Вам надо позвонить пятерым своим друзьям сколько имеется способов выстроить очередность этих звонков

А. Н. Бородин «Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики», издательство «Лань», 1998, > Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров «Теория вероятностей», Наук

ВВЕДЕНИЕ

Теория вероятностей и математическая статистика являются важной частью математического образования выпускника любого технического университета. Вероятностные методы широко применяются при решении большого числа инженерных, экономических, финансовых, естественно — научных задач.

Вместе с тем, при самостоятельном изучении теории вероятностей студент сталкивается со значительными трудностями, поскольку хорошие учебники и задачники по теории вероятностей не всегда доступны, и они часто ориентированы на работу студента с преподавателем. Особенно это относится к методам решения вероятностных задач. Дело в том, что в отличие от других разделов математики, задачи по теории вероятностей трудно разбить на небольшое число типовых задач. Несмотря на разбиение задач по разделам, к которым они относятся, часто встречаются задачи, требующие оригинальных рассуждений. Студент нередко встречается с ситуацией, когда он просто не представляет, с чего следует начать решение задачи.

Методические указания предназначены для студентов-заочников, изучающих самостоятельно базовый курс теории теорию вероятностей, и соответствуют стандартной программе этого курса. Они содержат краткое изложение основных понятий теории вероятностей, необходимых для решения задач. Кроме того указания содержат более сорока задач по теории вероятностей с достаточно подробными решениями. Задачи относятся, к наиболее важным разделам стандартного курса теории вероятностей.

Авторы считают, что студент-заочник, ознакомившись с данными методическими указаниями и разобравшись в решениях предложенных задач, сможет усвоить предлагаемую ему программу по теории вероятностей способами.

В качестве подходящих учебников по теории вероятностей авторы рекомендуют:

1. А.Н. Бородин «Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики», издательство «Лань», 1998,

2. Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров «Теория вероятностей», Наука, 1969

3. Э.А.Вукулов, А.В.Ефимов и др. Сборник задач по математике для ВТУЗОВ, Наука, 1990.

1. КОМБИНАТОРНЫЕ ФОРМУЛЫ

В этом разделе мы приведем ряд комбинаторных формул, часто используемых при решении вероятностных задач. Начнем с решения одной простой задачи.

Задача 1 . Обед в университетской столовой состоит из трех блюд. Первых блюд в меню 5, вторых блюд – 4, а третьих — 3. Сколько дней студент может съедать новый обед, если любая комбинация блюд возможна, и один обед от другого должен отличаться хотя бы одним блюдом?

Решение. «Закодируем» обед трехзначным числом , где — номер первого блюда (), — номер второго блюда () -номер третьего блюда (). При любом фиксированном a параметр b может принимать 4 различных значения. Поскольку сам параметр a может принимать 5 различных значений, то имеется 5∙4=20 различных пар ab. С другой стороны, при каждой фиксированной паре ab параметр c может принимать 3 различных значения. Поэтому количество различных троек равно 20∙3=60. Таким образом, число различных обедов равно 60.

Алгоритм решения задачи легко поддается обобщению и позволяет получить следующее правило.

Правило произведения

Обозначим через число способов, которыми можно заполнить строчку , если для выбора элемента существует вариантов

Тогда

Это правило иногда используется, когда речь идет о выборах элементов из заданного множества, причем, выбор происходит без возвращения. В этом случае и так далее. Рассмотрим пример такой ситуации.

Задача 2 Вам надо позвонить пятерым своим друзьям. Сколько имеется способов выстроить очередность этих звонков?

Решение. Первый Ваш звонок может быть адресован любому из Ваших 5 друзей, второй – любому из 4 оставшихся друзей, которым Вы еще не позвонили и т. д. Поэтому задача решается с помощью приведенной выше формулы при Ответ 120 способов.

Решение этой задачи подводит нас к следующему определению.

