Уравнивание превышений нивелирной сети способом полигонов
5.6 Уравнивание превышений нивелирной сети способом полигонов
Этот способ предложен профессором Поповым В. В. Способ основан на строгом уравнивании по способу наименьших квадратов. Он позволяет составлять нормальные уравнения коррелат непосредственно по схеме сети. Решение нормальных уравнений производится последовательными приближениями. Практически это сводится к последовательному распределению невязок в каждом замкнутом ходе пропорционально длинам ходов или числу станций в ходе (пропорционально обратным весам отдельных ходов). Не рассматривая составление нормальных уравнений коррелат и их решение, приведем практическое применение этого способа.
На схеме сети (рис. 5.7) показывается:
— длины отдельных ходов (звеньев),км (на рис. 57 они записаны в кружках;
— номера ходов — N1 — N8;
— номера полигонов I , II , III , IV и их невязки .
В каждом полигоне сплошными линиями вычерчиваются рамки, в которые записываются невязки полигонов. Возле каждого звена вычерчивается рамка поправок (пунктирной линией) вне каждого полигона.
Длину каждого хода (для удобства вычислений) целесообразно выразить в частях, по отношению к периметру отдельного полигона принятого за 1 или 100. Эти числа записываются другим цветом (красные числа) над рамками (штриховыми) поправок за каждым замкнутым полигоном.
В первом полигоне периметр равен
км
На основании этого вычисляются «красные» числа:
— для звена ВС ,
Рисунок 5.7- Схема уравнивания превышений нивелирной сети способом полигонов
— для звена ВЕ .
Контролем является равенство суммы «красных» чисел единице:
Во втором полигоне периметр и «красные» числа равны
км
— для звена С D ,
— для звена D Е ,
— для звена СЕ .
Контроль: 
В третьем полигоне находим:
км
— для звена D А ,
— для звена D Е
— для звена АЕ
Контроль: 
В четвертом полигоне находим:
км
— для звена АВ
— для звена ВЕ ,
— для звена АЕ .
Контроль: 
После этого производится распределение невязок, начиная с полигона I (можно с любого) на звенья, образующие этот полигон.
В полигоне I умножением невязки этого полигона, равной + 15 мм на «красные» числа соответствующих звеньев, получают поправки в превышения звеньев, образующих этот полигон. Полученные величины записываются в рамки поправок у соответствующих звеньев с тем же знаком:
в звено ВС — + 15 мм · 0.42 = + 6 мм,
в звено СЕ — + 15 мм · 0.33 = + 5 мм,
в звено ВЕ — + 15 мм · 0.25 = + 4 мм.
Величины поправок округляются до 1 мм, так чтобы сумма поправок в звенья равнялась невязке соответствующего полигона.
В полигоне II невязка была равной (- 12) мм, но в звено СЕ из первого полигона прибавлена поправка (+ 5) мм. В связи с этим невязка в этом полигоне оказалась равной (- 12) мм (+ 5) мм = (- 7) мм. Эту невязку записывают в рамку невязок полигона II и умножая ее на «красные» числа звеньев получают поправки:
в звено СD: (- 7 мм · 0.43) = -3 мм,
в звено D Е: (- 7 мм · 0.26) = — 2 мм,
в звено СЕ: (- 7 мм · 0.31) = -2 мм.
В полигоне III невязка была равна (- 
мм и из полигона II получена поправка в звено D Е равная (- 2) мм. Поэтому невязка стала равной (- мм + (- 2) мм = — 10 мм, которая помещается в рамку невязок и распределяется как в предыдущих полигонах умножением на «красные» числа звеньев полигона III :
В звено А D: ( — 10 мм · 0.46 )= — 5 мм,
в звено АЕ: (- 10 мм · 0.28) = — 3 мм,
в звено D Е: ( — 10 мм · 0.26) = — 2 мм.
В полигоне IV невязка равна (- 11) мм и получены поправки в звено ВЕ из полигона I (+ 4) мм, и в звено AE из полигона III (- 3 мм), поэтому невязка оказалась равной (- 11 мм) + 4 мм + (- 3 мм) = — 10 мм. Она записывается в рамку невязок этого полигона и распределяется умножением ее на «красные» числа звеньев полигона IV :
в звено АВ: ( — 10 мм · 0.46) = — 5 мм,
в звено ВЕ: (- 10 мм · 0.24) = — 2 мм,
в звено АЕ: ( — 10 мм · 0.30) = — 3 мм.
