Векторный способ решения задач по геометрии

Векторный метод в школьном курсе геометрии

Разделы: Математика

Традиционно одной из самых сложных тем школьного курса геометрии является тема “Векторный метод в решении задач”. В то же время понятие вектора является одним из фундаментальных понятий современной математики. Конец XIX и начало XX столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Будучи материалом математическим, векторный аппарат находит широкое применение в первую очередь в физике и других прикладных науках. Векторный метод является одним из широко употребляемых, красивых и современных методов решения задач, особенно в сочетании с координатным методом.

В данной работе рассмотрены основные свойства векторов, которые следует отнести к векторной алгебре. Приведена классификация задач и приемов их решения с использованием векторного метода.

Целью статьи является не столько пересказ учебного материала, отраженного во всех школьных учебниках геометрии, сколько акцентуация внимания на некоторых вопросах, которые вызывают наибольшую методическую трудность, вопросах, активизирующих мыслительную деятельность обучающихся, могущих послужить основой для небольших учебных исследований.

1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА.

Термин вектор употребляют в геометрии по крайней мере в двух смыслах. С одной стороны, вектором называют направленный отрезок, с другой стороны, вектор понимают так, как понимают в физике “векторные величины”. Различают соответственно “конкретный вектор” – направленный отрезок и “абстрактный (или, как принято говорить, свободный) вектор”.

Направленным отрезком называют отрезок, у которого указан порядок концов, т.е. один конец назван началом, а другой конец – концом этого отрезка. Направленный отрезок называют вектором. Вообще, вместо векторов – направленных отрезков часто рассматривают “векторы” – упорядоченные пары точек: одна точка начало, другая – конец, не исключая их совпадения.

Свободным вектором (или просто вектором) называется абстрактный объект, связанный с равными направленными отрезками тем, что каждый из равных направленных отрезков считается представителем данного свободного вектора, а неравные направленные отрезки представляют собой неравные свободные векторы. Так понимаемый вектор называется свободным потому, что он представляется направленным отрезком независимо от того, от какой точки он отложен. Равные направленные отрезки и представляют один и тот же вектор.

В частности, все нуль–векторы представляют один и тот же нуль–вектор, который обозначается .

Вектор характеризуется направлением и длиной (модулем). Задать вектор, – значит, задать направление и длину. Длина нуль–вектора равна 0, а направления он не имеет. Изображается нуль вектор любой точкой, которая рассматривается, как его начало и конец. Считается, что нулевой вектор параллелен и перпендикулярен любому вектору.

2. ОСНОВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ И СВОЙСТВА.

Равные и коллинеарные векторы

Свойства векторов полезно рассматривать в аналогии со свойствами скалярных величин. Например, свойства равных векторов в аналогии со скалярными величинами представлены в следующей таблице:

скаляры а=а рефлексивность a=bb=a симметричность , a=b, b=c a=c транзитивность

Общеизвестно следующее свойство равных веторов: если четырехугольник ABCD – параллелограмм, то .

Введя этот признак, можно озадачить учащихся такими вопросами:

1. О равенстве каких еще векторов, можно говорить применительно к параллелограмму ABСD?
2. Можно ли утверждать, что при наличии пары равных векторов можно получить и другую пару также равных векторов?
3. Можно ли найти равные векторы в каких–либо пространственных телах (например, в параллелепипеде, призме)?

И еще одно свойство: от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один (сравните со свойствами параллельных прямых).

Задача. Как видно из свойств равных векторов, любые два вектора, равных между собой, но не лежащих на одной прямой, принадлежат некоторому параллелограмму. Что можно сказать о векторах, составляющих основания трапеции? Что можно сказать о векторах, принадлежащих основаниям усеченной призмы?

Учащиеся должны продемонстрировать понимание разницы между равными векторами и коллинеарными. К тому же необходимо “увидеть” не только сонаправленные, но и противоположные векторы.

Сумма векторов. Умножение вектора на число.

Рассмотрим свойства суммы также в аналогии со скалярами:

Весьма полезно после этого разобрать, какие из рассмотренных свойств имеют аналогию со свойствами произведения скалярных величин, а какие – нет.