Перестановки

Перестановкой множества, состоящего из n элементов, называется набор этих же элементов, расположенных в другом порядке. Число всевозможных перестановок такого множества обозначается символом

^ Число перестановок не зависит от природы множества, а зависит только от количества его элементов и вычисляется по формуле

Для таких произведений существует специальное название n— факториал и обозначение Оказывается удобным принять дополнительное соглашение и считать, что .

Часто формулу для числа перестановок приходится употреблять в «усеченном» виде.

Задача 3. Десять участников финала разыгрывают одну золотую, одну серебряную и одну бронзовую медали. Сколькими способами эти награды могут быть распределены между спортсменами?

Решение. Золотую медаль может получить любой из 10 участников. Если золотой призер уже определен, то серебряную медаль может получить любой из оставшихся 9 участников. Если первые два призера определены, то бронзовую медаль может получить любой из 8 оставшихся участников. Поэтому, воспользуемся правилом произведения, получим ответ способов.

Решение этой задачи подводит нас к определению.

Источник

Вам надо позвонить пятерым своим друзьям сколько имеется способов выстроить очередность этих звонков

Правило произведения: Если объект А может быть выбран из совокупности объектов $n$ способами и посла каждого такого выбора объект В может быть выбран $m$ способами, то пара объектов (А,В) в указанном порядке может быть выбрана $n \cdot m$ способами.

Пример. Сколько можно составить пятизначных чисел так, чтобы любые две соседние цифры были различны? ► Первую цифру можно выбрать 9-ю способами, вторую – 9-ю способами и т.д., следовательно, всего цифр можно составить $9\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9=9^5$ способами (правило произведения).

Правило произведения в общем виде: Обозначим через $N$ число способов, которыми можно заполнить строчку $x_1,x_2 . x_n$, если для выбора элемента $x_j$ существует $n_j$ вариантов $j=1,2. k$

$$N=n_1\cdot n_2 \cdot . \cdot n_k$$

Это правило иногда используется, когда речь идет о выборах элементов из $n$ элементов заданного множества, причем, выбор происходит без возвращения. В этом случае $n_1=n,n_2=n-1. n_k=n-k$

Рассмотрим пример такой ситуации.

Задача 1. Вам надо позвонить пятерым своим друзьям. Сколько имеется способов выстроить очередность этих звонков? Решение. Первый Ваш звонок может быть адресован любому из Ваших 5 друзей, второй – любому из 4 оставшихся друзей, которым вы еще не позвонили и т. д. Поэтому задача решается с помощью приведенной выше формулы при

$$N=5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=120$$

Источник

Вам надо позвонить пятерым своим друзьям сколько имеется способов выстроить очередность этих звонков

Правило суммы. Если объект Х можно выбрать n способами, а объект Y можно выбрать m способами, причём эти способы выбора несовместны, то объект «Х или Y» можно выбрать n+m способами.

Несовместность способов выбора означает, что ни один способ выбора объекта Х не совпадает ни с одним способом выбора объекта Y.

Пример 1. Сколькими разными способами можно заказать напиток в кафе, где есть 8 видов сока и 5 видов минеральной воды?

Решение. Напиток – это или сок (объект Х), или минеральная вода (объект Y). Сок можно выбрать 8-ю разными способами, минеральную воду – 5-ю, причем способы выбора несовместны. Тогда по правилу суммы напиток (объект «Х или Y») можно выбрать 8+5=13-ю способами.

Пример 2. Пусть есть колода карт (36 листов). Объект Х – карта червовой масти – может быть выбран 9-ю разными способами. Объект Y – туз – может быть выбран 4-мя разными способами. Сколькими способами может быть выбран объект «Х или Y» – «червовая карта или туз»?

Решение. В этом примере правило суммы не работает, так как способы выбора объектов X и Y совместны: один из способов выбора объекта X совпадает с одним из способов выбора объекта Y (выбор червового туза – это и способ выбора объекта X, и способ выбора объекта Y).

Задача решается перебором подходящих карт: червовых карт 9 и ещё 3 туза (один уже учтён). Значит, червовую карту или туз . Смотреть решение »

Правило произведения: Если объект А может быть выбран из совокупности объектов $n$ способами и посла каждого такого выбора объект В может быть выбран $m$ способами, то пара объектов (А,В) в указанном порядке может быть выбрана $n \cdot m$ способами.

