Векторный способ решения стереометрических задач

Исследовательская работа по теме «Векторно-координатный метод решения задач по стереометрии»

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 42

Векторно-координатный метод решения задач по стереометрии

Авторы: ученик 11 класса

Руководитель: учитель математики

Векторно-координатный метод решения задач на сегодняшний день самый эффективный и при рациональном использовании позволяет решить фактически все виды математических, физических, астрономических и технических задач. Кроме того, координатный метод в рамках школьной программы используется достаточно ограниченно и неполно. В своей работе мне бы хотелось показать, как решаются стереометрические задачи, если на них взглянуть с иной точки зрения, то есть рассмотреть задачу в трехмерной системе координат.

Раскрыть суть данного метода, используя основные формулы, изученные в школьном курсе геометрии и дополнительный материал;

Показать применение метода на несложных, элементарных задачах;

Решить сложные стереометрические задачи при помощи векторно-координатного метода, сравнить и показать его преимущества перед стандартным методом.

Проблема в том, что ученик пользуется нерациональным методом. Он не очень лёгок… Всё это сопровождается нехваткой времени, так как геометрическое задание одно из последних, и до окончания экзамена, как правило, остаётся совсем немного.

Актуальность работы заключается в том, что изучив данный метод, представленный в работе, мы сможем решать задачи части С , а именно задание С2.

Для начала рассмотрим, в чем же заключается метод координат .

Теория. Основные формулы метода координат.

Существует два способа решения задач по стереометрии.

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить C2 хочется.

Координатный метод решения заключается во введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними).

Алгоритм применения метода координат к решению геометрических задач сводится к следующему:

Выбираем в пространстве систему координат из соображений удобства выражения координат и наглядности изображения.

Находим координаты необходимых для нас точек.

Решаем задачу, используя основные задачи метода координат.

Переходим от аналитических соотношений к геометрическим.

Если в пространстве введена система координат OXYZ , каждой точке пространства ставится в соответствие тройка чисел ( x , y , z ).

Середина отрезка между точками M ₁ ( x ₁ ; y ₁ ; z ₁ ) и M ₂ ( x ₂ ; y ₂ ; z ₂ ) имеет координаты

Расстояние между точками и M ₁ ( x ₁ ; y ₁ ; z ₁ ) и M ₂ ( x ₂ ; y ₂ ; z ₂ ) равно

Множество точек (х; у; z ), координаты которых удовлетворяют уравнению

Множество точек (х, у, z ), координаты которых удовлетворяют уравнению

ах + by + cz + d = 0 ( а, Ь, с и d — некоторые числа) есть плоскость.

ах + by + cz + d =0 , равно

Косинус угла между прямыми, если известны координаты направляющих векторов, вычисляется по формуле

Простейшие задачи на применение метода координат.

Дан треугольник с вершинами A , B , C . Найти медиану AM

Дано: ;

Найдем координаты точки как середины отрезка ВС :

Найдем длину отрезка :

.

Ответ: .

Решение стереометрических задач С2 из ЕГЭ геометрическим и векторно-координатным методами.

С помощью векторно- координатного метода можно быстро и успешно решать стереометрические задачи ЕГЭ части С2. В качестве примеров разберём несколько заданий ЕГЭ последних лет и решим двумя способами: геометрическим и координатно-векторным.

В единичном кубе ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ найдите расстояние от точки A до плоскости BDC _1.

Решение (геометрический способ)

Обозначим O и O ₁ – центры граней куба. Четырёхугольник АО ₁ С ₁ О – параллелограмм, так как АО|| О ₁ С ₁ и АО = О ₁ С ₁ . Следовательно, АО ₁ параллельна плоскости BC ₁ D (по признаку параллельности прямой и плоскости).

Расстояние от точки A до плоскости BC ₁ D равно расстоянию от точки O ₁ до этой плоскости, т.е. высоте O ₁ E треугольника OO ₁ C ₁ . Имеем

Найдём площадь треугольника ОО ₁ С ₁ . S = OO ₁ ∙ O ₁ C ₁ S = ∙1∙ =

Площадь этого треугольника можно найти другим способом: S = ∙ OC ₁ O ₁ E

Решение (векторно-координатным способ)

Составим уравнение плоскости, проходящей через точки В(0;1;0), D (1;0;0) и С(1;1;1). Для этого подставим координаты этих точек в уравнение плоскости

Ax + By + Cz + D = 0. Получим систему уравнений

Отсюда находим уравнение – Dx – Dy + Dz + D = 0 или х + у — z — 1 = 0 . По формуле находим расстояние от точки A (0;0;0) до плоскости BDC ₁ :

Проанализировав два способа решения каждой задачи, можно сделать вывод, что векторно-координатный способ проще. Можно сказать, что он алгоритмичен, а это экономит время на экзамене, что важно.