Координаты вектора. Скалярное произведение.

Проекцией v_x вектора на ось х называется длина его составляющей по этой оси, взятая со знаком “+”, если направление вектора совпадает с направлением оси, и со знаком “–” в противном случае. Заметим, что проекция вектора на ось равна длине этого вектора умноженной на косинус угла между вектором и осью.

При разложении вектора на составляющие вдоль осей координат в декартовой системе координат вводится понятие координат вектора как коэффициентов разложения: если то вектор имеет координаты . При этом длина вектора равна

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их абсолютных величин на косинус угла между ними: .

В декартовой системе координат скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов: Весьма полезным при изучении данной темы может оказаться рассмотрение аналогичных определений в трехмерной модели пространства:

3. КЛЮЧЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОТРАБОТКИ ПОНЯТИЙНОГО АППАРАТА И ОСНОВНЫХ ОПЕРАЦИЙ С ВЕКТОРАМИ.

4. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ

Векторный аппарат используется при доказательстве некоторых теорем и решении многих задач. Сила векторного метода заключается в том, что он позволяет легко делать обобщения, роль которых в математике трудно переоценить. Хотя следует иметь в виду, что векторный метод не является универсальным и к решению некоторых задач может быть неприменим или малоэффективен.

После изучения основных понятий и фактов, целесообразно провести обобщающий урок, результатом которого должна стать следующая таблица, используемая в дальнейшем при решении задач более высокого уровня.

Компонентами умения использовать векторный метод являются следующие умения:

переводить геометрические термины на язык векторов и наоборот (осуществлять переход от соотношения между фигурами на соотношения между векторами и наоборот);
выполнять операции над векторами (находить сумму, разность векторов);
представлять вектор в виде суммы, разности векторов;
преобразовывать векторные соотношения;
переходить от соотношения между векторами к соотношениям между их длинами;
выражать длину вектора через его скалярный квадрат;
выражать величину угла между векторами через их скалярное произведение.

Классифицируем наиболее употребительные задачи, при решении которых применяется векторный метод.

Доказательство параллельности прямых и отрезков.
Задачи на доказательство деления отрезка в данном отношении.
Доказательство принадлежности трех точек одной прямой.
Доказательство перпендикулярности прямых и отрезков.
Задачи на обоснование зависимости между длинами отрезков.
Задачи на вычисление величины угла.

Ключом к решению задач указанных типов является приведенная выше таблица.

5. КЛЮЧЕВЫЕ ЗАДАЧИ, СПОСОБСТВУЮЩИЕ ФОРМИРОВАНИЮ УМЕНИЯ ИСПОЛЬЗОВАТЬ ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД.

1) Отрезки АВ и СD параллельны. Записать это соотношение в векторной форме.
2) Точка С принадлежит отрезку АВ и АВ:ВС=m:n. Что означает это на векторном языке?

7.8. Докажите.

Задачи указанных типов формируют умения и навыки, являющиеся компонентами векторного метода решения задач. В процессе решения этих задач вырабатываются критерии использования векторов для доказательства различных зависимостей. Приведем несколько примеров задач, при решении которых использован векторный метод.

Источник

Программно-методический материал для спецкурса по теме «Векторный метод решения задач».

Программно-методический материал для спецкурса

по теме «Векторный метод решения задач».

Программу составил учитель высшей категории:

Боженко Оксана Васильевна

МБОУ СОШ № 112. Г.Новосибирска

Программно-методический материал для спецкурса

по теме «Векторный метод решения задач».

Цель, обоснование данного спецкурса…………………………..1-2

Темы, изучаемые по общеобразовательной программе……….. 2

Тематическое планирование данного спецкурса……………….. 3

Общая схема решения геометрических задач векторным методом -3

Основные векторные соотношения…………………………….. 4

Цели изучения векторного метода в школьном курсе:

дать эффективный метод решения различных геометрических задач (как аффинных; так и метрических) и доказательства теорем;

показать широкое применение векторного аппарата в других областях знаний: технике, физике, химии, лингвистике и т.д.;

использовать векторный метод при решении задач с целью формирования у учащихся умения выполнять обобщение и конкретизацию;

формировать у учащихся такие качества мышления, как гибкость (не шаблонность), целенаправленность, рациональность, критичность и др.