Пример. Сколько можно составить пятизначных чисел так, чтобы любые две соседние цифры были различны? ► Первую цифру можно выбрать 9-ю способами, вторую – 9-ю способами и т.д., следовательно, всего цифр можно составить $9\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9=9^5$ способами (правило произведения).

Правило произведения в общем виде: Обозначим через $N$ число способов, которыми можно заполнить строчку $x_1,x_2 . x_n$, если для выбора элемента $x_j$ существует $n_j$ вариантов $j=1,2. k$

$$N=n_1\cdot n_2 \cdot . \cdot n_k$$

Это правило иногда используется, когда речь идет о выборах элементов из $n$ элементов заданного множества, причем, выбор происходит без возвращения. В этом случае $n_1=n,n_2=n-1. n_k=n-k$

Рассмотрим пример такой ситуации.

Задача 1. Вам надо позвонить пятерым своим друзьям. Сколько имеется способов выстроить очередность этих звонков? Решение. Первый Ваш звонок может быть адресован любому из Ваших 5 друзей, второй – любому из 4 оставшихся друзей, которым вы еще не позвонили и т. д. Поэтому задача решается с помощью приведенной выше формулы при

Формула размещений без повторений

Размещениями из $п$ элементов по $m$ в каждом называются такие соединения, из которых каждое содержит $m$ элементов, взятых из числа дан­ных $n$ элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо лишь порядком их расположения.

Задача 1. Правление фирмы выбирает трех человек на различные должности из 10 кандидатов. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.В условии задачи речь идет о расчете числа размещений без повторений из 10 элементов по 3.

Так как группы по 3 человека могут отличаться и составом претендентов, и заполняемыми ими вакансиями, т. е. порядком, то для ответа необходимо рассчитать число размещений из 10 элементов по 3:

Ответ.Можно составить 720 групп по 3 человека из 10.

Формула размещений c повторениями

Размещение с повторениями из $n$ элементов по $m$ элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до $m$ включительно, или не содержать его совсем, т. е. каждое размещение с повторениями из $n$ элементов поmэлементов мо­жет состоять не только из различных элементов, но изmкаких угодно и как угодно повторяющихся элементов. Соединения, отличающиеся друг от друга хотя бы порядком расположения элементов, считаются различными размещениями.

Источник

Вам надо позвонить пятерым своим друзьям сколько имеется способов выстроить очередность этих звонков

11 Сколько шестизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр: а) 1,2, 5, 6, 7, 8; б) 0, 2, 5, 6, 7, 8?
Решение.

а) Дано 6 цифр: 1, 2, 5, 6, 7, 8, из них можно составлять разные шестизначные числа, только переставляя эти цифры местами. Количество различных шестизначных чисел при этом равно $Р_6 = 6! = 720$.

б) Дано 6 цифр: 0, 2, 5, 6, 7, 8, из них нужно составлять различные шестизначные числа. Отличие от предыдущей задачи состоит в том, что ноль не может стоять на первом месте.

Можно напрямую применить правило произведения: на первое место можно выбрать любую из 5 цифр (кроме нуля); на второе место — любую из 5 оставшихся цифр (4 «ненулевые» и теперь считаем ноль); на третье место — любую из 4 оставшихся после первых двух выборов цифр, и т. д. Общее количество вариантов равно: $5*5*4*3*2*1= 600$.

