Векторный способ сложения кпв

Как решать задачи на КПВ?

Кривая производственных возможностей (сокращённо КПВ) — это одна из простейших экономических моделей, часто используемых на олимпиадах различного уровня. Поэтому важно понимать, как устроена модель, и уметь решать задачи на КПВ.

Кривая производственных возможностей показывает максимально возможный объём производства благ при полном и эффективном использовании фиксированного количества ресурсов при неизменной технологии.

Рассмотрим основные предпосылки модели.

1. Ресурсы ограничены, и общество должно их использовать эффективно. Следствием ограниченности ресурсов является ограниченность благ (товаров и услуг). Потребности же людей практически безграничны. Здесь возникает необходимость экономического выбора. Кривая показывает все точки, в которых экономика функционирует в условиях полного использования всех имеющихся ресурсов.
2. Все факторы производства постоянны как в количестве, так и в качестве, то есть технология производства в рассматриваемом периоде неизменна.

Рассмотрим пример.

Пусть экономика может производить два товара — Guns&Butter («оружие и масло»). Так называется политика государства, основанная на стремлении осуществить как военную, так и внутриэкономическую программы.

Точки В, D и С лежат на КПВ, такие соотношения достижимы при полном использовании ресурсов.

Они являются эффективными по Парето, так как нельзя увеличить объём производства одного блага, не уменьшая объём производства другого.

Точка X лежит выше КПВ, то есть количества товаров в ней больше, чем при максимальном использовании ресурсов. Это значит, что точка X недостижима. Точка A достижима, но не лежит на КПВ, так как не удовлетворяет условию полного использования всех ресурсов.

Всё, что под графиком КПВ, — это область производственных возможностей (всевозможные наборы благ, которые можно произвести).

КПВ имеет отрицательный наклон в силу ограниченности ресурсов. Это одна из основных экономических проблем, которая говорит о том, что принципиально невозможно одновременно и полностью удовлетворить все потребности всех людей. Таким образом, каждому индивиду постоянно приходится выбирать. Цена этого выбора называется альтернативной стоимостью.

Альтернативная стоимость (АС)

Альтернативная стоимость — стоимость наилучшей из отвергнутых альтернатив. Для любого принятого решения альтернативная стоимость измеряется как расходы на осуществление этого решения плюс упущенные доходы от отвергнутого варианта (доходы от принятого решения в расчёт не принимаются).

В контексте КПВ АС — количество одного товара, от которого нужно отказаться для производства дополнительной единицы другого. При построении КПВ принято считать, что альтернативная стоимость товаров растёт или хотя бы не изменяется. Данное предположение отражает тот факт, что ресурсы для производства одних благ часто довольно специфичны и плохо подходят для производства других. В результате КПВ оказывается вогнутой.

Если альтернативные издержки перехода с производства одного товара на другой равны в любой точке КПВ, то КПВ становится не округлой, а линейной функцией, что значительно упрощает модель.

Для поиска АС перехода в новую точку на КПВ — замещения «игрека» «иксом» (ещё этот показатель называют нормой продуктовой трансформации) —используют формулу:

АИ(x) =Δy/Δx

Очевидно, что для линейной функции этот показатель совпадает с тангенсом угла наклона функции или производной.

Для наглядности предлагаем рассмотреть на графике переход из A в B.

Сдвиги КПВ, границы производственных возможностей. Качественные причины различных сдвигов

1) Сдвиг вправо, увеличение возможностей. Причины: технология, научно-технический прогресс.

2) Сдвиг влево, резкое уменьшение производственных возможностей. Причины: войны, потрясения, эпидемии, природные катаклизмы.

3) Факторы, влияющие на наклон КПВ, то есть изменяющие альтернативные издержки производства. Влияют на количество только одного из товаров. Например, уменьшение ресурсов, необходимых для производства одного из товаров.

Абсолютное и сравнительное преимущество:

При сравнении экономик разных стран важно учитывать не только количества ресурсов, но и технологии производства.