Цель изучения векторного метода на спецкурсе:

Расширить, углубить знания по теме «Вектора»;

Усилить значимость применения векторного метода при решении экзаменационных задач.

Обоснование необходимости данного спецкурса

Я работаю в общеобразовательной школе со специализированными классами инженерного направления. На геометрии использую учебники «Геометрия 7-9 классы», авторы: Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. «Геометрия 10-11 классы», авторы: Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.

На геометрию в общеобразовательной школе по программе отводится 68 часов в год в любом классе. На векторный метод в 9 классе даётся 20 часов, в 10 классе – 7 часов, в 11 классе – 15 часов. За это время можно только познакомиться с этой темой. Для того чтобы ученики начали применять её к решению задач необходима большая тренировка, что можно сделать за счёт спецкурса. На спецкурсе можно рассмотреть задачи повышенного уровня, выходящие за рамки школьного курса и конечно экзаменационные задачи.

Работая над этой темой, я для себя открыла много новых интересных задач.

В 9 классе по общеобразовательной программе изучаем:

Понятие вектора, равные вектора.

Сложение и вычитание векторов.

Умножение вектора на число.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.

Скалярное произведение векторов.

Применение векторов к решению задач.

В 10 классе по общеобразовательной программе изучаем:

Понятие вектора в пространстве.

Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.

Компланарные векторы. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.

Координаты вектора в пространстве.

В 11 классе по общеобразовательной программе изучаем:

Повторяем координаты вектора в пространстве.

Угол между векторами.

Скалярное произведение векторов.

Вычисление углов между прямыми и плоскостями.

Спецкурс рассчитан на три года обучения

Примерное тематическое планирование спецкурса

9 класс – 6 часов

Повторение основных правил школьного курса геометрии по теме «Вектора».

Решение задач на использование правила скалярного произведения векторов и перпендикулярности прямых.

Принадлежность трех точек одной прямой.

Поворот вектора на заданный угол.

Деление отрезка в заданном отношении.

Параллельность прямых в пространстве.

Перпендикулярность прямых в пространстве.

Расстояние между двумя точками.

Расстояние от точки до прямой.

Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.

11 класс – 6 часов

Угол между двумя прямыми – 2 часа

Угол между прямой и плоскостью – 2 часа

Угол между плоскостями – 2 часа

Общая схема решения геометрических задач векторным методом:

Прочитать и проанализировать условия, выполнить рисунок.

Согласно условию и требованию задачи, ввести в рассмотрение векторы.

Выразить через них векторы, необходимые для решения задачи.

«Перевести» условие и требование задачи на язык векторов.

С помощью преобразований над полученными векторными соотношениями придти от условия задачи к требованию.

Полученному векторному соотношению дать геометрическое истолкование.

Для овладения векторным методом решения задач важно уметь геометрически истолковать основные векторные соотношения.

Векторный метод решения планиметрических задач эффективен в задачах на вычисление расстояний и углов, на доказательство параллельности и перпендикулярности прямых, принадлежности трех точек одной прямой, геометрических тождеств и неравенств.

1) Повторение основных правил школьного курса геометрии по теме «Вектора».

2) Задача для разминки на повторение правила сложения и вычитания векторов.

Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

3) Решение задач на использование правила скалярного произведения векторов и перпендикулярности прямых.

Е.И. Лященко «Лабораторные и практические работы по МПМ»

В трапеции АВС D углы А и В равны по 90°, а стороны АВ=2, ВС=1, А D =4. Докажите, что диагонали этой трапеции взаимно перпендикулярны.

Задача решается несколькими способами и показывается, что векторный метод решения задачи более простой.

что и требовалось доказать.

Выясняется, что нужно доказать на геометрическом языке.

Что для этого достаточно доказать на векторном языке?

Какую операцию осуществили?

Есть ли в условии задачи векторы и ?

Каким образом можно получить векторы и ?

Записывается скалярное произведение векторов.

Выполняются преобразования, и получается, что .

Переводится векторное равенство на геометрический язык.

