Векторный способ описания движения радиус вектор скорость ускорение

Векторный способ описания движения радиус вектор скорость ускорение

В кинематике существуют три способа аналитического описания движения материальной точки в пространстве. Рассмотрим их, ограничившись случаем движения материальной точки на плоскости, что позволит нам при выборе системы отсчёта задавать лишь две координатные оси.

1. Векторный способ.

В этом способе положение материальной точки `A` задаётся с помощью так называемого радиус-вектора `vecr`, который представляет собой вектор, проведённый из точки `O`, соответствующей началу отсчёта выбранной системы координат, в интересующую нас точку `A` (рис. 1). В процессе движения материальной точки её радиус-вектор может изменяться как по модулю, так и по направлению, являясь функцией времени `vecr=vecr(t)`.

Геометрическое место концов радиус-вектора `vecr(t)` называют траекторией точки `A`.

В известном смысле траектория движения представляет собой след (явный или воображаемый), который «оставляет за собой» точка `A` после прохождения той или иной области пространства. Понятно, что геометрическая форма траектории зависит от выбора системы отсчёта, относительно которой ведётся наблюдение за движением точки.

Пусть в процессе движения по некоторой траектории в выбранной системе отсчёта за промежуток времени `Delta t` тело (точка `A`) переместилось из начального положения `1` с радиус-вектором `vec r_1` в конечное положение `2` с радиус-вектором `vec r_2` (рис. 2). Приращение `Deltavec r` радиус-вектора тела в таком случае равно: `Deltavec r = vec r_2- vec r_1`.

Вектор `Deltavec r`, соединяющий начальное и конечное положения тела, называют перемещением тела.

Отношение `Delta vec r//Delta t` называют средней скоростью (средним вектором скорости) `vec v_»cp»` тела за время `Delta t`:

`vecv_»cp»=(Deltavecr)/(Delta t)` (1)

Вектор `vecv_»cp»` коллинеарен и сонаправлен с вектором `Deltavec r`, так как отличается от последнего лишь скалярным неотрицательным множителем `1//Delta t`.

Предложенное определение средней скорости справедливо для любых значений `Delta t`, кроме `Delta t=0`. Однако ничто не мешает брать промежуток времени `Delta t` сколь угодно малым, но отличным от нуля.
Для точного описания движения вводят понятие мгновенной скорости, то есть скорости в конкретный момент времени `t` или в конкретной точке траектории. С этой целью промежуток времени `Delta t` устремляют к нулю. Вместе с ним будет стремиться к нулю и перемещение `Delta vec r`. При этом отношение `Deltavec r//Delta t` стремится к определённому значению, не зависящему от `Delta t`.

Величина, к которой стремится отношение `Deltavec r//Delta t` при стремлении `Delta t` к нулю, называется мгновенной скоростью`vec v`:

`vec v =(Delta vec r)/(Delta t)` при `Delta t -> 0`.

Теперь заметим, что чем меньше `Delta t`, тем ближе направление `Deltavec r` к направлению касательной к траектории в данной точке. Следовательно, вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в данной точке в сторону движения тела.

В дальнейшем там, где это не повлечёт недоразумений, мы будем опускать прилагательное «мгновенная» и говорить просто о скорости `vec v` тела (материальной точки).

Движение тела принято характеризовать также ускорением, по которому судят об изменении скорости в процессе движения. Его определяют через отношение приращения вектора скорости `Delta vec v` тела к промежутку времени `Delta t`, в течение которого это приращение произошло.

Ускорением `veca` тела называется величина, к которой стремится отношение `Delta vec v//Delta t` при стремлении к нулю знаменателя `Delta t`:

`vec a =(Delta vec v)/(Delta t)` при `Delta t -> 0` (2)

При уменьшении `Delta t` ориентация вектора`Delta vec v` будет приближаться к определённому направлению, которое принимается за направление вектора ускорения `vec a`. Заметим, что ускорение направлено в сторону малого приращения скорости, а не в сторону самой скорости!

Напомним, что в системе СИ единицами длины, скорости и ускорения являются соответственно метр (м), метр в секунду (`»м»//»с»`) и метр на секунду в квадрате ( `»м»//»с»^2`).

2. Координатный способ.

В этом способе положение материальной точки `A` на плоскости в произвольный момент времени `t` определяется двумя координатами `x` и `y`, которые представляют собой проекции радиус-вектора $$ \overrightarrow$$тела на оси `Ox` и `Oy` соответственно (рис. 3). При движении тела его координаты изменяются со временем, т. е. являются функциями `t`: $$ x=x\left(t\right)$$ и $$ y=y\left(t\right)$$. Если эти функции известны, то они определяют положение тела на плоскости в любой момент времени. В свою очередь, вектор скорости $$ \overrightarrow$$ можно спроецировать на оси координат и определить таким образом скорости $$ _$$ и $$ _$$ изменения координат тела (рис. 4). В самом деле $$ _$$ и $$ _$$ будут равны значениям, к которым стремятся соответственно отношения `Delta x//Delta t` и `Delta y//Delta t` при стремлении к нулю промежутка времени `Delta t`.

