Векторный способ описания закона движения
В кинематике существуют три способа аналитического описания движения материальной точки в пространстве. Рассмотрим их, ограничившись случаем движения материальной точки на плоскости, что позволит нам при выборе системы отсчёта задавать лишь две координатные оси.
1. Векторный способ.
В этом способе положение материальной точки `A` задаётся с помощью так называемого радиус-вектора `vecr`, который представляет собой вектор, проведённый из точки `O`, соответствующей началу отсчёта выбранной системы координат, в интересующую нас точку `A` (рис. 1). В процессе движения материальной точки её радиус-вектор может изменяться как по модулю, так и по направлению, являясь функцией времени `vecr=vecr(t)`.
Геометрическое место концов радиус-вектора `vecr(t)` называют траекторией точки `A`.
В известном смысле траектория движения представляет собой след (явный или воображаемый), который «оставляет за собой» точка `A` после прохождения той или иной области пространства. Понятно, что геометрическая форма траектории зависит от выбора системы отсчёта, относительно которой ведётся наблюдение за движением точки.
Пусть в процессе движения по некоторой траектории в выбранной системе отсчёта за промежуток времени `Delta t` тело (точка `A`) переместилось из начального положения `1` с радиус-вектором `vec r_1` в конечное положение `2` с радиус-вектором `vec r_2` (рис. 2). Приращение `Deltavec r` радиус-вектора тела в таком случае равно: `Deltavec r = vec r_2- vec r_1`.
Вектор `Deltavec r`, соединяющий начальное и конечное положения тела, называют перемещением тела.
Отношение `Delta vec r//Delta t` называют средней скоростью (средним вектором скорости) `vec v_»cp»` тела за время `Delta t`:
`vecv_»cp»=(Deltavecr)/(Delta t)` (1)
Вектор `vecv_»cp»` коллинеарен и сонаправлен с вектором `Deltavec r`, так как отличается от последнего лишь скалярным неотрицательным множителем `1//Delta t`.
Предложенное определение средней скорости справедливо для любых значений `Delta t`, кроме `Delta t=0`. Однако ничто не мешает брать промежуток времени `Delta t` сколь угодно малым, но отличным от нуля.
Для точного описания движения вводят понятие мгновенной скорости, то есть скорости в конкретный момент времени `t` или в конкретной точке траектории. С этой целью промежуток времени `Delta t` устремляют к нулю. Вместе с ним будет стремиться к нулю и перемещение `Delta vec r`. При этом отношение `Deltavec r//Delta t` стремится к определённому значению, не зависящему от `Delta t`.
Величина, к которой стремится отношение `Deltavec r//Delta t` при стремлении `Delta t` к нулю, называется мгновенной скоростью`vec v`:
`vec v =(Delta vec r)/(Delta t)` при `Delta t -> 0`.
Теперь заметим, что чем меньше `Delta t`, тем ближе направление `Deltavec r` к направлению касательной к траектории в данной точке. Следовательно, вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в данной точке в сторону движения тела.
В дальнейшем там, где это не повлечёт недоразумений, мы будем опускать прилагательное «мгновенная» и говорить просто о скорости `vec v` тела (материальной точки).
Движение тела принято характеризовать также ускорением, по которому судят об изменении скорости в процессе движения. Его определяют через отношение приращения вектора скорости `Delta vec v` тела к промежутку времени `Delta t`, в течение которого это приращение произошло.
Ускорением `veca` тела называется величина, к которой стремится отношение `Delta vec v//Delta t` при стремлении к нулю знаменателя `Delta t`:
`vec a =(Delta vec v)/(Delta t)` при `Delta t -> 0` (2)
При уменьшении `Delta t` ориентация вектора`Delta vec v` будет приближаться к определённому направлению, которое принимается за направление вектора ускорения `vec a`. Заметим, что ускорение направлено в сторону малого приращения скорости, а не в сторону самой скорости!
Напомним, что в системе СИ единицами длины, скорости и ускорения являются соответственно метр (м), метр в секунду (`»м»//»с»`) и метр на секунду в квадрате ( `»м»//»с»^2`).
2. Координатный способ.
В этом способе положение материальной точки `A` на плоскости в произвольный момент времени `t` определяется двумя координатами `x` и `y`, которые представляют собой проекции радиус-вектора $$ \overrightarrow
3. Естественный (или траекторный) способ.