Абсолютное преимущество. Под абсолютным преимуществом понимается способность страны/компании/региона произвести больше товара при равных затратах ресурсов. Принцип абсолютного преимущества был введен Адамом Смитом в XVIII веке.

Сравнительное преимущество. Сравнительным преимуществом в производстве какого-либо товара обладает та страна, которая может произвести его с меньшими альтернативными издержками. То есть та, у которой альтернативная стоимость производства этого товара меньше. Заметим, что ни одна страна не может обладать сравнительным преимуществом в производстве сразу всех товаров. Принцип сравнительного преимущества был введён Давидом Рикардо в начале XIX века.

Сложение КПВ

Один из самых распространённых видов задач на КПВ — задачи о нескольких производителях, объединяющих свои усилия.

Наиболее простой способ сложения КПВ — рассмотреть ситуацию, когда все заводы производят только один товар (У), и постепенно наращивать производство второго (Х). В таком случае начать производство необходимо с того завода, где АС товара Х меньше всего, так как при равном сокращении производства У на данном заводе прирост Х будет максимальным. Это, в свою очередь, значит, что мы должны «двигаться» вдоль наиболее пологой из КПВ заводов, потом (когда весь ресурс этого завода будет уходить на производство Х) вдоль самой пологой из оставшихся и т. д. В терминах предыдущего пункта товар должна производить в первую очередь та страна, у которой есть сравнительное преимущество в его производстве. В результате КПВ будет иметь вид выпуклой вверх ломанной линии.

Пример. Предположим, у нас есть две фирмы, которые производят два товара X и Y, и их границы производственных возможностей линейны и задаются как y = 10–0,5x и y = 20–2x соответственно.

Сначала построим графики КПВ для каждой фирмы в отдельности. Переходим к построению совокупной КПВ. Найдём первую точку нашей кривой: она будет соответствовать максимальному возможному производству товара Y.

Допустим, обе фирмы решили производить только товар Y и отказаться от производства товара X, тогда будет произведено 20 + 10 = 30 единиц товара Y — точка (0,30). Аналогично получаем точку (30,0), когда фирмы полностью отказываются от производства товара Y.

Допустим, обе фирмы производят только товар Y. Тогда для того, чтобы произвести первую единицу товара X, выгоднее будет переходить на производство товара X той фирме, у которой альтернативная стоимость товара X меньше. В нашей ситуации альтернативная стоимость производства X на первой фирме равна половине единицы товара Y, а на второй — двум единицам Y. Альтернативная стоимость производства единицы товара X, выраженная в единицах товара Y, геометрически равна тангенсу угла наклона границы производственных возможностей (в случае, когда КПВ задана линейно), то есть

AC(1): 1X=0,5Y; АC(2): 1X=2Y.

Выгоднее производить первую единицу товара X той фирме, где придётся отказаться от меньшего количества товара Y, то есть где альтернативная стоимость меньше. Следовательно, сначала выгоднее производить товар X на первой фирме.

Так мы будем перераспределять ресурсы с производства Y на X, используя производственные возможности первой фирмы, пока не достигнем производства точки (20,20). Больше 20 единиц товара X произвести первая фирма не может (её возможности по производству товара X ограничены).

Значит, чтобы увеличить производство товара X до 21 единицы, нужно будет отказываться от производства Y уже второй фирме, где альтернативная стоимость производства товара X больше. Далее до найденной ранее точки (30,0) товар X будет производиться с альтернативной стоимостью, равной стоимости двух единиц товара Y. В итоге получаем суммарную границу производственных возможностей двух фирм:

Источник

2.3 Сложение некоторых КПВ

1. Рассчитываем суммарные крайние точки (или одну крайнюю точку)
2. Рассматриваем $AC$ какого-нибудь товара на всех участках всех КПВ
3. Располагаем эти участки в соответствии с законом возрастающей $AC$

Пример 1
Найдите суммарную КПВ двух стран:

Данные КПВ являются линейными функциями.