3. Естественный (или траекторный) способ.

Этот способ применяют тогда, когда траектория материальной точки известна заранее. На заданной траектории `LM` (рис. 5) выбирают начало отсчёта – неподвижную точку `O`, а положение движущейся материальной точки `A` определяют при помощи так называемой дуговой координаты `l`, которая представляет собой расстояние вдоль траектории от выбранного начала отсчёта `O` до точки `A`. При этом положительное направление отсчёта координаты `l` выбирают произвольно, по соображениям удобства, например так, как показано стрелкой на рис. 5.

Движение тела определено, если известны его траектория, начало отсчёта `O`, положительное направление отсчёта дуговой координаты `l` и зависимость $$ l\left(t\right)$$.

Следующие два важных механических понятия – это пройденный путь и средняя путевая скорость.
По определению, путь `Delta S` — это длина участка траектории, пройденного телом за промежуток времени `Delta t`.

Ясно, что пройденный путь – величина скалярная и неотрицательная, а потому его нельзя сравнивать с перемещением `Delta vec r`, представляющим собой вектор. Сравнивать можно только путь `Delta S` и модуль перемещения `
|Delta vecr|`. Очевидно, что `Delta S >=|Deltavec r|`.

Средней путевой скоростью `v_»cp»` тела называют отношение пути `Delta S` к промежутку времени `Delta t`, в течение которого этот путь был пройден:

`v_»cp»=(Delta S)/(Delta t)` (3)

Определённая ранее средняя скорость `v_»cp»` (см. формулу (1)) и средняя путевая скорость отличаются друг от друга так же, как `Deltavec r` отличается от `Delta S`, но при этом важно понимать, что обе средние скорости имеют смысл только тогда, когда указан промежуток времени усреднения `Delta t`. Само слово «средняя» означает усреднение по времени.

Городской троллейбус утром вышел на маршрут, а через 8часов, проехав в общей сложности `72` км, возвратился в парк и занял своё обычное место на стоянке. Какова средняя скорость `vec v_»cp»` и средняя путевая скорость `v_»cp»` троллейбуса?

Поскольку начальное и конечное положения троллейбуса совпадают, то его перемещение `Delta vecr` равно нулю: `Deltavecr=0`, следовательно, `vecv_»ср»=Deltavecr//Deltat=0` и `|vecv_»ср»|=0`. Но средняя путевая скорость троллейбуса не равна нулю:

`v_»cp»=(Delta S)/(Delta t)=(72 «км»)/(8 «ч»)=9 «км»//»ч»`.

Источник

1. Кинематика

1.1. Кинематика материальной точки. Описание движения материальной точки

Движение можно условно представить как последовательность положений, зафиксированных через бесконечно малые интервалы времени. Следовательно, описание движения есть описание всех этих последовательных положений, т.е. получение математического выражения, позволяющего вычислить конкретное положение материальной точки в любой момент времени.

Как положение, так и движение материальной точки, в данной системе отсчёта может быть описано различными способами.

1.1.1. Векторный способ

С помощью этого способа положение материальной точки определяется вектором, начинающимся в начале отсчёта и заканчивающимся там, где находится материальная точка.

Такие векторы принято называть радиус-векторами.

Начало отсчёта — это точка, связанная с телом отсчёта. Её выбирают так, чтобы было удобнее производить расчеты. Например, если необходимо узнать, какое расстояние пролетит камень, разумно в качестве начала отсчёта выбрать точку, в которой камень находился в момент броска.

Векторный способ описания движения предполагает получение уравнения r=r(t), гдеr— радиус-вектор, показывающий положение материальной точки в моментt, r(t) — выражение, позволяющее рассчитать мгновенное значениеr.

1.1.2. Координатный способ

Как уже отмечалось, положение любой точки в пространстве определяется совокупностью трёх величин  — координат. В декартовой системе координат это величиных,у, z.

Координаты и радиус-вектор связаны между собой: если начало отсчёта и начало координат совпадают, то координаты материальной точки в то же время есть проекции радиуса-вектора, определяющего её положение, на оси координат (см. рисунок). В аналитической форме эта связь имеет такой вид:

в данном выражении i,jиk — единичные векторы, направленные параллельно осямx,y иzсоответственно.

