскрытии неопредлённостей возможно использовать различные тождественные преобразования, замечательные пределы и замену одного бесконечно малого выражения на другое, подобное ему.

Готовые работы на аналогичную тему

Рассмотрим подробнее замену бесконечно малых выражений на аналогичное.

Таблица эквивалентных бесконечно малых выражений

Если две переменные $α$ и $β$ сходятся к нулю в одной точке и предел их отношения в этой точке равен единице, то эти переменные называются эквивалентными бесконечно малыми переменными.

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций:

Источник

Неопределённости. Виды неопределённостей. Способы устранения неопределённостей

Понятие числовой последовательности. Основные свойства. Способы задания

Числовая последовательность – это числовая функция (f), которая определена на множестве натуральных чисел (n).

Способы задания числовой последовательности:

1. Аналитический (при помощи формулы)

Последовательность задана аналитически, если указана формула для вычисления ее -го члена.

, где

———> 1,1/2,1/3,1/4. 1/n.

Словесный способ задания числовой последовательности используется, когда правило задания последовательности описано словами, не указывая формулы.

Последовательность задана рекуррентно, если указано правило, по которому -й член вычисляется по предыдущим членам.

, , , где

Последовательность называется возрастающей, если для любого n∈N выполняется неравенство an

Последовательность называется убывающей, если для любого n∈N выполняется неравенство an>an+1 .

Возрастающие и убывающей последовательности называются монотонными.

Последовательность заданная формулой a_n=n/(n+1), является монотонной, возрастающей, т.к. разница a_n+1−a_n=(n+1)/(n+2)−n/(n+1)=1/((n+1)⋅(n+2))>0 .

Предел числовой последовательности. Свойства пределов.

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства.

Свойства пределов последовательностей

1. Постоянный множитель c можно выносить за знак предела:

2. Если существуют конечные пределы последовательностей и , то

3. Если существуют конечные пределы последовательностей и , то

Неопределённости. Виды неопределённостей. Способы устранения неопределённостей

Неопределённости — выражений, значение которых не определено.

Раскрывать неопределенности позволяет:

1. упрощение вида функции (преобразование выражения с использованием формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножением на сопряженные выражения с последующим сокращением и т.п.);

2. использование замечательных пределов;

3. применение правила Лопиталя;

4. использование замены бесконечно малого выражения ему эквивалентным (использование таблицы эквивалентных бесконечно малых).

Источник