Вывод: По аналогии с первым уроком строится каждый следующий урок. Вначале урока должна быть задача на разминку (на знание основных правил общеобразовательной программы), это может быть задача из учебника. Дальше в каждой задаче придерживаемся общей схемы решения геометрических задач векторным методом, так как в основном подобраны задачи, где в условии про вектора ничего не говорится. Ученики сами должны ввести в решение вектора и если нужно систему координат.

Р.К. Гордин, «Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы»

В прямоугольнике ABCD опущен перпендикуляр BK на диагональ AC. Точки M и N середины отрезков AK и CD соответственно. Докажите, что угол BMN прямой.

Решение:

О. П. Зеленяк, «Решение задач по планиметрии»

В равнобедренном треугольнике медианы, проведённые к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны. Найдите угол между боковыми сторонами этого треугольника.

Ортоцентр треугольника. Центроид треугольника.

Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника или их продолжений.

Центроид – точка пересечения медиан в треугольнике.

Р.К.Гордин: задача, рекомендованная на первой очной сессии из раздела «Красивые задачи по геометрии»

Пусть Н – точка пересечения высот треугольника АВС, О – центр описанной окружности. Докажите, что

Рассмотрим сумму векторов Отрезок ОК – диагональ ромба ОАКВ. Поэтому Следовательно, Тогда, если то точка М принадлежит высоте, проходящей через

вершину С. Таким образом, если то точка Н ₁ принадлежит каждой высоте треугольника АВС. Следовательно, точки

Н ₁ и Н совпадают.

Повторяем задачу № 788 из учебника «Геометрия 7-9 классы», авторы: Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.

И используем её решение в следующей задаче №3.

Дан произвольный треугольник АВС. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника АВС.

Отсюда следует, что если мы построим сумму векторов по правилу многоугольника, то получим треугольник, удовлетворяющий условиям задачи.

Кроме этого, повторяем ещё правило

где С – середина отрезка АВ

(О – произвольная точка).

По правилу треугольника Складывая эти равенства, получаем: Так как точка С – середина отрезка АВ, то Таким образом,

Р.К.Гордин: задача, рекомендованная на первой очной сессии из раздела «Красивые задачи по геометрии»

Пусть М – точка пересечения медиан треугольника АВС, О – произвольная точка. Докажите, что

Пусть А ₁ , В ₁ , С ₁ – середины сторон ВС, АС, АВ треугольника АВС. Сложив почленно равенства

получим, что

Следовательно

Эта же задача есть в учебнике «Геометрия 10-11 классы», авторы: Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.

Решение:

, поэтому

Р.К.Гордин: задача, рекомендованная на первой очной сессии из раздела «Красивые задачи по геометрии»

Из медиан АА ₁ , ВВ ₁ и СС ₁ треугольника АВС составлен треугольник KMN , а из медиан КК ₁ , ММ ₁ и NN ₁ треугольника KMN – треугольник PQR . Докажите, что третий треугольник подобен первому и найдите коэффициент подобия.

Пусть АА ₁ , ВВ ₁ и СС ₁ – медианы треугольника АВС, а КК ₁ , ММ ₁ и NN ₁ – медианы треугольника KMN , причём

Если PQR – такой треугольник, что

Аналогично для векторов

О. П. Зеленяк, «Решение задач по планиметрии»

В треугольнике АВС точка N лежит на стороне АВ и AN = 3 NB . Медиана АМ пересекается с CN в точке О. Найти АВ, если АМ = CN =7 и

Возведём в квадрат

Переходя к модулям векторов, получим:

Коллинеарность векторов. Принадлежность трех точек одной прямой.

Р.К.Гордин: задача, рекомендованная на первой очной сессии из раздела «Красивые задачи по геометрии»

Точки М, К, N и L – середины сторон соответственно АВ, ВС, С D и DE пятиугольника ABCDE , P и Q – середины отрезков соответственно MN и KL . Докажите, что отрезок PQ в четыре раза меньше стороны AE и параллелен ей.

Какую линию описывает середина отрезка между двумя пешеходами, равномерно идущими по прямым дорогам?