Можно применить метод исключения лишних вариантов. 6 цифр можно переставить $Р_6 = 6! = 720$ различными способами. Среди этих способов будут такие, в которых на первом месте стоит ноль, что недопустимо. Подсчитаем количество этих недопустимых вариантов. Если на первом месте стоит ноль (он фиксирован), то на последующих пяти местах могут стоять в произвольном порядке «ненулевые» цифры 2, 5, 6, 7, 8. Количество различных способов, которыми можно разместить 5 цифр на 5 местах, равно $Р_5 = 5! = 120$, т. е. количество перестановок чисел, начинающихся с нуля, . Смотреть решение »

Перестановки без повторений

Перестановками из n элементов называются различные упорядочения множества X .
Из этого определения следует, что две перестановки отличаются только порядком элементов и их можно рассматривать как частный случай размещений.
Формула: Число различных перестановок без повторений вычисляется по формуле

$$P_n=n!=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot . \cdot 2 \cdot 1$$

Заметим, что в любую перестановку входят все элементы множества Х, причём ровно по одному разу. То есть перестановки одна от другой отличаются только порядком следования элементов и могут получиться одна из другой перестановкой элементов (отсюда и название).

Пример. Сколькими способами можно разместить на полке 5 книг?

Решение. Способов размещения книг на полке существует столько, сколько существует различных перестановок из пяти элементов: $P_5=5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$ способов.

Замечание. Формулу перестановок всегда можно заменить более универсальным правилом произведения

1. Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу: 1) 3 человека; 2) 5 человек?

Различные варианты расположения п человек в очереди отличаются один от другого только порядком расположения людей, т. е. являются разл . Смотреть решение »

Правило суммы. Если объект Х можно выбрать n способами, а объект Y можно выбрать m способами, причём эти способы выбора несовместны, то объект «Х или Y» можно выбрать n+m способами.

Несовместность способов выбора означает, что ни один способ выбора объекта Х не совпадает ни с одним способом выбора объекта Y.

Пример 1. Сколькими разными способами можно заказать напиток в кафе, где есть 8 видов сока и 5 видов минеральной воды?

Решение. Напиток – это или сок (объект Х), или минеральная вода (объект Y). Сок можно выбрать 8-ю разными способами, минеральную воду – 5-ю, причем способы выбора несовместны. Тогда по правилу суммы напиток (объект «Х или Y») можно выбрать 8+5=13-ю способами.

Пример 2. Пусть есть колода карт (36 листов). Объект Х – карта червовой масти – может быть выбран 9-ю разными способами. Объект Y – туз – может быть выбран 4-мя разными способами. Сколькими способами может быть выбран объект «Х или Y» – «червовая карта или туз»?

Решение. В этом примере правило суммы не работает, так как способы выбора объектов X и Y совместны: один из способов выбора объекта X совпадает с одним из способов выбора объекта Y (выбор червового туза – это и способ выбора объекта X, и способ выбора объекта Y).

Задача решается перебором подходящих карт: червовых карт 9 и ещё 3 туза (один уже учтён). Значит, червовую карту или туз . Смотреть решение »

Правило произведения: Если объект А может быть выбран из совокупности объектов $n$ способами и посла каждого такого выбора объект В может быть выбран $m$ способами, то пара объектов (А,В) в указанном порядке может быть выбрана $n \cdot m$ способами.

Пример. Сколько можно составить пятизначных чисел так, чтобы любые две соседние цифры были различны? ► Первую цифру можно выбрать 9-ю способами, вторую – 9-ю способами и т.д., следовательно, всего цифр можно составить $9\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9=9^5$ способами (правило произведения).

Правило произведения в общем виде: Обозначим через $N$ число способов, которыми можно заполнить строчку $x_1,x_2 . x_n$, если для выбора элемента $x_j$ существует $n_j$ вариантов $j=1,2. k$

$$N=n_1\cdot n_2 \cdot . \cdot n_k$$

Это правило иногда используется, когда речь идет о выборах элементов из $n$ элементов заданного множества, причем, выбор происходит без возвращения. В этом случае $n_1=n,n_2=n-1. n_k=n-k$

Рассмотрим пример такой ситуации.

Задача 1. Вам надо позвонить пятерым своим друзьям. Сколько имеется способов выстроить очередность этих звонков? Решение. Первый Ваш звонок может быть адресован любому из Ваших 5 друзей, второй – любому из 4 оставшихся друзей, которым вы еще не позвонили и т. д. Поэтому задача решается с помощью приведенной выше формулы при

Источник