Уравнивание превышений нивелирной сети способом полигонов
5.6 Уравнивание превышений нивелирной сети способом полигонов
Этот способ предложен профессором Поповым В. В. Способ основан на строгом уравнивании по способу наименьших квадратов. Он позволяет составлять нормальные уравнения коррелат непосредственно по схеме сети. Решение нормальных уравнений производится последовательными приближениями. Практически это сводится к последовательному распределению невязок в каждом замкнутом ходе пропорционально длинам ходов или числу станций в ходе (пропорционально обратным весам отдельных ходов). Не рассматривая составление нормальных уравнений коррелат и их решение, приведем практическое применение этого способа.
На схеме сети (рис. 5.7) показывается:
— длины отдельных ходов (звеньев),км (на рис. 57 они записаны в кружках;
— номера ходов — N1 — N8;
— номера полигонов I , II , III , IV и их невязки .
В каждом полигоне сплошными линиями вычерчиваются рамки, в которые записываются невязки полигонов. Возле каждого звена вычерчивается рамка поправок (пунктирной линией) вне каждого полигона.
Длину каждого хода (для удобства вычислений) целесообразно выразить в частях, по отношению к периметру отдельного полигона принятого за 1 или 100. Эти числа записываются другим цветом (красные числа) над рамками (штриховыми) поправок за каждым замкнутым полигоном.
В первом полигоне периметр равен
км
На основании этого вычисляются «красные» числа:
— для звена ВС ,
Рисунок 5.7- Схема уравнивания превышений нивелирной сети способом полигонов
— для звена ВЕ .
Контролем является равенство суммы «красных» чисел единице:
Во втором полигоне периметр и «красные» числа равны
км
— для звена С D ,
— для звена D Е ,
— для звена СЕ .
Контроль: 
В третьем полигоне находим:
км
— для звена D А ,
— для звена D Е
— для звена АЕ
Контроль: 
В четвертом полигоне находим:
км
— для звена АВ
— для звена ВЕ ,
— для звена АЕ .
Контроль: 
После этого производится распределение невязок, начиная с полигона I (можно с любого) на звенья, образующие этот полигон.
В полигоне I умножением невязки этого полигона, равной + 15 мм на «красные» числа соответствующих звеньев, получают поправки в превышения звеньев, образующих этот полигон. Полученные величины записываются в рамки поправок у соответствующих звеньев с тем же знаком:
в звено ВС — + 15 мм · 0.42 = + 6 мм,
в звено СЕ — + 15 мм · 0.33 = + 5 мм,
в звено ВЕ — + 15 мм · 0.25 = + 4 мм.
Величины поправок округляются до 1 мм, так чтобы сумма поправок в звенья равнялась невязке соответствующего полигона.
В полигоне II невязка была равной (- 12) мм, но в звено СЕ из первого полигона прибавлена поправка (+ 5) мм. В связи с этим невязка в этом полигоне оказалась равной (- 12) мм (+ 5) мм = (- 7) мм. Эту невязку записывают в рамку невязок полигона II и умножая ее на «красные» числа звеньев получают поправки:
в звено СD: (- 7 мм · 0.43) = -3 мм,
в звено D Е: (- 7 мм · 0.26) = — 2 мм,
в звено СЕ: (- 7 мм · 0.31) = -2 мм.
В полигоне III невязка была равна (- 
мм и из полигона II получена поправка в звено D Е равная (- 2) мм. Поэтому невязка стала равной (- мм + (- 2) мм = — 10 мм, которая помещается в рамку невязок и распределяется как в предыдущих полигонах умножением на «красные» числа звеньев полигона III :
В звено А D: ( — 10 мм · 0.46 )= — 5 мм,
в звено АЕ: (- 10 мм · 0.28) = — 3 мм,
в звено D Е: ( — 10 мм · 0.26) = — 2 мм.
В полигоне IV невязка равна (- 11) мм и получены поправки в звено ВЕ из полигона I (+ 4) мм, и в звено AE из полигона III (- 3 мм), поэтому невязка оказалась равной (- 11 мм) + 4 мм + (- 3 мм) = — 10 мм. Она записывается в рамку невязок этого полигона и распределяется умножением ее на «красные» числа звеньев полигона IV :
в звено АВ: ( — 10 мм · 0.46) = — 5 мм,
в звено ВЕ: (- 10 мм · 0.24) = — 2 мм,
в звено АЕ: ( — 10 мм · 0.30) = — 3 мм.