Пусть А и В – точки, в которых находились пешеходы в начале движения. Через некоторое время они оказались в точках А ₁ и В ₁ соответственно. Если М и М ₁ – середины отрезков АВ и А ₁ В ₁ , то где А ₂ и В ₂ – точки, в которых находились пешеходы ещё через некоторое время, а М ₂ – середина отрезка А ₂ В ₂ . Поскольку скорости пешеходов постоянны, то

Поэтому

Следовательно, точки М ₁ и М ₂ лежат на прямой, проходящей через точку М.

Урок 5 (О. П. Зеленяк, «Решение задач по планиметрии»)

Поворот вектора на заданный угол.

На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD построены внешним образом правильные треугольники BCK и DCL . Докажите, что треугольник AKL – правильный.

На сторонах CA и CB треугольника ABC вне его построены квадраты CAA ₁ C ₁ и CBB ₁ C ₂ . Докажите, что медиана треугольника CC ₁ C ₂ , проведенная из вершины C , перпендикулярна стороне AB и равна её половине

Деление отрезка в заданном отношении.

О. П. Зеленяк, «Решение задач по планиметрии»

На сторонах AB , BC и AC треугольник ABC взяты соответственно точки M , N и K так, что AM : MB = 2 : 3, AK : KC = 2 : 1, BN : NC = 1 : 2. В каком отношении прямая MK делит отрезок AN ?

Точка D лежит на стороне BC треугольника ABC , а точка O расположена на отрезке AD так, что AO : OD = 9 : 4. Прямая, проходящая через вершину В и точку О, пересекает сторону АС в точке Е, причём ВО : ОЕ = 5 : 6. Найдите отношение, в котором точка Е делит сторону АС.

Дополнительные красивые задачи:

Р.К.Гордин: задачи, рекомендованные на первой очной сессии из раздела «Красивые задачи по геометрии»

Две взаимно перпендикулярные хорды АВ и С D окружности с центром О пересекаются в точке М. Докажите, что

Пусть Р и Q – середины хорд АВ и С D соответственно. Тогда четырёхугольник ОРМ Q – прямоугольник. Следовательно

На берегу круглого озера растут 6 сосен. Известно, что если взять такие два треугольника, что вершины одного совпадают с тремя из сосен, а вершины другого – с тремя другими, то в середине отрезка, соединяющего точки пересечения высот треугольников, на дне озера находится клад. Неизвестно только, как нужно разбить данные шесть точек на две тройки. Сколько раз придётся опускаться на дно озера, чтобы наверняка отыскать клад?

Пусть ABCD Е F – произвольный шестиугольник, вписанный в окружность с центром О, Н ₁ и Н ₂ – ортоцентры треугольников ABC и DEF соответственно, P – середина отрезка H ₁ H ₂ . Тогда

Из последнего равенства следует, что положение точки Р не зависит от разбиения вершин шестиугольника на две тройки. Значит, на дно озера достаточно опуститься один раз.

Дан остроугольный треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС во внешнюю сторону построены равные прямоугольники АВМ N и LBCK так, что LB = AB . Докажите, что прямые AL , CM и NK пересекаются в одной точке.

Пусть G и F – середины AL и CM соответственно, O – точка пересечения прямых AL и CM . Боковые стороны подобных равнобедренных треугольников CBM и ABL соответственно перпендикулярны, значит, перпендикулярны и их основания CM и AL . Поэтому BFOG – прямоугольник.

Из единственности разложения вектора по двум неколлинеарным векторам следует, что О – середина отрезка KN . Значит, прямые AL , CM и NK пересекаются в точке O . Что и требовалось доказать.

Докажите, что если углы треугольника равны , и , то:

Параллельность прямых в пространстве.

(ЕГЭ). Точка Е – середина ребра АА ₁ куба ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ .

Докажите, что сечение куба плоскостью DEB ₁ является ромбом.

(ЕГЭ). В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 6. Точка L – середина ребра SC . Тангенс угла между прямыми BL и SA равен 0,5.

Пусть О – центр основания пирамиды. Докажите, что прямые AS и OL параллельны.

Перпендикулярность прямых в пространстве.