Этот способ применяют тогда, когда траектория материальной точки известна заранее. На заданной траектории `LM` (рис. 5) выбирают начало отсчёта – неподвижную точку `O`, а положение движущейся материальной точки `A` определяют при помощи так называемой дуговой координаты `l`, которая представляет собой расстояние вдоль траектории от выбранного начала отсчёта `O` до точки `A`. При этом положительное направление отсчёта координаты `l` выбирают произвольно, по соображениям удобства, например так, как показано стрелкой на рис. 5.
Движение тела определено, если известны его траектория, начало отсчёта `O`, положительное направление отсчёта дуговой координаты `l` и зависимость $$ l\left(t\right)$$.
Следующие два важных механических понятия – это пройденный путь и средняя путевая скорость.
По определению, путь `Delta S` — это длина участка траектории, пройденного телом за промежуток времени `Delta t`.
Ясно, что пройденный путь – величина скалярная и неотрицательная, а потому его нельзя сравнивать с перемещением `Delta vec r`, представляющим собой вектор. Сравнивать можно только путь `Delta S` и модуль перемещения `
|Delta vecr|`. Очевидно, что `Delta S >=|Deltavec r|`.
Средней путевой скоростью `v_»cp»` тела называют отношение пути `Delta S` к промежутку времени `Delta t`, в течение которого этот путь был пройден:
`v_»cp»=(Delta S)/(Delta t)` (3)
Определённая ранее средняя скорость `v_»cp»` (см. формулу (1)) и средняя путевая скорость отличаются друг от друга так же, как `Deltavec r` отличается от `Delta S`, но при этом важно понимать, что обе средние скорости имеют смысл только тогда, когда указан промежуток времени усреднения `Delta t`. Само слово «средняя» означает усреднение по времени.
Городской троллейбус утром вышел на маршрут, а через 8часов, проехав в общей сложности `72` км, возвратился в парк и занял своё обычное место на стоянке. Какова средняя скорость `vec v_»cp»` и средняя путевая скорость `v_»cp»` троллейбуса?
Поскольку начальное и конечное положения троллейбуса совпадают, то его перемещение `Delta vecr` равно нулю: `Deltavecr=0`, следовательно, `vecv_»ср»=Deltavecr//Deltat=0` и `|vecv_»ср»|=0`. Но средняя путевая скорость троллейбуса не равна нулю:
`v_»cp»=(Delta S)/(Delta t)=(72 «км»)/(8 «ч»)=9 «км»//»ч»`.
Источник
Векторный способ описания закона движения
Движение. Виды движений. Описание движения. Система отсчета.
Механическим движением тела (точки) называется изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени.
А) Равномерное прямолинейное движение материальной точки.
Б) Равноускоренное прямолинейное движение материальной точки.
В) Движение тела по дуге окружности с постоянной по модулю скоростью.
Г) Гармоническое колебательное движение. Важным случаем механического движения являются колебания, при которых параметры движения точки (координаты, скорость, ускорение) повторяются через определенные промежутки времени.
1. Векторный способ описания движения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Векторный способ описания движения – это описание изменения радиус-вектора материальной точки в пространстве с течением времени.
Рассмотрим движение точки М в некоторой системе отсчета Oxyz (рис.1). Зададим радиус-вектор точки r — вектор, соединяющий начало координат с этой точкой.
При движении точки M вектор r будет с течением времени изменяться, т.е. будет каким-то образом зависеть от времени. Эта зависимость r = r ( t ) представляет собой закон движения в векторном виде.
В процессе движения конец радиус-вектора будет описывать траекторию, а его изменение – перемещение s точки.
2. Координатный способ описания движения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Координатный способ описания движения – описание изменения во времени координат точки в выбранной системе отсчета.
В декартовой системе координат положение точки определяется тройкой чисел ( x , y , z ) — ее декартовыми координатами.
Чтобы задать закон движения точки, необходимо знать значения ее координат в каждый момент времени. Закон движения в координатном виде в общем случае представляет собой систему трех уравнений: x = x ( t ), y = y ( t ), z = z ( t )
Между векторным и координатным способом описания движения существует непосредственная связь, а именно: числовые значения проекций радиус-вектора движущейся точки на координатные оси системы с тем же началом отсчета равны координатам точки: rx = x , ry = y , rz = z .