Эти вычисления составляют первый круг уравнивания (первое приближение). Во втором круге вычисления повторяются, но с новыми невязками полигонов с учетом поправок из первого круга вычислений.
В полигоне I поправки из первого круга в звенья СЕ равная (- 2) мм и в ВЕ — (- 2 мм) образуют новую невязку полигона f 1 =( — 2 мм )+ (- 2 мм) =( — 4) мм , которая записывается в рамку поправок и распределяется как в первом круге умножением на «красные» числа звеньев полигона I :
в звено ВС: –( — 4 мм · 0.42) = (- 2) мм,
в звено СЕ: ( — 4 мм · 0.33) = (- 1) мм,
в звено ВЕ : ( — 4 мм · 0.25) = (- 1) мм.
В полигоне II поправка в звено D Е из первого приближения равна (- 2) мм и в СЕ из второго приближения (- 1) мм образуют новую невязку полигона f II = — 2 мм + (‑1мм) = -3 мм, которая записывается в рамку невязок и распределяется как в первом круге умножением на «красные» числа звеньев полигона II:
в звено С D: (- 3 мм · 0.43) = (- 1) мм,
в звено D Е: ( — 3 мм · 0.26) = (- 1) мм,
в звено СЕ: (- 3 мм · 0.31) = (- 1) мм.
В полигоне III поправка в звено АЕ из первого приближения вычислений равна (- 3) мм, а в звено D Е из второго круга (- 1) мм, образуют невязку 
= — 3 мм + (- 1 мм) = — 4 мм, которая записывается в рамку невязок и распределяется как в первом приближении; полученные поправки записываются в соответствующие рамки поправок:
в звено А D: ( — 4 мм · 0.46) = (- 2) мм,
в звено АЕ: (- 4 мм · 0.28) = (- 1) мм,
в звено D Е: ( — 4 мм · 0.26) = (- 1) мм.
В полигоне IV поправка из второго приближения в звено АЕ равна (- 1) мм и в звено ВЕ (- 1) мм образуют невязку 
= — 1 мм + (- 1 мм) = — 2 мм, которая записывается в рамку невязок и распределяется по звеньям этого полигона:
в звено АВ: ( — 2 мм · 0.46) =( — 1) мм,
в звено АЕ: ( — 2 мм · 0.30) = (- 1) мм,
в звено ВЕ: ( — 2 мм · 0.24) = 0 мм.
В третьем круге (приближении) вычисления ведутся аналогично второму кругу, но невязки полигонов определяются по поправкам полученным из второго и третьего круга:
В полигоне I: 
= (-1) + (0) = — 1 мм, а поправки в звенья этого полигона равны: — 1,0; 0 мм. В полигоне II: 
= 0 + (-1) = 1 мм, а поправки в звенья этого полигона равны: — 1,0 ; 0 мм.
В полигоне III: = 0 + (-1) = — 1 мм, а поправки в звенья полигона равны: — 1,0 ; 0 мм.
В полигоне IV: 
= 0 +0 = 0, т.к. поправки из третьего приближения в звенья АЕ и ВЕ равны нулю.
Как видно из этих вычислений для уравнивания достаточно трех приближений. После этого необходимо подсчитать поправки в каждое звено. Для этого в рамках поправок суммируются поправки, полученные из каждого приближения.
Для периферийных звеньев после сложения поправок в рамке надо поменять знак на обратный и записать поправку у соответствующего звена (на рис. 5.7 поправки записаны в скобках). Поправки в превышения периферийных звеньев равны: АВ — (+ 6 мм) , ВС — (- 3 мм), С D — (+ 5 мм), А D — (+8мм).
Для общих звеньев СЕ , D Е , АЕ , ВЕ поправки находятся как разности поправок в эти звенья из смежных полигонов :
в звено СЕ полигона I: (-3) — (+4) = — 7 мм
в звено СЕ полигона II: (+4) — (-3) = + 7 мм
в звено D Е полигона II: (-3) — (-3) = 0 мм
в звено D Е полигона III: (-3) — (-3) = 0 мм
в звено АЕ полигона III: (-4) — (-4) = 0 мм
в звено АЕ полигона IV: (-4) — (-4) = 0 мм
в звено ВЕ полигона IV: (+3) — (-2) = + 5 мм
в звено ВЕ полигона I: (-2) — (+3) = — 5 мм.
