Векторный способ определения скорости

Векторный способ задания движения точки

Введение

Положение точки однозначно определяется заданием ее радиус-вектора , который изменяется со временем при движении точки. При векторном способе задания движения считается, что задан закон изменения радиус-вектора от времени . Векторный способ задания движения применяется для описания движения в общем виде, используя векторные формулы.

Например, для точки, движущейся с постоянным ускорением , радиус-вектор определяется одной векторной формулой:
,
где – постоянные векторы, не зависящие от времени. Применяя формулы, мы можем найти кинематические величины в векторном виде, не зависимо от выбранной системы координат.

При координатном способе задания движения, мы выбираем систему координат, и в ней задаем зависимости координат точки от времени . Таким образом, координатный способ привязан к выбранной системе координат, а векторный способ не зависит от системы координат.

Связь векторного способа задания движения с координатным осуществляется по формуле:
,
где – единичные векторы (орты) в направлении осей выбранной системы координат.

Основные формулы при векторном способе задания движения

Скорость точки

Выводы приведенных ниже формул и изложение теории приводится на странице “Кинематика материальной точки”. Здесь мы приводим основные результаты этой теории в векторном виде.

Итак, нам задана зависимость радиус-вектора материальной точки M от времени :
.

Дифференцируя радиус-вектор по времени, мы находим вектор скорости точки:
.
Модуль вектора скорости:
,
где в круглых скобках обозначено скалярное произведение векторов.

Скорость точки направлена по касательной к траектории. Пусть – единичный вектор в направлении касательной. Тогда скорость может быть направленной либо вдоль вектора :
,
либо в противоположную сторону:
.
Чтобы охватить эти два случая, вводят алгебраическую величину скорости :
.
Это скалярная величина, равная по абсолютной величине модулю скорости, но она может принимать как положительные, так и отрицательные значения:
.
При , вектор скорости сонаправлен с . При он направлен в противоположную сторону. Величина является проекцией вектора скорости на направление . Поскольку – это единичный вектор, то
.

Единичный вектор в направлении касательной к траектории:
.

Ускорение точки

Дифференцируя вектор скорости по времени, находим вектор ускорения точки:
.
Модуль вектора ускорения:
.

Разложим вектор ускорения на две взаимно перпендикулярные компоненты: – параллельную касательной к траектории; и – перпендикулярную к ней.
.
Компонента называется касательным, или тангенциальным ускорением, а компонента – нормальным ускорением.

Тангенциальное ускорение

Алгебраическая величина тангенциального ускорения – это скалярная величина, равная проекции полного ускорения на направление единичного вектора , касательного к траектории:
.
Тогда вектор тангенциального ускорения можно записать в следующем виде:
.
Величина может быть как положительной, так и отрицательной. При положительном , вектор касательного ускорения сонаправлен с единичным вектором . При отрицательном – вектор касательного ускорения направлен в противоположную сторону. Модуль равен модулю касательного ускорения:
.
Алгебраическая величина тангенциального ускорения равна производной по времени от алгебраической величины скорости:
.
Производная по времени модуля скорости:
.
Если между векторами скорости и ускорения острый угол, то движение ускоренное. Если между ними тупой угол, то движение замедленное.

Нормальное ускорение

Вектор нормального ускорения:
.
; .
Единичный вектор в направлении главной нормали траектории:
.
Вектор перпендикулярен вектору и направлен к центру кривизны траектории. Нормальное ускорение всегда направлено к центу кривизны траектории. Поэтому, если выразить его через единичный вектор главной нормали:
,
то . Поэтому .
Модуль нормального ускорения равен проекции полного ускорения на направление главной нормали:
.
Имеют место следующие формулы:
.

Радиус кривизны траектории:
.
Центр кривизны траектории:
.

Единичный вектор в направлении бинормали:
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 06-03-2016 Изменено: 29-01-2020

Источник

19 Определение скорости точки при задании ее движения: координатным, векторным и естественным способами.

Векторный способ: вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса вектора.

Координатный способ: проекции скорости точки на оси координат равна первым производным от соответствующих координат точки по времени.

Естественный способ: численная величина скорости в данный момент времени равна первой производной от расстояния S(t).

20 Определение ускорения точки при задании ее движения: координатным, векторным и естественным способами.

Векторный способ: вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиус вектора точки по времени.

Координатный способ: проекция ускорения точки на какую-либо координатную ось равна первой производной от проекции ее на эту ось или второй производной от соответствующей координаты точки по времени.

Естественный способ: проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости деленному на радиус кривизны в данной точке кривой.

21 Классификация движений.

а) равномерное аn=0 ат=0 а=0

б) неравномерное аn=0 ат=/0 a= ат=dv/dt=d^2S/dt^2

в) равнопеременное аn=0 ат=const

а) равномерное аn=/0 aт=0 a=an=v^2/p

изменяется вектор ускорения и направление по нормали к траектории(к центру)

б) неравномерное аn=/0 ат=/0

в) равнопеременное ат=const V=V0+- атt S=S0+V0t+- (атt^2)/2

22 Поступательное движение

Такое движение твердого тела, при котором любая прямая проведенная в этом теле перемещается, оставаясь параллельной самой себе.

При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю скорости и ускорения.

23 Вращательное движение.