(ЕГЭ). Докажите, что в правильной треугольной призме ABCA ₁ B ₁ C ₁ прямая, проходящая через середины отрезков АА ₁ и ВС ₁ , перпендикулярна этим отрезкам.

(ЕГЭ). В правильной треугольной призме ABCA ₁ B ₁ C ₁ стороны основания равны 3, боковые ребра равны 6, точка D – середина ребра СС ₁ .

Пусть прямые В ₁ D и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что угол ЕАВ – прямой .

Расстояние между двумя точками

Коряков А.Г., Прокофьев А.А. «Многогранники: типы задач и методы их решения».

Рёбра правильной четырехугольной призмы равны 1, 4 и 4. Найдите расстояние от вершины до центра основания призмы, не содержащего эту вершину.

В единичном кубе ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ точки E , K и L – середины ребер АА ₁ . CD и В ₁ С ₁ соответственно, а точка М и N расположены соответственно на отрезках ЕК и LK так, что ЕМ : МК = 2 : 3, а LN : NK = 1 : 4. Найдите длину отрезка MN .

В правильной треугольной призме ABCA ₁ B ₁ C ₁ на ребрах АВ и В ₁ С ₁ выбраны точки Е и К соответственно так, что АЕ : ЕВ = 1 : 2, а В ₁ К : КС ₁ = 5 : 1. Найдите длину отрезка ЕК, сторона основания призмы равна 6, а боковое ребро равно 2.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ E ₁ F ₁ , все ребра которой равны 2, найдите расстояние от точки А до точек: а) С ₁ ; б) D ₁ ; в) М, где М – центр грани ЕЕ ₁ D ₁ D .

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ E ₁ F ₁ , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точками А и Е ₁ .

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , сторона основания и боковое ребро которой равны 4 и 5 соответственно. Найдите расстояние между точками Е и К, если известно, что Е лежит на боковом ребре SB и SE = 2ВЕ,а К – на стороне основания AD и АК = 3 KD .

Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую.

Коряков А.Г., Прокофьев А.А. «Многогранники: типы задач и методы их решения».

В треугольной пирамиде ABCD при вершине D все плоские углы равны , AD = 2, BD = 4, CD = 3. Точки Р, М и К являются серединами ребер AD , BD и BC соответственно. Найдите расстояние от точки М до прямой РК.

Тогда имеем следующую таблицу умножения векторов базиса:

, то в силу коллинеарности векторов и получаем

Выразим вектор через базисные векторы используя правило многоугольника

значит

Теперь выразим вектор

Из условия перпендикулярности векторов

Используя таблицу умножения базисных векторов, получаем уравнение

В единичном кубе ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ найдите расстояние от точки А до прямой: а) В ₁ D ₁ ; б) А ₁ С; в) В D ₁ .

В правильной треугольной призме ABCA ₁ B ₁ C ₁ , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой ВС ₁ .

(МИОО). В правильной треугольной призме ABCA ₁ B ₁ C ₁ высота равна 2, сторона основания равна 1. Найдите расстояние от точки В ₁ до прямой АС ₁ .

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ E ₁ F ₁ , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой: а) D Е; б) D ₁ Е ₁ ; в) В ₁ С ₁ ; г) ВЕ ₁ ; д) ВС _1; е) СЕ ₁ ; ж) С F ₁ ; з) СВ ₁ .

(ЕГЭ). В правильной шестиугольной призме ABCDEFA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ E ₁ F ₁ , стороны оснований которой равны 4, а боковые ребра равны 3, найдите расстояние от точки С до прямой D ₁ Е ₁ .

(МИОО). В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 1, а боковое ребро равно . Найдите расстояние от точки С до прямой SA .

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Пусть дана плоскость , содержащая два неколлинеарных вектора

Точка А принадлежит плоскости , точка М вне плоскости ,

Чтобы найти расстояние от точки М до плоскости , то есть длину перпендикуляра МР представим вектор

Неизвестные коэффициенты х, у находятся из условия перпендикулярности вектора векторам

Искомое расстояние выражается следующим образом:

Задача – Р.К. Гордин, решение – О.В.Боженко

В единичном кубе ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ найти расстояние от точки А ₁ до плоскости ВКС ₁ , где точка К – середина ребра DC .

