Ускорение точки при естественном способе задания движения находится

3) Скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения.

Если траектория точки известна (т.е. в некоторой системе отсчета определена графически, с помощью уравнения или другим образом), то задать движение точки можно естественным способом. Для этого необходимо: зафиксировать на трактории точку начала отсчета, выбрать положительное и отрицательное направления отсчета дуговой координаты и указать уравнение движения точки по траектории в виде S=S(t).

Скалярный параметр S в данном случае имеет смысл криволинейной (дуговой) координаты, модуль которой определяет текущее расстояние по траектории от начала отсчета (точки О) до подвижной точки М, а знак показывает, по какую сторону от начала отч=счета находится точка М на траектории.

Следует отметить, что уравнение движения в форме S=S(t) определяет текущее положение точки именно на траектории, при этом может быть установлена взаимно однозначная связь между значениями координаты S и радиус-вектором точки М в той системе отсчета, в которой определена в рассматриваемом случае траектория движения точки. Тогда радиус-вектор точки может быть представлен в виде функциональной зависимости от параметра S в виде r=r(S).

Модуль скорости, т.е. ее численное значение, при естественном способе задания движения точки определятся так: .

Ускорение составляет сумму касательной и нормальной составляющих: , где и . Следовательно: .

Дополнение: Значение пути —

Источник

iSopromat.ru

При естественном способе задания движения точки предполагается определение параметров движения точки в подвижной системе отсчета, начало которой совпадает с движущейся точкой, а осями служат касательная, нормаль и бинормаль к траектории движения точки в каждом ее положении.

τ — орт касательной;
n — орт нормали;
b — орт бинормали;

Единичные орты τ, n, b определяют направление соответствующих осей в каждой точке кривой.

Чтобы задать закон движения точки естественным способом необходимо:

знать траекторию движения;
установить начало отсчета на этой кривой;
установить положительное направление движения;
дать закон движения точки по этой кривой, т.е. выразить расстояние от начала отсчета до положения точки на кривой в данный момент времени ∪OM=S(t).

Зная эти параметры можно найти все кинематические характеристики точки в любой момент времени (рисунок 1.5).

Скорость и ускорение точки

Скорость точки при естественном способе задания её движения определяется по формулам

Первая формула определяет величину и направление вектора скорости, вторая формула только величину.

Ускорение определяется как производная от вектора скорости:

оно характеризует быстроту изменения величины скорости точки;

Нормальное ускорение точки

характеризует быстроту изменения направления вектора скорости;

ρ — радиус кривизны траектории в данной точке (например, для окружности: ρ = R, для прямой линии ρ = ∞).

Полное ускорение точки при естественном способе задания движения определяется следующим образом (рисунок 1.5):

Ранее отмечалось, что всегда можно перейти от одного способа задания закона движения точки к другому, например, от координатного к векторному. Поэтому, преобразовывая одни и те же формулы, можно получить другое их написание.

Далее, для естественнго способа задания движения точки, получаем

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

Естественный способ задания движения точки

Введение

Естественный способ задания движения материальной точки применяется в тех случаях, когда траектория заранее известна. Например, точка движется внутри желоба в твердом теле. В этом случае мы, произвольным образом, выбираем некоторую неподвижную точку на траектории. Эту точку мы принимаем за начало отсчета. Далее мы произвольным образом выбираем положительное направление. Рассмотрим подвижную точку на траектории. Пусть – расстояние от точки до точки , измеренное вдоль дуги траектории. Введем криволинейную координату следующим образом. Если точка находится в положительном направлении относительно начала отсчета , то . Если точка находится в отрицательном направлении относительно начала отсчета , то . Тогда криволинейная координата однозначно определяет положение точки на траектории. При движении точки, координата изменяется со временем :
.

Таким образом, при естественном способе задания движения материальной точки, мы задаем следующие данные:
1) траекторию точки;
2) начало отсчета с указанием положительного и отрицательного направления отсчета;
3) криволинейную координату, как функцию от времени: .

Определение кинематических величин

В начале мы должны определить геометрические характеристики траектории – касательную, главную нормаль и радиус кривизны.

По заданной траектории, для любого положения точки, мы можем определить единичный вектор , направленный по касательной к траектории; единичный вектор , направленный вдоль главной нормали (к центру кривизны) траектории и радиус кривизны траектории. Поскольку вектор можно направить по касательной двумя взаимно противоположными способами, то мы направим вектор вдоль направления, которое мы приняли за положительное. Вектор можно направить только одним способом – к центру кривизны траектории. Векторы и представляют собой два орта естественного трехгранника. В простых случаях, найти векторы , и радиус кривизны траектории можно геометрическим способом (см. пример решения задачи ниже). Как найти эти величины в более сложных случаях, указано на странице “Оси естественного трехгранника”. Там же приводится пример определения векторов , и радиуса кривизны траектории для винтовой линии.

После того, как мы определили орты естественного трехгранника , и радиус кривизны траектории , мы можем найти векторы скорости и ускорения точки . Выводы представленных ниже формул даны на странице “Кинематика материальной точки”.

Дифференцируя по , находим проекцию скорости на вектор :
.
Модуль скорости:
.
Вектор скорости:
.
Скорость, как и следовало, направлена по касательной к траектории. Если скорость направлена в положительном направлении, то
.
Если скорость направлена в отрицательном направлении, то
.

Дифференцируя по , находим тангенциальное ускорение (проекцию ускорения на вектор ):
.
Вектор тангенциального ускорения:
.
Нормальное ускорение:
.
Вектор нормального ускорения:
.
Вектор полного ускорения:
.
Модуль полного ускорения:
.