Задача C2: уравнение плоскости через определитель.

Т еорем а. Пусть даны координаты трёх точек, через которые надо провести плоскость: M 1 = ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ); M 2 = ( x ₂ , y ₂ , z ₂ ); M 3 = ( x ₃ , y ₃ , z ₃ ). Тогда уравнение этой плоскости можно записать через определитель:

Затем определитель раскрывается по схеме и получается стандартное уравнение плоскости :

где числа A , B , C и D — коэффициенты, которые, собственно, и требуется найти.

Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

Составляем определитель и приравниваем его к нулю:

Вот и все! Уравнение плоскости готово! Как видите, составлять уравнение плоскости очень просто. Подставляем точки в матрицу, считаем определитель — и все, уравнение готово.

Площадь ортогональной проекции многоугольника.

Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекций.

S A 1 B 1 C 1 = S ABC · Cos α

где α – угол между плоскостями ABC , A 1 B 1 C 1

Задача.

Ребро куба равно 2 см. Через диагональ основания под углом 45 ° к плоскости основания проведена плоскость, пересекающая боковое ребро. Найти площадь сечения.

Пусть плоскость сечения проведена через диагональ BD и пересекает боковое ребро ( CC 1 ) в точке T .

По вышеуказанной теореме S BDT = S BCD

где треугольник BCD – проекция треугольника BDT на плоскость основания, α – угол между плоскостями BCD , BDT .

В своей работе мы рассмотрели различные способы решения геометрических задач, используя известные методы. Анализируя все решения, сделали для себя важные выводы:

А) Во-первых, благодаря такой работе снимается психологический барьер перед поиском решения задачи. Ведь если знаешь, что задача имеет несколько способов решения, то смелее берешься за нее. Постепенно, решая задачу за задачей, приобретаешь некоторый опыт, что позволяет развить математическое чутье.

Б) Во-вторых, подробный разбор способов решения задач является хорошим подспорьем для того, чтобы освежить в памяти пройденный материал.

В) В-третьих, при такой работе над задачей формируется логическое мышление, развивается интуиция, систематизируются знания.

Г) В-четвертых, овладевая основными методами решения задач, можно рационально планировать поиск решения задачи, выполнять полезные преобразования условия задачи, а также использовать известные приемы познавательной деятельности — наблюдение, сравнение, обобщение.

Все перечисленное создает условия для формирования навыков исследовательской деятельности, способствующей накоплению творческого потенциала. Думаем, что данная работа поможет нам успешно сдать Единый Государственный Экзамен по математике.

Мы не смогли рассмотреть все примеры задач на применение векторно-координатного метода, но он успешно применяется при вычислении углов между прямой и плоскостью, между прямыми, а также для отыскания расстояний от точки до плоскости, между плоскостями и прямыми.

Список использованной литературы.

1. А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта http://ege-study.ru

2. «Применение метода координат в решении простейших задач» http://interneturok.ru

3. Задача C2: уравнение плоскости через определитель http://www.berdov.com

4. Площадь ортогональной проекции многоугольника http://egemaximum.ru

Источник

Урок- мастер-класс «Решение задач стереометрии векторно-координатным методом»

Открытый урок — мастер класс в 11 информационно-технологическом профильном классе по теме:

«Векторно-координатный метод решения задач

1) рассмотреть векторно-координатный метод с применением скалярного произведения векторов для решения задач на нахождение углов

2) показать преимущество этого метода по сравнению с традиционными методами;

3) показать эффективность использования этого метода на экзамене.

Оборудование: ноутбук, мультимедийный проектор, презентация, 13 нетбуков.

Ход урока: Класс разделен на 4 разноуровневые группы обучающихся.

У учащихся на нетбуках презентация по теме для использования при

Учитель: При подготовке к ЕГЭ по математике, задача С ₂ вызывает у учащихся много вопросов. Сегодня мы хотим показать, что использование векторно-координатного метода решения задач такого типа упрощает решение, дает возможность по новому взглянуть на возможность решить эти задачи на экзамене.

1 группа : Задания по теории: угол между скрещивающимися прямыми, прямой и плоскостью, между плоскостями. Способы введения системы координат в кубе, треугольной призме, четырехугольной пирамиде, координаты точек.

Определение 1: Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимися прямым.

Определение2: Если прямая a пересекает плоскость α и не перпендикулярна плоскости α, то углом между прямой и плоскостью α называется угол между прямой a и ее проекцией на плоскость α.