Эти вычисления составляют первый круг уравнивания (первое приближение). Во втором круге вычисления повторяются, но с новыми невязками полигонов с учетом поправок из первого круга вычислений.
В полигоне I поправки из первого круга в звенья СЕ равная (- 2) мм и в ВЕ — (- 2 мм) образуют новую невязку полигона f 1 =( — 2 мм )+ (- 2 мм) =( — 4) мм , которая записывается в рамку поправок и распределяется как в первом круге умножением на «красные» числа звеньев полигона I :
в звено ВС: –( — 4 мм · 0.42) = (- 2) мм,
в звено СЕ: ( — 4 мм · 0.33) = (- 1) мм,
в звено ВЕ : ( — 4 мм · 0.25) = (- 1) мм.
В полигоне II поправка в звено D Е из первого приближения равна (- 2) мм и в СЕ из второго приближения (- 1) мм образуют новую невязку полигона f II = — 2 мм + (‑1мм) = -3 мм, которая записывается в рамку невязок и распределяется как в первом круге умножением на «красные» числа звеньев полигона II:
в звено С D: (- 3 мм · 0.43) = (- 1) мм,
в звено D Е: ( — 3 мм · 0.26) = (- 1) мм,
в звено СЕ: (- 3 мм · 0.31) = (- 1) мм.
В полигоне III поправка в звено АЕ из первого приближения вычислений равна (- 3) мм, а в звено D Е из второго круга (- 1) мм, образуют невязку 
= — 3 мм + (- 1 мм) = — 4 мм, которая записывается в рамку невязок и распределяется как в первом приближении; полученные поправки записываются в соответствующие рамки поправок:
в звено А D: ( — 4 мм · 0.46) = (- 2) мм,
в звено АЕ: (- 4 мм · 0.28) = (- 1) мм,
в звено D Е: ( — 4 мм · 0.26) = (- 1) мм.
В полигоне IV поправка из второго приближения в звено АЕ равна (- 1) мм и в звено ВЕ (- 1) мм образуют невязку 
= — 1 мм + (- 1 мм) = — 2 мм, которая записывается в рамку невязок и распределяется по звеньям этого полигона:
в звено АВ: ( — 2 мм · 0.46) =( — 1) мм,
в звено АЕ: ( — 2 мм · 0.30) = (- 1) мм,
в звено ВЕ: ( — 2 мм · 0.24) = 0 мм.
В третьем круге (приближении) вычисления ведутся аналогично второму кругу, но невязки полигонов определяются по поправкам полученным из второго и третьего круга:
В полигоне I: 
= (-1) + (0) = — 1 мм, а поправки в звенья этого полигона равны: — 1,0; 0 мм. В полигоне II: 
= 0 + (-1) = 1 мм, а поправки в звенья этого полигона равны: — 1,0 ; 0 мм.
В полигоне III: = 0 + (-1) = — 1 мм, а поправки в звенья полигона равны: — 1,0 ; 0 мм.
В полигоне IV: 
= 0 +0 = 0, т.к. поправки из третьего приближения в звенья АЕ и ВЕ равны нулю.
Как видно из этих вычислений для уравнивания достаточно трех приближений. После этого необходимо подсчитать поправки в каждое звено. Для этого в рамках поправок суммируются поправки, полученные из каждого приближения.
Для периферийных звеньев после сложения поправок в рамке надо поменять знак на обратный и записать поправку у соответствующего звена (на рис. 5.7 поправки записаны в скобках). Поправки в превышения периферийных звеньев равны: АВ — (+ 6 мм) , ВС — (- 3 мм), С D — (+ 5 мм), А D — (+8мм).
Для общих звеньев СЕ , D Е , АЕ , ВЕ поправки находятся как разности поправок в эти звенья из смежных полигонов :
в звено СЕ полигона I: (-3) — (+4) = — 7 мм
в звено СЕ полигона II: (+4) — (-3) = + 7 мм
в звено D Е полигона II: (-3) — (-3) = 0 мм
в звено D Е полигона III: (-3) — (-3) = 0 мм
в звено АЕ полигона III: (-4) — (-4) = 0 мм
в звено АЕ полигона IV: (-4) — (-4) = 0 мм
в звено ВЕ полигона IV: (+3) — (-2) = + 5 мм
в звено ВЕ полигона I: (-2) — (+3) = — 5 мм.