Такое движение твердого тела, при котором все его точки лежащие на некоторой прямой, называемой осью вращения, остаются неподвижными.

1 угол поворота – между двумя полуплоскостями проведенными через ось вращения.

Угол «+» если откладывается против хода часовой стрелки от неподвижной плоскости.

2 Угловая скорость тела числено равна первой производной от угла поворота по времени.

3 Угловое ускорение

4 Быстрота движения , n

24 Скорости и ускорения точек вращающегося тела.

25 Частные случаи вращательного движения твердого тела.

26 Плоскопараллельное движение. Уравнения плоскопараллельного движения.

Такое движение тела, при котором все его точки перемещаются в плоскостях параллельных некоторой неподвижной плоскости.

27 Определение скоростей и ускорений при плоскопараллельном движении.

28 Мгновенный центр скоростей. Определение мгновенного центра скоростей.

Мгновенный центр скоростей — такая , неизменно связанная с плоской фигурой точка, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Мгновенный центр скоростей находится на пересечении перпендикуляров восстановленных из данной точки к линиям действия их скоростей.

Скорость любой точки тела, лежащей в сечении площади, равна ее вращательной скорости вокруг мгновенного центра скоростей.

29 Частные случаи определения мгновенного центра скоростей.

1 Тело катится без скольжения по некоторой неподвижной плоскости. Мгновенный центр находится в точке соприкосновения линий.

2 скорости А и В параллельны, но не перпендикулярны к линии АВ. VA=VB

Такое состояние движения тела называется мгновенно поступательным.

30 Сложное движение точки.

Такое движение точки, при котором точка (тело) участвует в двух или нескольких движениях.

Теорема о сложении скоростей.

При сложном движении абсол. Скорость равна геометрической сумме относительной и переносной скорости.

Теорема о сложении ускорений.

Равно удвоенному векторному произведению переносной угловой скорости на относительную скорость точки.

Случаи, когда ускорение Кориолиса равно нулю.

1vотн=0, точка не движется, а находится на поверхности.

2wпер=0, когда перенос движения не является вращательным.

3vотн // wпер, sin=0

31 Динамика – раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел под действием сил.

Основные законы динамики:

Изолированная от внешних воздействий материальная точка сохраняет состояние покоя или равновесия.

2)Основной закон динамики: F=ma

Ускорение, сообщаемое материальной точки, приложенной к ней силе пропорционально модулю этой силы и совпадает с ней по направлению.

3)Закон равенства действия и противодействия.

Две материальные точки действуют друг на друга силами, равными по модулю и направлению вдоль прямой, соединяющей эти точки в противоположную сторону.

32 Дифференциальные уравнения движения точки: естественный способ и координатный способ задания движения.

33 Первая задача динамики.

Зная m точки и уравнение ее движения найти модуль и направление равнодействующих сил, приложенных к точке.

34 Вторая (основная) задача динамики. (решается интегрированием)

Зная силы, действующие на точки, ее m, начальную скорость, начальное положение, определить уравнение ее движения.

35 Колебательное движение материальной точки.

1)Свободные колебания совершаются под действием восстанавливающейся силы.

2)Затухающие под действием двух сил восстанавливающейся и силы сопротивления.

а под действием восстанавливающей, возмущающей и силы сопротивления.

б под действием восстанавливающей и возмущающей сил.

Свободные гармонические колебания.

Происходят при условии, если на точку отклоненную от равновесия действует восстанавливающая сила, которая стремится вернуть ее положение равновесия.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Источник

iSopromat.ru

Скоростью точки называют кинематическую меру ее движения, равную производной по времени от радиус-вектора этой точки в рассматриваемой системе отсчета.

Скорость относительно выбранной системы отсчета это одна из основных характеристик движения точки.

Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

Рассмотрим перемещение точки за малый промежуток времени Δ t:

средняя скорость точки за промежуток времени D t.

Наш видеоурок по теме:

Скорость точки в данный момент времени

Скорость точки при векторном способе задания движения

Положение движущейся точки М относительно системы отсчета в момент времени t₁ определяется радиус-вектором r.

В другой момент времени t₁=t+Δt точка займет положение М₁ с радиус-вектором r₁.

За время Δt радиус-вектор движущейся точки изменится на

Средней скоростью v_ср называется отношение изменения радиус-вектора Δr к изменению времени Δt.

Скорость точки равна первой производной по времени от ее радиус-вектора.

Скорость точки при координатном способе задания движения

Разложим радиус-вектор и скорость на составляющие, параллельные осям координат. Получим

Проекция скорости точки на какую-либо координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей координаты этой точки.

Модуль скорости и направляющие косинусы равны:

Если точка движется в плоскости, то, выбрав оси координат Ox и Oy в этой плоскости, получим:

Для прямолинейного движения точки координатную ось, например ось Ox, направляем по траектории. Тогда

Скорость точки при естественном способе задания движения

Пусть скорость точки задана естественным способом, т.е. заданы траектория точки и закон ее движения по траектории s=f(t).

Вычислим скорость точки. Используем радиус-вектор r. движущейся точки, начало которого находится в неподвижной точке O₁

— единичный вектор, направленный по касательной к траектории в сторону возрастающих расстояний.

При ds>0 направления векторов τ и dr совпадают.

Если точка движется в сторону убывающих расстояний, то ds

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник