Векторный способ задания движения формула

Векторный способ задания движения точки

Введение

Положение точки однозначно определяется заданием ее радиус-вектора , который изменяется со временем при движении точки. При векторном способе задания движения считается, что задан закон изменения радиус-вектора от времени . Векторный способ задания движения применяется для описания движения в общем виде, используя векторные формулы.

Например, для точки, движущейся с постоянным ускорением , радиус-вектор определяется одной векторной формулой:
,
где – постоянные векторы, не зависящие от времени. Применяя формулы, мы можем найти кинематические величины в векторном виде, не зависимо от выбранной системы координат.

При координатном способе задания движения, мы выбираем систему координат, и в ней задаем зависимости координат точки от времени . Таким образом, координатный способ привязан к выбранной системе координат, а векторный способ не зависит от системы координат.

Связь векторного способа задания движения с координатным осуществляется по формуле:
,
где – единичные векторы (орты) в направлении осей выбранной системы координат.

Основные формулы при векторном способе задания движения

Скорость точки

Выводы приведенных ниже формул и изложение теории приводится на странице “Кинематика материальной точки”. Здесь мы приводим основные результаты этой теории в векторном виде.

Итак, нам задана зависимость радиус-вектора материальной точки M от времени :
.

Дифференцируя радиус-вектор по времени, мы находим вектор скорости точки:
.
Модуль вектора скорости:
,
где в круглых скобках обозначено скалярное произведение векторов.

Скорость точки направлена по касательной к траектории. Пусть – единичный вектор в направлении касательной. Тогда скорость может быть направленной либо вдоль вектора :
,
либо в противоположную сторону:
.
Чтобы охватить эти два случая, вводят алгебраическую величину скорости :
.
Это скалярная величина, равная по абсолютной величине модулю скорости, но она может принимать как положительные, так и отрицательные значения:
.
При , вектор скорости сонаправлен с . При он направлен в противоположную сторону. Величина является проекцией вектора скорости на направление . Поскольку – это единичный вектор, то
.

Единичный вектор в направлении касательной к траектории:
.

Ускорение точки

Дифференцируя вектор скорости по времени, находим вектор ускорения точки:
.
Модуль вектора ускорения:
.

Разложим вектор ускорения на две взаимно перпендикулярные компоненты: – параллельную касательной к траектории; и – перпендикулярную к ней.
.
Компонента называется касательным, или тангенциальным ускорением, а компонента – нормальным ускорением.

Тангенциальное ускорение

Алгебраическая величина тангенциального ускорения – это скалярная величина, равная проекции полного ускорения на направление единичного вектора , касательного к траектории:
.
Тогда вектор тангенциального ускорения можно записать в следующем виде:
.
Величина может быть как положительной, так и отрицательной. При положительном , вектор касательного ускорения сонаправлен с единичным вектором . При отрицательном – вектор касательного ускорения направлен в противоположную сторону. Модуль равен модулю касательного ускорения:
.
Алгебраическая величина тангенциального ускорения равна производной по времени от алгебраической величины скорости:
.
Производная по времени модуля скорости:
.
Если между векторами скорости и ускорения острый угол, то движение ускоренное. Если между ними тупой угол, то движение замедленное.

Нормальное ускорение

Вектор нормального ускорения:
.
; .
Единичный вектор в направлении главной нормали траектории:
.
Вектор перпендикулярен вектору и направлен к центру кривизны траектории. Нормальное ускорение всегда направлено к центу кривизны траектории. Поэтому, если выразить его через единичный вектор главной нормали:
,
то . Поэтому .
Модуль нормального ускорения равен проекции полного ускорения на направление главной нормали:
.
Имеют место следующие формулы:
.

Радиус кривизны траектории:
.
Центр кривизны траектории:
.

Единичный вектор в направлении бинормали:
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 06-03-2016 Изменено: 29-01-2020

Источник

Векторный способ задания движения точки

Рассмотрим движение материальной точкиМ относительно некоторого тела, которое считается неподвижным. Пусть точка О – точка принадлежащая этому телу (рис.5.3). Радиус-вектор движущейся точки М относительно точкиО можно задать как вектор-функцию времени t

. (5.6)

Равенство (5.6) называется векторным уравнением движения точки или законом движения точки в векторной форме.

