Векторный способ задания движения точки ускорение

Векторный способ задания движения точки

Рассмотрим движение материальной точкиМ относительно некоторого тела, которое считается неподвижным. Пусть точка О – точка принадлежащая этому телу (рис.5.3). Радиус-вектор движущейся точки М относительно точкиО можно задать как вектор-функцию времени t

. (5.6)

Равенство (5.6) называется векторным уравнением движения точки или законом движения точки в векторной форме.

Кривая по которой движется точка в пространстве называется траекторией точки. Траектория – это годограф радиус-вектора точки.

Координатный способ задания движения точки

Пусть теперь вектор задан в декартовой системе координат, а— орты осейОх, Оу, Оz. Тогда вектор-функция может быть задана тремя скалярными функциями:

=++.

Таким образом, для того, чтобы движение точки было задано координатным способом, должны быть заданы функции:

Равенства (5.7) называются уравнениями движения точки или законом движения точки в координатной форме.

Естественный способ задания движения точки

Этот способ применяется в случае, когда траектория точки известна заранее. Траектория точки может быть задана различными способами: словесно (например, можно сказать, что траекторией точки является окружность такого-то радиуса), графически в каком-либо масштабе или уравнениями, например, в общем виде как линия пересечения поверхностей

,

или другими уравнениями.

Для задания закона движения точки по траектории необходимо выбрать на траектории точку М₀, принимаемую за начало отсчета дуговой координаты и задать положительное направление отсчета (рис. 5.4.).

При движении точки М расстояние от нее до начальной точки изменяется с течением времени, следовательно, дуговую координату необходимо задать как функцию времени:

Зависимость (5.8) называется законом движения точки. Следовательно, для того, чтобы движение точки было задано естественным способом, должны быть заданы:

положительное направление отсчета дуги s.

При этом нужно отличать дугу s и пройденный точкой путь. Если точка движется по траектории все время в одном направлении, то дуга и путь совпадают, но если, например закон движения точки равен и точка совершает гармонические колебания по кривой, то дуга и путь совпадают только до достижения дуги своего максимального значенияа. Далее путь в отличие от дуги будет все время увеличиваться.

Скорость и ускорение точки Скорость точки

Пусть движение точки задано векторным способом . На рис.5.9М и М₁  положения движущейся точки в моменты времени t и t + t.

Вектор называется вектором перемещения точки за времяt. Отношение вектора к промежут ку времени t называется средней скоростью точки за промежуток времени t

.

Скоростью точки в данный момент времени называется предел отношения вектора перемещения точки к промежутку времени за который произошло это перемещение, при стремлении последнего к нулю, т.е.

. (5.9)

Таким образом,скорость точки в данный момент времени равна производной радиусавектора точки по времени

. (5.10)

Это векторная величина, характеризующая быстроту изменения радиусавектора точки и направленная по касательной к траектории в сторону движения точки. Единицей измерения скорости в системе СИ является м/с.

Источник

Векторный способ задания движения точки

Введение

Положение точки однозначно определяется заданием ее радиус-вектора , который изменяется со временем при движении точки. При векторном способе задания движения считается, что задан закон изменения радиус-вектора от времени . Векторный способ задания движения применяется для описания движения в общем виде, используя векторные формулы.

Например, для точки, движущейся с постоянным ускорением , радиус-вектор определяется одной векторной формулой:
,
где – постоянные векторы, не зависящие от времени. Применяя формулы, мы можем найти кинематические величины в векторном виде, не зависимо от выбранной системы координат.

При координатном способе задания движения, мы выбираем систему координат, и в ней задаем зависимости координат точки от времени . Таким образом, координатный способ привязан к выбранной системе координат, а векторный способ не зависит от системы координат.

Связь векторного способа задания движения с координатным осуществляется по формуле:
,
где – единичные векторы (орты) в направлении осей выбранной системы координат.

Основные формулы при векторном способе задания движения

Скорость точки

Выводы приведенных ниже формул и изложение теории приводится на странице “Кинематика материальной точки”. Здесь мы приводим основные результаты этой теории в векторном виде.

Итак, нам задана зависимость радиус-вектора материальной точки M от времени :
.

Дифференцируя радиус-вектор по времени, мы находим вектор скорости точки:
.
Модуль вектора скорости:
,
где в круглых скобках обозначено скалярное произведение векторов.

Скорость точки направлена по касательной к траектории. Пусть – единичный вектор в направлении касательной. Тогда скорость может быть направленной либо вдоль вектора :
,
либо в противоположную сторону:
.
Чтобы охватить эти два случая, вводят алгебраическую величину скорости :
.
Это скалярная величина, равная по абсолютной величине модулю скорости, но она может принимать как положительные, так и отрицательные значения:
.
При , вектор скорости сонаправлен с . При он направлен в противоположную сторону. Величина является проекцией вектора скорости на направление . Поскольку – это единичный вектор, то
.