Ребро куба ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ равно . Найдите расстояние от вершины С до плоскости В DC ₁ .

(ЕГЭ). В правильной четырехугольной призме ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ стороны основания равны 1, боковые ребра равны 2. Точка Е – середина ребра АА ₁ . Найдите расстояние от вершины А до плоскости ВЕ D ₁ .

(ЕГЭ). В правильной треугольной призме ABCA ₁ B ₁ C ₁ точка М – середина ребра АА ₁ , точка К – середина ребра ВВ ₁ . Найдите расстояние от вершины А ₁ до плоскости СМК, если АА ₁ = 6, АВ = 4.

(ЕГЭ). В правильной треугольной призме ABCA ₁ B ₁ C ₁ стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 3. Точка D – середина ребра СС ₁ . Найдите расстояние от вершины С до плоскости АВ ₁ D .

(ЕГЭ). В правильной четырехугольной пирамиде SABCD основание АВС D – квадрат со стороной 6, а боковое ребро равно 9. На ребре SA отмечена точка М так, что АМ = 6.

а) Постройте перпендикуляр из точки S на плоскость ВСМ.

б) Найдите расстояние от вершины S до плоскости ВСМ.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра.

Коряков А.Г., Прокофьев А.А. «Многогранники: типы задач и методы их решения».

Так как задачу данного типа можно свести к задаче о вычислении расстояния от точки до плоскости, то здесь уместно применить формулу расстояния от точки до плоскости, применяя координатный метод.

Рассмотрим векторный подход к решению данного типа. Пусть данные прямые с направляющим вектором и с направляющим вектором Точки А ₁ и А ₂ лежат на прямых и соответственно,

Чтобы определить расстояние между прямыми и , то есть найти длину их общего перпендикуляра Р ₁ Р ₂ представим вектор в виде

Неизвестные коэффициенты х, у находятся из условия перпендикулярности вектора векторам и :

Искомое расстояние выражается следующим образом:

В большинстве случаев при решении подобных задач удобнее ввести декартову систему координат, выразить векторы через её базисные векторы и провести все вычисления в координатной форме.

В единичном кубе ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ найти расстояние между диагональю куба В D ₁ и диагональю грани АВ ₁ .

Введём прямоугольную систему координат

Тогда А(0; 0; 0), В(0; 1; 0), В ₁ (0; 1; 1), D ₁ (1; 0; 1).

Пусть Е F – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых BD ₁ и АВ ₁ , то есть

и воспользуемся формулами для координат точки, которая делит данный отрезок в заданном отношении. Получим

Так как вектор должен быть перпендикулярным векторам то имеем систему уравнений:

Угол между двумя прямыми

Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся.

Коряков А.Г., Прокофьев А.А. «Многогранники: типы задач и методы их решения».

В кубе ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ найти угол между прямыми EF и PQ , где E , F , P , Q – середины рёбер DD ₁ , ВС, АА ₁ и В ₁ С ₁ соответственно.

откуда находим

Подставляя полученные значения в формулу, имеем:

В кубе ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ к диагонали А ₁ С провели перпендикуляры из вершин А и В. Найдите угол между этими перпендикулярами.

(ЕГЭ), а) Докажите, что в правильной треугольной призме ABCA ₁ B ₁ C ₁ прямая, проходящая через середины отрезков АА ₁ и ВС ₁ , перпендикулярна этим отрезкам.

б) В правильной треугольной призме ABCA ₁ B ₁ C ₁ , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АА ₁ и ВС ₁ .

(ЕГЭ). Точка Е – середина ребра АА ₁ куба ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ .

а) Докажите, что сечение куба плоскостью DEB ₁ является ромбом.

б) Найдите угол между прямыми DE и BD _1.

(МИОО). Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA ₁ B ₁ C ₁ равна 8. Высота этой призмы равна 6. Найдите угол между прямыми СА ₁ и АВ ₁ .

Угол между прямой и плоскостью

Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Коряков А.Г., Прокофьев А.А. «Многогранники: типы задач и методы их решения».