Для контроля необходимо в каждом полигоне подсчитать сумму поправок в звенья и сравнить ее с первоначальной невязкой полигона. Эти две величины должны быть одинаковы по абсолютному значению, но противоположны по знаку.
Полигон I: (-3) + (-7) + (-5) = — 15 мм, невязка + 15 мм.
Полигон II: (+5) + (0) + (+7) = + 12 мм, невязка — 12 мм.
Полигон III: (+8) + (0) + (0) = + 8 мм, невязка — 8 мм.
Полигон IV: (+6) + (+5) + (0) = + 11 мм, невязка — 11 мм.
При уравнивании нивелирной сети по способу полигонов В.В. Попова все вычисления производятся непосредственно на схеме (чертеже) сети.
Недостатком этого способа уравнивания является сложность оценки точности по результатам уравнивания.
Источник
СПОСОБ ПОЛИГОНОВ ПРОФЕССОРА В.В.ПОПОВА
(СПОСОБ КРАСНЫХ ЧИСЕЛ )
Способ проф В.В.Попова применяется для уравнивания как свободный,так и несвободный сети полигонов .
Для нивелированой сети этот способ является строгим, т,е. Дает такие же результаты, что и метод наименьших квадратов. Применительно же к сети теодолитных полигонов он не является строгим, поскольку при этом способе производится раздельное уравнивание углов и приращенний координат .
Покажем сущность способа проф В.В.Попова на примерах уравнивания различных сетей полигонов.
Уравнивание нивелирной сети
А. Свободная сеть. Рассмотрим сеть, состоящую из трех полигонов, На схематическом чертеже сети приводят все данные , необходимые для уравнивания, оценки точности и вычисления высот узловых точек — измеренные превышения hi, по каждому звену (ходу, связывающему две соседние узловые точки), длины звеньев Li — и число станций ni в каждом звене (стрелками показаны направления возрастания превышений) и отметка исходной марки.
Прежде всего подсчитывают невязки в превышениях по каждому полигону, соответствующие обходу полигона по направлению часовой стрелки, и их наибольшие по абсолютной величине допустимые значения. Результаты этих вычислений записывают на том же чертеже сети.
Убедившись в допустимости невязок, переходят к уравниванию сети. Для этой цели строят новый схематический чертеж сети крупных размеров, на котором непосредственно производится вычисление поправок на звенья.
рис (1)
На этом чертеже примерно в центре каждого полигона строят рамочки, над которыми римскими цифрами пишут номера полигонов, а внутри рамочек записывают невязки. Затем вне каждого полигона у каждого его звена строят рамочки для записи поправок. Таким образом, у внешних звеньев сети будет по одной рамочке, а у внутренних — по две (по одной с каждой стороны звена).
Для каждого звена полигона вычисляют красные числа ki, ki,j (i — номер данного полигона, j — номер смежного с ним). Красным числом называется отношение числа станций в звене к числу станций во всем полигоне (или отношение длины звена к периметру полигона).
Сумма красных чисел для каждого полигона должна быть равна единице (например, в первом полигоне 0,46 + 0,23 + + 0,31 = 1).
Полученные таким путем числа записывают красным цветом над соответствующими рамочками, расположенными вне полигона около его звеньев. Затем приступают к распределению невязок пропорционально красным числам соответствующих полигонов. Это распределение невязок производят непосредственно на чертеже сети, применяя при этом метод последовательных приближений.
Умножив невязку первого полигона (I) на его красные числа, полученные произведения, сумма которых должна быть равна распределяемой невязке (—25 — 12 — 17 = —54), записывают в соответствующих данному полигону рамочках. Распределенную невязку подчеркивают.
Переходят к полигону II. Здесь значение невязки изменится на величину поправки, перешедшей из полигона I (+38 -12 = +26). Учтенную поправку подчеркивают. Новую невязку распределяют пропорционально красным числам этого полигона (0,26; 0,46; 0,28) и полученные произведения (+7, +12, +7), сумма которых должна быть равна распределяемой невязке, записывают во внешних к полигону рамочках под соответствующими красными числами. Распределенную невязку подчеркивают.