Из определения угла ϕ между прямой и плоскостью следует, что 0 º ≤ ϕ ≤ 90 º. Но угол между векторами может принимать значения от 0 º до 180 º. Поэтому возможны два случая:

1) 0

( )= + ϕ; + ϕ = —

Определение 3: Углом между плоскостями называется угол между прямыми, по которым плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух данных плоскостей, пересекает эти плоскости. ( угол ϕ)

Координаты вершин куба в прямоугольной системе координат в пространстве со стороной равной единице:

А(1;0;0),В(0;0;0) , С(0;1;0),Д(1;1;0),А ₁ (1;0;1),В ₁ (0;0;1), С ₁ (0;1;1), Д ₁ (1;1;1) .

Координаты треугольной призмы в прямоугольной системе координат в

пространстве со стороной равной единице:

А( 0;0;0) , В ( 0; 1; 0), С ( ;0), А ₁ ( 0; 0; 1), В ₁ (0; 1; 1),С ₁ (

Координаты четырехугольной пирамиды в прямоугольной системе координат в пространстве со стороной основания ,равной единице:

А(1; 0; 0),В(0;0;0), С(0;1;0),Д(1;1;0), S (

Алгоритм решения задач на нахождение угла между скрещивающимися прямыми векторно-координатным методом:

Угол между скрещивающимися прямыми заменяем углом между направляющими векторами этих прямых , который можно вычислить по теореме о скалярном произведение векторов по формуле:

Cos φ = , где | a * в| – модуль скалярного произведения векторов , а и – длины этих векторов.

Алгоритм решения задач на нахождение угла между прямой и плоскостью векторно-координатным методом :

Угол между прямой и плоскостью вычисляется по формуле

, где – направляющий вектор прямой, — вектор нормали к плоскости, а и – длины этих векторов.

Вектор нормали к плоскости находим из условия его перпендикулярности двум непараллельным векторам плоскости. Чтобы найти координаты вектора нормали необходимо рассмотреть два скалярных произведения и приравнять их нулю.

Алгоритм решения задач на нахождение угла между плоскостями векторно- координатным методом: .

Углом между плоскостями считают угол между векторами нормали к плоскостям , который можно вычислить по формуле

= , где и –векторы нормали к плоскостям, а

– длины этих векторов

В это время учащиеся во 2, 3, 4 группах решают задачи.

2 группа : Задача1.

В правильной треугольной призме АВСА ₁ В ₁ С ₁ все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми АВ и В ₁ С.

1) Введем систему координат как на рисунке.

3 группа: Задача 2.

В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямой АС и плоскостью А S Д.

1) Введем систему координат как на рисунке.

Координаты ( -1; 1; 0).Найдем координаты вектора нормали ( х; у; z) к плоскости АSД. Для этого выберем в плоскости АSД два непараллельных вектора .

Координаты векторов

х =0, при z =1, х= у =0.И так ,

4 группа: Задача 3.

В кубе АВСДА1В1С1Д1 точки Е и F – середины ребер соответственно А1В1 и А1Д1. Найдите косинус угла между плоскостями АЕF и ВДД1.

. Плоскость ВДД ₁ – это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости, поэтому – это вектор нормали к плоскости ВДД _1.

А ( 0; 0; 0;), С(1; 1; 0) , тогда = ₁ ( 1; 1; 0).

2) Найдем вектор нормали ₂ (х; у; z) к плоскости АЕF. Выберем в этой плоскости два непараллельных вектора и

3) Определим координаты векторов: А(0; 0; 0) , Е ( ½; 0; 1), F (0; ½; 1).

4) Запишем скалярные произведения ₂ * и ₂ * и приравняем их нулю

1/2х + 0у + z = 0, z = — 1/2х,

0х + ½ у + z = 0; z = — 1/2у, при х = у =1, z = — ½.

И так, вектор нормали ₂ ( 1; 1 ; — ½)

5) Найдем косинус угла между ₁ и _2.

Старшие в группах оформляют решение на доске. Учащиеся обсуждают решение задач, осуществляя взаимопроверку.

2. Самостоятельная работа. Решение задач из сборников ЕГЭ, С2.

3. Подведение итогов урока: И так, мы рассмотрели разнообразные виды задач на нахождение угла между скрещивающимися прямыми, прямой и плоскостью, между плоскостями. За 30 минут решили 3 вида задач, убедились, что векторно – координатный метод позволяет сэкономить время на экзамене.

4.Домашнее задание: задачи из сборника ЕГЭ, С2.

Источник