Рассчитаем суммарные крайние точки данных КПВ: по $y$: $10+5=15$, по $x$: $5+10=15$.

Рассмотрим $AC_x$: первая функция обладает постоянной (ибо функция линейная) $AC_x=\dfrac<10><5>=2$; вторая функция обладает также постоянной $AC_x$, но уже равной $\dfrac<5><10>=\dfrac<1><2>$. Первый участок суммарной КПВ будет представлен функцией с меньшей $AC_x=\dfrac<1><2>$, а на втором участке $AC_x=2$.

Пример 2
Найдите суммарную КПВ двух стран:

В данном случае мы имеем одну линейную и одну вогнутую КПВ.

Крайние точки суммарной КПВ: по $y$: $5+10=15$, по $x$: $5+10=15$.

Теперь перейдем к оценке альтернативной стоимости. У линейной функции она постоянна и по $x$ равна $\dfrac<5><5>=1$. $AC_x$ вогнутой функции не является константой. Она возрастает на при движении вдоль оси $x$ ($tg$ углов наклона касательных, проведенных к каждой точке данного графика возрастают). Для построения суммарной КПВ необходимо расположить участки в соответствии с законом возрастающей альтернативной стоимости. Поэтому нам надо найти на вогнутой КПВ участки, где $AC_x>1$ и где $AC_x 1$.

При совместном производстве благ тот или иной товар будет производить тот субъект, у которого это получается лучше всего (то есть с наименьшими альтернативными издержками). В такой ситуации ресурсы каждого производителя будут использоваться максимально эффективно, ибо они будут задействованы в создании того блага, для которого подходят лучше всего (например, если мы выращиваем морковь и ловим рыбу, то в данном случае лопатой будут копать, а не использовать её вместо весла). Поэтому, работая вместе, две страны смогут произвести больше благ, чем при индивидуальной работе.

Источник

2.3 Сложение некоторых КПВ

1. Рассчитываем суммарные крайние точки (или одну крайнюю точку)
2. Рассматриваем $AC$ какого-нибудь товара на всех участках всех КПВ
3. Располагаем эти участки в соответствии с законом возрастающей $AC$

Пример 1
Найдите суммарную КПВ двух стран:

Данные КПВ являются линейными функциями.

Рассчитаем суммарные крайние точки данных КПВ: по $y$: $10+5=15$, по $x$: $5+10=15$.

Рассмотрим $AC_x$: первая функция обладает постоянной (ибо функция линейная) $AC_x=\dfrac<10><5>=2$; вторая функция обладает также постоянной $AC_x$, но уже равной $\dfrac<5><10>=\dfrac<1><2>$. Первый участок суммарной КПВ будет представлен функцией с меньшей $AC_x=\dfrac<1><2>$, а на втором участке $AC_x=2$.

Пример 2
Найдите суммарную КПВ двух стран:

В данном случае мы имеем одну линейную и одну вогнутую КПВ.

Крайние точки суммарной КПВ: по $y$: $5+10=15$, по $x$: $5+10=15$.

Теперь перейдем к оценке альтернативной стоимости. У линейной функции она постоянна и по $x$ равна $\dfrac<5><5>=1$. $AC_x$ вогнутой функции не является константой. Она возрастает на при движении вдоль оси $x$ ($tg$ углов наклона касательных, проведенных к каждой точке данного графика возрастают). Для построения суммарной КПВ необходимо расположить участки в соответствии с законом возрастающей альтернативной стоимости. Поэтому нам надо найти на вогнутой КПВ участки, где $AC_x>1$ и где $AC_x 1$.

При совместном производстве благ тот или иной товар будет производить тот субъект, у которого это получается лучше всего (то есть с наименьшими альтернативными издержками). В такой ситуации ресурсы каждого производителя будут использоваться максимально эффективно, ибо они будут задействованы в создании того блага, для которого подходят лучше всего (например, если мы выращиваем морковь и ловим рыбу, то в данном случае лопатой будут копать, а не использовать её вместо весла). Поэтому, работая вместе, две страны смогут произвести больше благ, чем при индивидуальной работе.