Угол между прямой и плоскостью можно вычислить по формуле

где — вектор нормали плоскости

— направляющий вектор прямой

прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда

Координаты вектора нормали можно вывести, если известны координаты трех точек плоскости M , N , P , не лежащих на одной прямой. Для этого находим координаты двух векторов плоскости

Предположим, что вектор с координатами неизвестные числа, которые нужно найти) перпендикулярен любому вектору плоскости , в том числе векторам Его координаты ищутся из условий равенства нулю скалярных произведений с векторами из следующей системы уравнений:

Эта система имеет бесконечное множество решений, так как векторов, перпендикулярных плоскости , бесконечно много. Выразив, например, из системы координаты p и q через r , выберем ненулевой вектор взяв в качестве r какое-нибудь число (обычно такое число, чтобы в координатах не было дробей или радикалов).

В единичном кубе ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ найти угол между прямой AD ₁ и плоскостью , проходящей через точки А ₁ , Е и F , где точка Е – середина ребра С ₁ D ₁ , а точка F лежит на ребре DD ₁ , так, что D ₁ F = 2 DF .

Введём прямоугольную систему координат.

— вектор, перпендикулярный плоскости искомый угол, тогда

Вектор найдем из условий перпендикулярности этого вектора векторам т.е. из условий

или

Пусть х = 2, тогда у = — 4, z = 3 и

Так как то

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все рёбра которой равны 1, найти угол между прямой DE , где Е – середина апофемы SF грани ASB , и плоскостью ASC .

Так как прямая OD перпендикулярна плоскости ASC , то вектор

является вектором нормали плоскости ASC .

Подставляем полученные значения в формулу

(ЕГЭ). В прямоугольном параллелепипеде ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ . АВ = 2, AD = АА ₁ = 1. Найдите угол между прямой АВ ₁ и плоскостью АВС ₁ .

(ЕГЭ). В правильной четырехугольной призме ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ , стороны основания которой равны 5, а боковые рёбра 7, найдите угол между прямой АВ ₁ и плоскостью В DD ₁ .

(ЕГЭ). В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра: АВ = 20, SC = 29. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и ВС.

(ЕГЭ). В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра: АВ = 12, SC = 13. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой АМ, где М – точка пересечения медиан грани SBC .

(ЕГЭ). В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , в которой АВ = 3, SA = 7, точка Е – середина ребра SB . Найдите угол между прямой СЕ и плоскостью SBD .

Угол между плоскостями

Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.

В кубе ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ найти угол между плоскостями АВ ₁ С и ВС ₁ D .

Векторы являются векторами нормали плоскостей АВ ₁ С и ВС ₁ D соответственно, так как Тогда

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки В, А ₁ и D ₁ .

б) Найдите угол между плоскостями ВА ₁ С ₁ и ВА ₁ D ₁ .

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины его ребер АВ, В ₁ С ₁ , А D .

б) Найдите угол между плоскостью А ₁ BD и плоскостью, проходящей через середины ребер АВ, В ₁ С ₁ , AD .

(ЕГЭ). В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1.

а) Постройте прямую пересечения плоскости SAD с плоскостью, проходящей через точку В перпендикулярно прямой AS .

б) Найдите угол между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку В перпендикулярно прямой AS .

(ЕГЭ). В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1. Точка F середина ребра AS .

а) Постройте прямую пересечения плоскостей SAD и BCF .

б) Найдите угол между плоскостями SAD и BCF .

(ЕГЭ). В прямоугольном параллелепипеде ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ известны ребра АВ = 35, AD = 12, СС ₁ = 21.

а) Докажите, что высоты треугольников АВ D и А ₁ BD , проведенные к стороне BD , имеют общее основание.

б) Найдите угол между плоскостями АВС и А ₁ DB .

а) Пусть прямые В ₁ D и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что угол ЕАВ – прямой .

б) Найдите угол между плоскостями АВС и А DB ₁ .

Моя работа преследовала цель расширить и углубить знания по теме «Вектора». В результате проделанной работы, проведён анализ учебной и дополнительной литературы. Подобран большой список дополнительных задач, выходящих за рамки школьной программы и задач для подготовки к экзаменам. Многие задачи имеют решение.

Р.К. Гордин, «Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы»

Источник