В полигоне III будет новая невязка, равная сумме начальной невязки и поправок, перешедших из полигонов I и II (+36-17 + 7 = +26). Учтенные поправки подчеркивают. Полученную невязку распределяют таким же путем, как и в первых двух полигонах, и подчеркивают.
Закончив распределение невязок во всех полигонах, возвращаются к полигону I. Здесь появится новая невязка, равная сумме поправок, перешедших из смежных полигонов. Эта невязка распределяется так же, как и первый раз.
Таким образом, закончив первый цикл распределения невязок, приступают ко второму, затем к третьему и так далее до тех пор, пока все невязки полигонов станут равными нулю.
Следует помнить, что во избежание повторного использования одной и той же величины в процессе распределения невязок каждое использованное значение необходимо сразу же подчеркнуть.
После того как все невязки будут распределены, подсчитывают суммы чисел во всех табличках у звеньев.(Si и Sij).
Правильность вычисления этих сумм контролируют по формулам.
Расхождение при этом контроле не должно превышать 1,5 единицы последнего знака суммы.
Затем вычисляют поправки на звенья каждого полигона, считая направление звеньев совпадающим с направлением обхода полигона. Если i-й полигон по рассматриваемому звену не имеет смежного, то поправка на звено У, равна сумме чисел s,-внешней таблички этого звена с обратным знаком; если же по рассматриваемому звену полигон имеет смежный, то поправка на звено равна разности сумм чисел внутренней и внешней табличек этого звена.
Иначе говоря, чтобы получить поправки на звенья, внешние суммы полигона переносят внутрь полигона с противоположным знаком и складывают с его внутренними суммами для тех же звеньев, считая внутреннюю сумму равной нулю, если звено является внешним.
Полученные поправки записывают в скобках около соответствующих звеньев. У внутренних звеньев сети по правки записывают по обе стороны звена (соответственно двум смежным полигонам этого звена).
В каждом полигоне сумма поправок на звенья должна равна невязке полигона с обратным знаком [например, для i полигона I: +14 +18 +22 = +54 = —(—54)].
Введя поправки в измеренные превышения, получают исправленные (уравненные) их значения, по которым вычисляют затем отметки узловых точек.
По поправкам на звеньях можно определить среднюю квадратическую погрешность нивелирования хода длиной 1 км по формуле:
, Li — длина звена, r — число полигонов.
Оценка точности будет надежна только в том случае, когда число полигонов r не слишком мало.
Если требуется вычислить высоты точек, расположенных внутри какого-либо звена, то производится уравнивание превышений в этом звене по правилу д одиночного хода.
Б.Несвободная сеть. Уравнивание несвободной сети сводят к уравниванию
свободной сети путем введения фиктивных звеньев, соединяющих исходные пункты
(на рисунке фиктивные звенья показывают прерывистыми линиями). В результате
получают дополнительные полигоны. Дополнительных полигонов берут для уравнивания на единицу меньше числа исходных пунктов. Фиктивные звенья намечают так, чтобы они не пересекали действительные звенья и чтобы дополнительные полигоны имели наименьшее число действительных звеньев.
А
Во всех полигонах (включая и дополнительные) подсчитывают невязки, соблюдая правило о направлении обхода полигона, указанное при изложении уравнивания свободной сети. С учетом этого правила в дополнительном полигоне невязку подсчитывают по формуле ;
Где [h]- сумма измеренных превышений по ходу; высоты начального и
конечного исходных пунктов
Проверив допустимость невязок, приступают к уравниванию сети, считая ее
свободной, приняв длины фиктивных звеньев равными нулю. В соответсствии с этим фиктивных звеньев не будет красных чисел, а следователбно не будет табличек и поправок.
Способ полигонов профессора В.В. Попова является наиболее удобным для
мониторинга здании, так как основана на уравнивании различных сетей, а точность
уравнивания зависит от исходных данных, т.е. выбранного прибора для измерения высот
(тригонометрическое нивелирование). Таким образом, можно пронаблюдать за
Источник