Координатный метод описания движения предполагает получение уравнений x=x(t), y=y(t) и т.д., гдех,у —мгновенные значения координат точки в моментt, x(t), y(t) — выражения, позволяющие рассчитать мгновенные значениях иу.

1.1.3. Естественный способ

Если известны траектория и направление движения материальной точки, удобно определять её положение естественным способом. Для этого используется скалярная величинаs(естественная координата). Это длина отрезка траектории от начала отсчёта О до материальной точки.

Естественный способ позволяет описать движение уравнением s=s(t), гдеs – естественная координата материальной точки к моментуt; s(t) — выражение, позволяющее рассчитать значениеsв моментt.

1.2. Характеристики движения

Для описания движения прежде всего необходима количественная мера изменения положения. Такой мерой является перемещение.

Перемещение — это вектор, соединяющий начальное и конечное положения материальной точки в пространстве и равный

В декартовых координатах перемещение можно выразить как

Перемещение за бесконечно малый интервал време­ни dt обозначаютdr. Направление этого вектора совпадает по направлению с касательной к траектории.

Имеет значение не только то, насколько далеко переместилась точка, но и то, как быстро произошло это перемещение. Поэтому необходима количественная мера быстроты изменения положения. Эта величина называется скоростью.

Средняя скорость равна отношению перемещения Δr, совершённого телом за время Δt, ко времени Δt

.

Например, автомобиль проехал по прямой дороге 60км за один час. Следовательно, его средняя скорость 60 км/час. Однако в процессе движения скорость, показываемая спидометром, в разные моменты времени будет разной, она может быть и больше — 60 км/час, и меньше. Объясняется это тем, что спидометр показывает не среднюю скорость, а мгновенную.

Мгновенная скорость равна пределу отношения перемещения dr ко времениdt, за которое произошло перемещение, приdt стремящемся к нулю:

.

Другими словами — мгновенная скорость — это векторная величина, равная производной от радиуса-вектора по времени. Вектор скорости направлен по вектору dr, т.е. вдоль касательной к траектории.

В декартовых координатах скорость выражается как

Мгновенную скорость можно выразить и так:

где v— модуль вектора мгновенной скорости,τ— единичный вектор, направленный по касательной к траектории.

Таким образом, вектор скорости равен произведению единичного вектора τ на модуль скорости.

Скорость может изменяться с течением времени. Поэтому необходима количественная мера быстроты изменения скорости. Такая характеристика называется ускорением.

Ускорение — это векторная величина, равная производной от скорости по времени,

.

Вектор ускорения направлен, как это видно из определения, по вектору dv, т.е. по вектору приращения скорости. Размерность ускорения [а]=м/с 2 . Используя естественный способ описания движения, можно записать

Из полученного выражения следует, что ускорение можно представить в виде суммы двух компонент.

Компонента представляет собой производную модуля скорости по времени, умноженную на единичный векторτ. Производная модуля скорости по времени показывает, как быстро он изменяется с течением времени. Следовательно, эта компонента ускорения показывает, как быстро изменяется модуль скорости. Направлена эта компонента по векторуτ, т.е. по касательной к траектории, и называетсятангенциальным ускорением а_τ.

Для того чтобы выяснить физический смысл компоненты , рассмотрим рисунок  . На нём изображён фрагмент траектории материальной точки.

Пусть траектория представляет собой дугу окружности радиусаR.

За время Δt материальная точка совершила перемещениеΔr. Пусть при этом скорость изменила только направление, а её модуль остался неизменным.

Переместим вектор конечной скорости v₂параллельно самому себе так, чтобы совместить начала векторов начальной и конечной скорости.

Треугольники, образованные векторами скоростиv₁v₂иΔv, радиусами дугиR и вектором перемещенияΔr, равнобедренные и имеют одинаковые углы при вершине.

Треугольник, образованный единичными векторами, имеет такой же угол при вершине, поскольку направления единичных векторов совпадают с направлениями векторов скоростей.

Считая угол α малым, можем записать . Из этого выражения получаем (здесь учтено, что модуль единичного вектораτ равенl). Разделим последнее выражение наΔt и перейдём к его пределу:

.

Таким образом, производная равна отношению модуля скорости к радиусу кривизны траектории. Направление производной совпадает с направлением вектораdτ, который, как видно из рисунка, при Δt0 и соответственно0 становится перпендикулярным к касательной к траектории.

Следовательно, компонента ускорения(здесьп — единичный вектор, перпендикулярный касательной к траектории). Эта компонента показывает, как быстро изменяется направление скорости, и называетсянормальным ускорением а_n, (его также называют центростремительным ускорением).

Окончательно выражение для ускорения тела, движущегося по криволинейной траектории, можно записать в виде

Модуль полного ускорения связан с модулями нормального и тангенциального ускорений так:

.

Источник