Для контроля необходимо в каждом полигоне подсчитать сумму поправок в звенья и сравнить ее с первоначальной невязкой полигона. Эти две величины должны быть одинаковы по абсолютному значению, но противоположны по знаку.
Полигон I: (-3) + (-7) + (-5) = — 15 мм, невязка + 15 мм.
Полигон II: (+5) + (0) + (+7) = + 12 мм, невязка — 12 мм.
Полигон III: (+8) + (0) + (0) = + 8 мм, невязка — 8 мм.
Полигон IV: (+6) + (+5) + (0) = + 11 мм, невязка — 11 мм.
При уравнивании нивелирной сети по способу полигонов В.В. Попова все вычисления производятся непосредственно на схеме (чертеже) сети.
Недостатком этого способа уравнивания является сложность оценки точности по результатам уравнивания.
Источник
Уравнивание нивелирной сети способом полигонов
Для уравнивания нивелирной сети коррелатным способом методом наименьших квадратов получают нормальные уравнения коррелат и коррелатные уравнения поправок непосредственно по схеме сети. Этот способ назван «способом полигонов». При этом можно получить значения поправок в превышения по ходам, не вычисляя коррелат.
Способ полигонов сводится к последовательному распределению невязок в каждом полигоне пропорционально обратным весам отдельных ходов, входящих в полигон. Уравнивание в этом случае производится непосредственно на чертеже. Число независимых полигонов в сети определяется по формуле:
где N – число замкнутых полигонов;
Т – число исходных пунктов;
где n – число всех измеренных превышений или ходов;
k – число необходимых измерений (число определяемых узловых точек).
Возьмем свободную нивелирную сеть (т.е. сеть без избыточных пунктов). обозначим длины ходов, входящих в один полигон, как L1, L2, L3, а в два полигона – L1,2, L1,3, L2,3. Пусть невязки в полигонах равны f1, f2, f3, а общие длины полигонов – [L]2, [L]2, [L]3. Тогда нормальные уравнения коррелат будут иметь вид:
Эту систему уравнений можно решить непосредственно и определить значения коррелат k1, k2 k3, а затем найти поправки в превышения. Это решение будет соответствовать методу наименьших квадратов.
Суть же способа полигонов заключается в том, что последовательными приближениями невязки полигонов уменьшаются до величины, которой можно пренебречь. В первом приближении находим:
и подставляем их в исходную систему уравнений. Свободные члены (невязки) уравнений примут вид:
Величины “вторичных” невязок f’ будут меньше “первичных” невязок f:
После второго приближения свободные члены исходных уравнений примут вид:
Эти невязки будут еще меньше, чем “вторичные”. После m приближений получим f m ≈ 0, что дает основание прекратить расчеты и перейти к вычислению поправок в нивелирные ходы. Для этого вычислим суммы:
Поправки в нивелирные ходы вычисляются по формулам:
Все эти вычисления выполняются непосредственно на схеме сети.
Наказ Головного управління геодезії, картографії та кадастру при Кабінеті Міністрів України від 9 квітня 1998 р. № 56
Зареєстровано в Міністерстві юстиції України 23 червня 1998 р. за № 393/2833
з топографічного знімання у масштабах 1:5000,1:2000,1:1000 та 1:500 (ГКНТА-2.04-02-98)
Інструкція обов’язкова для всіх суб’єктів підприємницької діяльності, незалежно від форм власності, які виконують топографічні знімання у масштабах 1:5000, 1:2000, 1:1000 та 1:500.
4. Геодезичні мережі згущення
4.5.1. Нівелірні мережі для виконання великомасштабних топографічних знімань створюються шляхом згущення державної нівелірної мережі.
Нівелювання III та IV класів є основним методом згущення державної нівелірної мережі при виконанні великомасштабних топографічних знімань.
Для визначення висот пунктів знімальної основи, а також для визначення висот пунктів геодезичних мереж згущення дозволяється розвивати мережі технічного нівелювання.
Густоту та клас точності нівелірних мереж під час топографічних знімань, у залежності від призначення та масштабів знімань, вибраного перерізу рельєфу місцевості тощо, вказують у технічному проекті (програмі) робіт.
Нівелірні мережі для великомасштабних топографічних знімань створюють у вигляді окремих ходів, полігонів або самостійних мереж і, як правило, прив’язують не менше ніж до двох вихідних нівелірних знаків (марок, реперів) вищого класу.
У містах, площа яких понад 500 кв. км, створюється нівелірна мережа І класу.