Кривая по которой движется точка в пространстве называется траекторией точки. Траектория – это годограф радиус-вектора точки.

Координатный способ задания движения точки

Пусть теперь вектор задан в декартовой системе координат, а— орты осейОх, Оу, Оz. Тогда вектор-функция может быть задана тремя скалярными функциями:

=++.

Таким образом, для того, чтобы движение точки было задано координатным способом, должны быть заданы функции:

Равенства (5.7) называются уравнениями движения точки или законом движения точки в координатной форме.

Естественный способ задания движения точки

Этот способ применяется в случае, когда траектория точки известна заранее. Траектория точки может быть задана различными способами: словесно (например, можно сказать, что траекторией точки является окружность такого-то радиуса), графически в каком-либо масштабе или уравнениями, например, в общем виде как линия пересечения поверхностей

,

или другими уравнениями.

Для задания закона движения точки по траектории необходимо выбрать на траектории точку М₀, принимаемую за начало отсчета дуговой координаты и задать положительное направление отсчета (рис. 5.4.).

При движении точки М расстояние от нее до начальной точки изменяется с течением времени, следовательно, дуговую координату необходимо задать как функцию времени:

Зависимость (5.8) называется законом движения точки. Следовательно, для того, чтобы движение точки было задано естественным способом, должны быть заданы:

положительное направление отсчета дуги s.

При этом нужно отличать дугу s и пройденный точкой путь. Если точка движется по траектории все время в одном направлении, то дуга и путь совпадают, но если, например закон движения точки равен и точка совершает гармонические колебания по кривой, то дуга и путь совпадают только до достижения дуги своего максимального значенияа. Далее путь в отличие от дуги будет все время увеличиваться.

Скорость и ускорение точки Скорость точки

Пусть движение точки задано векторным способом . На рис.5.9М и М₁  положения движущейся точки в моменты времени t и t + t.

Вектор называется вектором перемещения точки за времяt. Отношение вектора к промежут ку времени t называется средней скоростью точки за промежуток времени t

.

Скоростью точки в данный момент времени называется предел отношения вектора перемещения точки к промежутку времени за который произошло это перемещение, при стремлении последнего к нулю, т.е.

. (5.9)

Таким образом,скорость точки в данный момент времени равна производной радиусавектора точки по времени

. (5.10)

Это векторная величина, характеризующая быстроту изменения радиусавектора точки и направленная по касательной к траектории в сторону движения точки. Единицей измерения скорости в системе СИ является м/с.

Источник

Кинематика. Задание положения точки.

Положение точки в пространстве можно задать двумя способами: координатным и векторным.

При задании движения координатным способом с телом отсчета связывают какую-либо систему координат, например, декартовую. Движение точки М будет задано в том случае, если ее координаты будут известны, как функции времени:

Эти зависимости называются уравнениями движения точки в декартовых координатах. Они выражают текущие координаты движущейся точки в виде функций времени. Если точка движется, оставаясь все время в одной плоскости, можно ограничиться двумя уравнениями движения: x = x(t), y = y(t).

Векторный способ задания положения точки .

Допустим, М – движущаяся точка относительно тела отсчета А. В теле А в качестве точки отсчета выберем произвольную точку О и построим вектор Этот вектор называется радиус-вектором точки М.

Радиус-вектор – это вектор, соединяющий начало отсчета с положением точки в любой момент времени.

Когда точка М движется, радиус-вектор непрерывно изменяется во времени, поэтому существует некоторая вектор-функция времени Зная эту функцию, для каждого времени t можно построить вектор и тем самым найти положение движущейся точки в данный момент. Функция называется векторным законом (векторным уравнением) движения точки М.

Точка задается радиус-вектором, если известны его длина (модуль) и направление в пространстве, другими словами – значения его проекций r_x, r_y, r_z на оси координат OX, OY и OZ, или углы между радиус-вектором и осями координат. При рассмотрении движения на плоскости:

Здесь за мы принимаем модуль радиус-вектора , а r_x и r_y являются его проекциями на оси координат, все три величины скалярны, x и y – координаты точки А.

Из этих уравнений видно, что между координатным и векторным способами задания положения точки существует связь.

Источник