Единичный вектор в направлении касательной к траектории:
.

Ускорение точки

Дифференцируя вектор скорости по времени, находим вектор ускорения точки:
.
Модуль вектора ускорения:
.

Разложим вектор ускорения на две взаимно перпендикулярные компоненты: – параллельную касательной к траектории; и – перпендикулярную к ней.
.
Компонента называется касательным, или тангенциальным ускорением, а компонента – нормальным ускорением.

Тангенциальное ускорение

Алгебраическая величина тангенциального ускорения – это скалярная величина, равная проекции полного ускорения на направление единичного вектора , касательного к траектории:
.
Тогда вектор тангенциального ускорения можно записать в следующем виде:
.
Величина может быть как положительной, так и отрицательной. При положительном , вектор касательного ускорения сонаправлен с единичным вектором . При отрицательном – вектор касательного ускорения направлен в противоположную сторону. Модуль равен модулю касательного ускорения:
.
Алгебраическая величина тангенциального ускорения равна производной по времени от алгебраической величины скорости:
.
Производная по времени модуля скорости:
.
Если между векторами скорости и ускорения острый угол, то движение ускоренное. Если между ними тупой угол, то движение замедленное.

Нормальное ускорение

Вектор нормального ускорения:
.
; .
Единичный вектор в направлении главной нормали траектории:
.
Вектор перпендикулярен вектору и направлен к центру кривизны траектории. Нормальное ускорение всегда направлено к центу кривизны траектории. Поэтому, если выразить его через единичный вектор главной нормали:
,
то . Поэтому .
Модуль нормального ускорения равен проекции полного ускорения на направление главной нормали:
.
Имеют место следующие формулы:
.

Радиус кривизны траектории:
.
Центр кривизны траектории:
.

Единичный вектор в направлении бинормали:
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 06-03-2016 Изменено: 29-01-2020

Источник

2.1.2. Векторный способ задания движения точки

При векторном способе задания движения положение точки в пространстве определяется заданием радиуса-вектора , проведенного из неподвижного центраO в данною точку M (рис. 3).

Радиус-вектор – это тоже есть функция, зависящая от времени:

. (2)

Траектория точки является геометрическим местом концов радиуса-вектора .

2.1.3. Координатный способ задания движения точки

В координатном способе задания движения точки ее положение определяется тремя декартовыми координатами (x, y, z), которые могут быть выражены в функции параметра времени в виде (см. рис. 3).

Формула (3) – уравнение движения точки в декартовой системе координат. Если точка М движется в плоскости, то её движение определяется системой уравнений:

(4)

Прямолинейное движение выражается одним уравнением:

. (5)

Исключив параметр времени из системы (3) или (4), можно получить уравнение для траектории точки при ее движении в пространстве или на плоскости.

Взаимосвязь между векторным и координатным способами задания движения точки можно установить из известного выражения для радиуса-вектора точки

. (6)

Здесь координаты x,y,z в функции времени определяются из системы (3), для плоской задачи, соответственно, из системы (4).

Чтобы определить взаимосвязь между координатным и естественным способами задания движения точки, необходимо:

Определить траекторию точки.

Найти закон движения точки по траектории, для чего исключить параметр t из системы (3), применяя известное выражение дифференциала дуги.

, (6)

и после интегрирования получим

, (7)

где С – const, определяется из начальных условий задачи.

Основными кинематическими характеристиками движения точки являются ее скорость и ускорение. При различных способах задания движения точки они определяются различным образом.

2.2. Определение скорости точки

2.2.1. Определение скорости точки при задании её движения векторным способом

Скорость – это векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данной системе отсчёта.

При векторном способе задания движения положение движущейся точки в каждый момент времени определяется радиусом – вектором, который в свою очередь является функцией времени.

Предположим, что в определённый момент времени t точка занимает положение М, а в момент времени – положениеМ₁. Из треугольника ОММ₁ , имеем ОМ₁ = ОМ+ММ₁, т.е. ,гдеММ₁ – приращение радиуса – вектора точки за промежуток времени∆t.

Можем найти среднюю скорость движение точки по хорде ММ₁, равную отношению к∆t, т.е:

, (9)

где направление совпадает по направлению с.

Чтобы определить скорость точки в данный момент времени, выполним предельный переход

(10)

Таким образом, вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной по времени от радиуса-вектора данной точки.

Источник