Источник

5.2 Алгоритм построения общей КПВ

Даны 2 линейных КПВ с различными альтернативными издержками производства двух товаров: А и В

Посчитаем альтернативные издержки (АИ) для каждого блага на каждом поле (они пригодятся нам чуть позже):

То есть альтернативная стоимость каждой единицы товара В составляет 2 единицы товара А

Поле 1	Поле 2

Найдем максимальные координаты товаров А и В, которые можно суммарно произвести суммарно на обоих полях. Это легко сделать простым суммированием максимальных координат соответствующих товаров на отдельных полях. Суммарное максимальное количество товара А составляет 300 (200 + 100), товара B такое 3000 (100 + 200).

Далее мы начнем двигаться от точки с максимальным производство товара А, то есть точки с координатами (0;300). Мы будем последовательно увеличивать производство товара B от нуля до его максимума. В процессе увеличения производства товара В нам предстоит решить задачу, на каком поле производить товар В в первую очередь, на каком поле производить потом, и так далее, до тех пор, пока товар В не будет произведен на всех полях. Делая это, мы будем держать в голове простое правило: товар В мы произведем в первую очередь на том поле, где альтернативные издержки производства товара В наименьшие. Потом мы опять выберем поле, где альтернативные издержки товара В наименьшие из оставшихся полей, и так далее. Данный алгоритм работает для случая множества полей.

Случай с двумя полями является наиболее простым. Для случая двух полей от верхней точки мы вначале отложим поле с минимальными альтернативными издержками товара В, а затем оставшееся второе поле.

От максимальной координаты товара А (точки с координатами 0;300) мы построим второе поле, поскольку на нам альтернативные издержки товара В равны 0.5, что меньше, чем альтернативные издержки на первом поле, которые равны 2.

Для этого от точки с координатами (0;300) мы отложим 100 единиц А вниз и 200 единиц В вправо (это в точности координаты второго поля). Сделав это, мы попали в промежуточную точку с координатами (200;200).

Далее от получившейся промежуточной точки мы откладываем следующее поле с чуть более высокими альтернативными издержками товара В (в нашей случае это оставшееся поле).

Для этого из промежуточной точки мы отложим 200 единиц А вниз и 100 единиц В вправо (это в точности координаты оставшегося первого поля). После этого мы попадем в точку максимального производства товара В, то есть в точку с координатами (300;0).

Получившийся график и представляет собой объединенную КПВ. Этот график обладает интересной особенностью. Если просто покоординатно сложить точки, лежащие на отдельных КПВ то мы получим место точек, ограниченных жирной линией на графике ниже.

Однако график общей КПВ лежит выше данной линии. То есть при объединении полей общая экономика получает область, которая была недоступна ранее, когда поля рассматривались как независимые. Данный эффект имеет место в силу разной эффективности производства благ на разных полях. Как было показано в главе «Альтернативная стоимость», рациональные индивиды, делая выбор, минимизируют альтернативные затраты. Экономика, имея два поля, будет иметь возможность для специализации. В этих условиях экономика будет стараться производить товар на том поле, на котором имеет более низкие альтернативные издержки его производства (на экономическом языке имеет сравнительное преимущество). Промежуточная точка на графике называется точкой полной специализации, когда экономика производит один товар полностью на одном поле, а другой товар на втором поле.

Мы подошли к следующему важному разделу модели КПВ – специализация и обмен.

Идея специализации проста – каждая экономика старается производить тот товар, в котором имеет сравнительное преимущество, то есть меньшие альтернативные издержки. Данная идея легла в основу первой теории международной торговли, развитой англичанином Давидом Рикардо.

Концепция сравнительного преимущества резко контрастирует с идеей абсолютного преимущества. Абсолютное преимущество – способность производить больше товара с теми же затратами ресурсов, или же (определение наоборот) способность производить то же количество товара с меньшими затратами ресурсов. Иначе говоря, абсолютное преимущество это более высокая производительность.

Источник