Пример решения задачи

Точка движется по дуге окружности радиуса по закону

( s – в метрах, t – в секундах), где – расстояние от до , измеренное вдоль дуги окружности. Определить скорость и ускорение точки в момент времени . Изобразить на рисунке векторы и , считая, что точка в этот момент находится в положении , а положительное направление отсчета – от к .

Определим положение точки в момент времени .
.
Пусть – центр окружности. Угол между векторами и :
.
По условию, положительное направление – от к , то есть слева направо. Поскольку , то точка расположена слева от точки .

Дифференцируя по , находим проекцию скорости на направление касательной к траектории:
.
В момент времени :
.
Поскольку , то вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону возрастания . Абсолютное значение (модуль) скорости:
.

Дифференцируя по , находим касательное ускорение точки:

.
В момент времени :
.
Поскольку , то вектор касательного ускорения направлен по касательной к траектории в сторону возрастания .

Нормальное ускорение:
.
Вектор направлен к центру окружности.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 09-04-2016

Источник

Ускорение точки при естественном способе задания движения

Для точечной скорости, Согласно определению ускорения. Мы получаем Это связано с тем, что y2 = n2 и dx / dz ориентированы на вогнутой поверхности траектории параллельно главному нормальному единичному вектору. Разлагает точечные ускорения вдоль оси естественного трехгранника. Блок ускорения at = ST = (dut / dz) T. Это называется тангенциальной составляющей ускорения. Другие части ускорения a „= (c2 / p) n = (s2 / p>. Это называется нормальной составляющей ускорения.

Он ориентирован внутри вогнутой поверхности траектории, то есть в положительном направлении единичного вектора основной нормали l. Это потому, что полное ускорение направлено внутрь вогнутой поверхности орбиты. Следовательно, ускорение очков Из (17) получим формулу для проекции ускорения на естественную ось. У нас есть: a, = s = dvt / dT, a = tr / p, ab = 0. (19) Проекция ускорения в направлении касательной, которая совпадает с направлением единичного вектора m, называется тангенциальным ускорением и является нормальным ускорением ускорения на главной нормали, направленной вдоль единичного вектора. Проекция ускорения на бинормальную линию вдоль единичного вектора B равна нулю. Таким образом, точечное ускорение находится на контактной поверхности дорожки.

Реальная природа принципа виртуальной скорости заключается в том, что этот принцип является, так сказать, общей формулой, решающей задачу статики, и поэтому он становится альтернативой другим принципам. Людмила Фирмаль

Эта плоскость имеет касательные и главные нормальные единичные векторы. Учитывая ортогональность а и а (рис. 17), согласно уравнению (18) lg «. | a, | / a, (20) Нормальная составляющая ускорения а всегда направлена внутрь вогнутой поверхности орбиты. Касательная составляющая a с 5> 0 направлена в положительную сторону касательной, то есть в направлении единичного вектора m, а когда s 0 и j ‘> 0 вектор скорости и тангенциальная составляющая ускорения направлены в одну сторону вдоль точки. Движение точки ускоряется в положительном направлении касательной к траектории.

Если s 0 и 5 0, происходит медленное движение точки в отрицательном направлении, касательном к траектории точки. Если тангенциальное ускорение исчезнет, оно будет взято из условия AT-DV, / DT = 0.

Это условие всегда выполняется, но = | и | = const, т. Е. Когда точка движется равномерно по траектории любой формы. Касательное ускорение также исчезает, когда алгебраическая скорость v достигает предельного значения, например максимального или минимального значения. Изменение в алгебраической скорости как функция 18 часов для того, что показано на рисунке, тангенциальное ускорение равно Ноль в моменты времени r и t2. Во время вибрации маятника (рис. 19) эти моменты соответствуют прохождению через точку А. Когда маятник движется в одном направлении, алгебраическая скорость в точке A максимизируется, а когда он движется в противоположном направлении, она минимизируется. Для нормализации до нуля Ускорение продолжается от условий 4 = 2 / P = 0- Это условие выполняется при p = oo.

Другими словами, это линейное движение точек. Когда точка движется по кривой траектории, p = oo в точке перегиба, где выпуклая поверхность траектории меняется на вогнутую поверхность, и наоборот (рисунок 20). Нормальное ускорение исчезает, когда u = 0, то есть когда направление точки движется вдоль траектории. В случае маятника такой момент является моментом вылета Маятник под максимальным углом как в одном направлении, так и в другом. Эти моменты соответствуют моментам Новое в маятнике.

Любая геодезическая линия, проведенная на вытянутом эллипсоиде вращения, представляет собой helpoloform, который может быть образован эллипсом с центральным качением, закрепленным вдоль этой плоскости. Людмила Фирмаль

Случай обработки т * 0 Рис. 21 Тангенциальное ускорение и нормальное ускорение ноль и их общая формула указывают, что тангенциальное ускорение характеризует изменение величины вектора скорости и изменение направления нормали. Пример. Точка движется по дуге окружности радиуса R по закону s = R-sinωr (где ω = const). Начните считать расстояние и время. Направление положительного расстояния также показано на рисунке. 21. Определите скорость Ускорение в момент времени I и значения в точке О и точке орбиты М скорость исчезает.

Решения. Проекция скорости и ускорения на естественную ось определяется уравнениями (16) и (19). У нас есть: i /, = i = R t; a, = s = -Яш2sinш /; a „-vi / p-R2 l / R = Ra> cosa> f = 0, то есть t1 = π Мы смотрим на этот пример, где скорость исчезает при / (2a>): /, = i / (2y), то есть в момент изменения направления точки, , = -H2, a, = 0. «Получить выражения a и a, r = 0, 1>, = Jash. A, = 0. a„ = R

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Источник