У містах з площею 50-500 кв. км створюються системи ліній II класу.
У містах площею від 25 до 50 кв. км створюються нівелірні мережі III класу, а в невеликих містах та населених пунктах площею менше 25 кв. км дозволяється створювати нівелірні мережі тільки IV класу.
Для закріплення ліній нівелювання в основному застосовують стінні репери.
Вимоги до методики нівелювання, приладів та точності робіт описано в діючій Інструкції з нівелювання І, II, III та IV класів.
У пп. 4.5.6-4.5.30 цієї Інструкції наводяться основні вимоги по нівелювання IV класу, технічного та тригонометричного нівелювань.
Нівелювання IV класу
4 5.6. Нівелювання IV класу виконується нівелірами, що мають збільшення труби не менш 25 Х , ціну поділки рівня не більше 25″ (контактного – не більше 30″) на 2 мм (див. дод. 15) та нівелірами з самоустановлювальною лінією візування (Н3КЛ, Nі-025) та їм рівноточними.
4.5.7. При нівелюванні IV класу ходи прокладають в одному напрямку. Довжина ліній не повинна перевищувати 8 км на забудованій території і 12 км на незабудованій.
4.5.8. Перед початком польових робіт виконують польові перевірки та дослідження нівелірів і компарування рейок (див. дод. 13).
4.5.9. Для нівелювання IV класу застосовують триметрові двосторонні рейки з шашковою шкалою (див. дод. 15).
Відліки по чорних та червоних сторонах рейок беруть по середній нитці. Для визначення відстані від нівеліра до рейки проводять відлік по віддалемірній нитці по чорній стороні рейки.
4.5.10. Порядок спостережень на станції такий:
— відлік по чорній стороні задньої рейки;
— відлік по чорній стороні передньої рейки;
— відлік по червоній стороні передньої рейки;
— відлік по червоній стороні задньої рейки.
4.5.11. Розходження значень перевищення на станції, що визначені по чорній та червоній сторонах рейок, допускається до 5 мм.
Нерівність відстаней від нівеліра до рейок на станції допускається до 5 м, а накопичення їх у секції – до 10 м.
4.5.12. Нормальна довжина променя візування 100 м. Якщо нівелювання виконують нівеліром, труба якого має збільшення не менше 30 Х , то при відсутності коливань зображень дозволяється збільшувати довжину візирного променя до 150 м. Висота променя над підстильною поверхнею повинна бути не менш як 0,2 м.
4.5.13. Нев’язки в ходах між вихідними пунктами та в полігонах повинні бути не більше 20 
(мм) при кількості станцій менше 15 на 1 км ходу і 5 
(мм) на місцевості із значними кутами нахилу, коли кількість станцій більше 15 на 1 км ходу, де L – довжина ходу (полігону) в км; n – кількість станцій в ході (полігоні).
4.5.14. Після закінчення нівелювання IV класу здають такі матеріали:
схему ходів нівелювання;
журнали нівелювання або його результати в реєстраторах чи накопичувачах інформації;
матеріали дослідження приладів та компарування рейок;
абриси місцезнаходження нівелірних марок, стінних та ґрунтових реперів (у т.ч. раніше закладених);
акти здачі знаків нівелювання для нагляду за збереженням; відомості перевищень;
матеріали обчислень та оцінки точності;
4.5.15. Ходи технічного нівелювання прокладають між двома вихідними знаками у вигляді одиночних ходів або системи ходів з однією або декількома вузловими точками.
Прокладання замкнутих ходів, що опираються обома кінцями на один і той самий вихідний знак, не дозволяється.
У мережу технічного нівелювання включаються всі пункти планових мереж згущення (полігонометрії, трилатерації, тріангуляції), які не включені в мережу нівелювання IV класу.
4.5.16. Довжини ходів технічного нівелювання визначають у залежності від висоти перерізу рельєфу топографічного знімання. Допустимі довжини ходів наведено в табл.10.
| Довжини ходів (у км) при перерізах | ||
| Характеристика ліній | Характеристика рельєфу | |
| 0,25 м | 0,5 м | 1 м і більше |
| Між двома вихідними пунктами | 2,0 | |
| Між вихідним пунктом та вузловою точкою | 1,5 | |
| Між двома вузловими точками | 1,0 |
4.5.17. Для виконання технічного нівелювання застосовуються нівеліри із збільшенням зорової труби не менше 20 Х та ціною поділки рівня не більше 45″ на 2 мм, нівеліри із самоустановлювальною лінією візування, а також теодоліти з компенсатором або з рівнем на трубі.