3. Естественный способ описания движения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Естественный способ описания движения – описание движения вдоль траектории. Этим способом пользуются, когда траектория точки заранее известна.
Пусть точка М движется вдоль траектории АВ в системе отсчета Oxyz (рис.3). Выберем на траектории какую-нибудь неподвижную точку О 1 , которую будем считать началом отсчета, и определим положительное и отрицательное направления. Тогда положение точки M будет определяться расстоянием S от точки О 1 . При движении точка М переместится в точку М 1 , соответственно изменится ее расстояние от точки О 1 . Таким образом, расстояние S зависит от времени, а характер этой зависимости позволит определить положение точки М на траектории в любой момент времени. Закон движения в этом случае имеет вид: s = s ( t ) .
Под системой отсчета понимают тело отсчета, которое условно считается неподвижным, систему координат, связанную с телом отсчета, и часы, также связанные с телом отсчета. В кинематике система отсчета выбирается в соответствии с конкретными условиями задачи описания движения тела.
Источник
Векторный способ описания движения материальной точки
Средняя оценка: 4.7
Всего получено оценок: 67.
Средняя оценка: 4.7
Всего получено оценок: 67.
Кинематика описывает движение, не рассматривая его причины. Для такого описания может использоваться несколько способов. Кратко рассмотрим векторный способ описания движения материальной точки.
Описание движения
Описание движения — это ответ на вопрос, как менялось положение точки в пространстве со временем. Чтобы получить этот ответ, необходимо выбрать способ сопоставления моментов времени и положения в пространстве, способ измерения времени и способ определения положения точки.
Способом сопоставления может стать таблица или математическая функция. Таблица проще, однако она описывает только определенные моменты времени. Математическая функция описывает любой момент времени, поэтому используется чаще.
Для определения времени и положения в пространстве используется система отсчета.
Рис. 1. Система отсчета в физике.
Моменты времени отмечаются с использованием некоторого эталонного процесса. В прошлом таким процессом было суточное вращение Земли, в настоящее время используется частота излучения возбужденных атомов цезия.
Положение в пространстве может задаваться несколькими способами, одним из которых является векторный.
Радиус-вектор
Как известно из геометрии, вектор — это отрезок на плоскости или в пространстве, для которого можно указать начало и конец. При этом для вектора важны не абсолютные координаты начала и конца в пространстве, а их разница. Положение вектора можно менять, сохраняя ее (параллельный перенос), сам вектор при этом не изменится.
Последнее свойство векторов позволяет использовать их для однозначного задания положения точек в пространстве. Начало вектора помещается в начало координат, а конец вектора — в рассматриваемую точку. Вектор, построенный таким образом, называется радиус-вектором точки и обозначается $\overrightarrow r$.
Векторная функция движения
При описании движения векторным способом задается соответствие между моментами времени и радиус-вектором:
$$\overrightarrow r=\overrightarrow r(t)$$
Данная формула — это уравнение движения точки, записанное в векторной форме. Функция $\overrightarrow r(t)$ — векторная функция, в которой используются правила действий с векторами.
Такая запись, как правило, заметно компактнее и проще, чем работа непосредственно с координатами точки. Однако математические действия с векторами требуют проецирования вектора на оси координат, алгебраического сложения длин, взятых с нужным знаком, и затем восстановления результата по проекциям. Поэтому векторный способ описания больше подходит тогда, когда требуется вывод законов и формул. В этом случае векторное уравнение позволяет выделить суть закона или формулы, не загромождая формулировки математическими выкладками.
Примером может служить векторная запись свободного падения тела с нулевой начальной скоростью и начальным положением $\overrightarrow
Такая запись одинаково пригодна для любого числа осей координат и любого их направления. Если же записать то же уравнение в координатной форме, то потребуется несколько уравнений (по числу координатных осей), при этом для каждой оси ускорение свободного падения $\mathrm
Поэтому для физических законов векторная форма находит самое широкое применение. Она имеет компактную однострочную форму, при этом описывая движение сразу по всем координатным осям.
Что мы узнали?
В физике широкое применение находит векторный способ описания движения точки. Он имеет такую же точность, как координатный способ, но при этом учитывает сразу все координатные оси и записывается гораздо более компактно. Поэтому такой способ описания движения очень подходит для законов и формул: он позволяет выделить суть закона, не загромождая формулировку.
Источник