Нівелірні рейки повинні мати шашковий малюнок із сантиметровими або двосантиметровими поділками.
4.5.18. Нівелювання виконують в одному напрямку. Відліки по рейці, що встановлена на нівелірний башмак, костиль чи вбитий в землю кілок, беруть по середній нитці.
Порядок спостережень на станції такий:
— відліки по чорній та червоній сторонах задньої рейки;
— відліки по чорній та червоній сторонах передньої рейки. Розходження значень перевищення на станції, що визначені по чорній та червоній сторонах рейок, допускається 5 мм.
4.5.19. Віддалі від приладу до рейок визначають по крайніх віддалемірних нитках труби. Нормальна довжина променя візування 120 м. За добрих умов видимості та спокійних зображеннях довжину променя можна збільшити до 200 м.
4 5.20. Нев’язки нівелірних ходів або замкнутих полігонів не повинні перевищувати величин, що обчислені за формулою 
(мм), де L – довжина ходу (полігону) в кілометрах.
На місцевості із значними кутами нахилу, коли кількість станцій на 1 км ходу більше 25, допустима нев’язка підраховується щ формулою 
(мм), де n – кількість штативів у ході (полігоні).
4.5.21. У процесі технічного нівелювання одночасно нівелюють окремі характерні точки місцевості, стійкі щодо висоти об’єкти: кришки люків, головки рейок на переїздах, пікетажні стовпи вздовж доріг, великі камені і т. ін. Висоти наведених точок визначають як проміжні при включенні їх у хід. Кожна проміжна точка повинна бути замаркірована або на неї повинен бути складений абрис з промірами до ближніх орієнтирів. Особливу увагу треба приділяти визначенню урізів води.
4.5.22. Після проведення польових робіт з технічного нівелювання здають матеріали, що перелічені в п. 4.5.14.
4.5.23. Для визначення висот точок геодезичної знімальної основи при топографічному зніманні з перерізом рельєфу через 2 та 5 м, а також при топографічному зніманні місцевості, що вкрита горбами, з перерізом рельєфу через 1 м геометричне нівелювання може бути замінене тригонометричним.
4.5.24. Вихідними знаками для тригонометричного нівелювання є пункти тріангуляції, трилатерації і полігонометрії всіх класів і розрядів, висоти яких визначені геометричним нівелюванням. Вихідні пункти слід розташовувати не рідше ніж через п’ять сторін.
У разі доброї видимості і використання приладів точністю 1″ і .2″ кількість сторін між вихідними пунктами в гірських районах може пуги збільшена в 1,5 рази.
У гірських районах вихідними можуть бути пункти тріангуляції, трилатерації і полігонометрії, висоти яких визначені геометричним нівелюванням.
4.5.25. Вертикальні кути при тригонометричному нівелюванні вимірюють на всі пункти, висоти яких не визначені з геометричного нівелювання. Вертикальні кути вимірюють одночасно з горизонтальними тими самими приладами в прямому та зворотному напрямках.
Вимірювання проводять трьома прийомами при двох положеннях вертикального круга.
Для вимірювань використовують періоди достатньо чітких та спокійних зображень візирних цілей, за винятком часу, близького до сходу та заходу сонця (у межах двох годин).
Коливання значень вертикальних кутів та місця нуля, що обчислені з окремих прийомів, не повинно перевищувати 15″.
Розходження між прямим і зворотним перевищенням для однієї і тієї самої сторони не повинно бути більшим від 4 см на кожні 100 м відстані.
Нев’язки по висоті в ходах і замкнутих полігонах не повинні перевищувати величин, обчислених за формулою 
(см), де Sсер = [S] – довжина лінії в метрах, n – кількість ліній у ході (полігоні);
В окремих випадках можуть встановлюватися вищі вимоги до точності тригонометричного нівелювання; при цьому методику роботи визначають на основі спеціальних розрахунків.
4.5.29. Висоти верху візирної цілі і горизонтальної осі приладу над маркою центра знака вимірюють з точністю 1 см.
4.5.30. Після закінчення тригонометричного нівелювання здають такі матеріали:
журнали вимірювання довжин ліній та вертикальних кутів або їх результати в реєстраторах чи накопичувачах інформації;
матеріали дослідження приладів;
матеріали обчислення перевищень та оцінки точності;
Источник
