Уравнивание линейно угловой сети параметрическим способом

Уравнивание углов на станции параметрическим способом

В табл. 13 даны результаты равноточных измерений углов на станции (рис. 4).

Рис. 4. Углы на станции

Результаты измерений β_i

№ углов	Углы	βi	№ углов	Углы	βi
АКВ	20° 00′ 05,2″	АКД	65° 20′20,0″
ВКС	20° 00′ 10,1″	ВКД	45° 20′ 05,0″
СКД	25° 20′ 00,0″

Число всех измеренных углов n = 5; число необходимых измерений t = 3.

Выберем в качестве параметров х₁, х₂, х₃ соответственно первый, второй, третий углы. Четвертый и пятый углы можно представить как суммы параметров.

Составим параметрические уравнения связи по формуле:

(40)

Введем приближенные значения параметров, приняв их равными измеренным значениям соответствующих углов:

Перейдем к параметрическим уравнениям поправок:

Составим нормальные уравнения:

Bычислим коэффициенты и свободные члены нормальных уравнений (табл. 14).

Таблица параметрических уравнений

Систему нормальных уравнений решим методом обращения

Элементы обратной матрицы N_tt -1 получим на ПК, используя математические функции электронных таблиц Еxсel или системы Mathсad.

Контроль вычисления неизвестных:

4·3,038 +6·(-0,688) + 6·(-0,688) — 3,9 = 0.

В табл. 14 по формуле (28) вычислим поправки к результатам измерений. Сделаем контроль решения по МНК.

Найдем уравненные значения углов (табл. 15). Выполним контроль уравнивания: .

Оценим точность результатов измерений.

— средняя квадратическая ошибка результатов измерений.

Уравненные значения углов. Контроль уравнивания

№ п/п		Параметры и их функции	Fi(x1, x2, x3)
20°00′ 08,24″	x1	20° 00′ 08,24″
20° 00′ 09,41″	x2	20° 00′ 09,41″
25° 19′ 59,31″	x3	25° 19′ 59,31″
65° 20′ 16,96″	x1 + x2 +x3	65° 20′ 16,96″
45° 20′ 08,72″	x2 + x3	45° 20′ 08,72″

Оценим точность уравненных углов. Обратный вес функции найдем через элементы обратной матрицы по формуле:

— обратный вес первой функции.

— обратный вес второй функции.

— обратный вес параметра (j = 1, 2, 3).

— средняя квадратическая ошибка параметра.

— средние квадратические ошибки весовых функций.

Источник

3. Уравнивание геодезической сети параметрическим способом

3.1. Краткие сведения из алгоритма способа

Сущность параметрического способа отражается в принципах, положенных в основу составления уравнений поправок. Дальнейшая задача сводится к их решению при условии метода наименьших квадратов.

Для составления уравнений поправок выбирают независимые параметры . В качестве параметров выбирают величины, которые связаны функциональными зависимостями с результатами измерений. Для всех независимых параметров назначают их предварительные значения. К ним из уравнивания отыскивают поправки.

Обозначим численные значения измеренных величин за ,j = 1. , n, где n – количество измеренных величин и будем называть их уравниваемыми величинами. Уравненные значения этих величин обозначим за . В качестве независимых параметров обычно принимают координаты пунктов.

Независимые параметры связаны функциональными зависимостями с уравниваемыми величинами

.

Это выражение называется уравнением связи, оно справедливо и по отношению к уравненным величинам и уравненным параметрам

, (19)

причем , где— измеренное значение,— поправка к измеренной величине,— поправки к предварительным значениям параметров.

Систему уравнений (19) приводят к линейному виду и получают систему линейных уравнений поправок:

,

или , (20)

где — свободный член уравнения поправок;

— коэффициенты уравнений поправок, вычисляемые по формулам:

. (21)

В матричной форме записи система параметрических уравнений имеет вид:

, (22)

где — вектор-столбец поправок в измеренные величины, количество строк которого (n) совпадает с количеством измеренных величин;

— матрица коэффициентов уравнений поправок, количество строк матрицы соответствует количеству измеренных величин(n), а столбцов – количеству параметров (k);

— вектор поправок к приближенным значениям параметров;

— вектор свободных членов уравнений поправок.

Для приведения системы уравнений к равноточному виду и переходу к системе нормальных уравнений умножим систему (22) слева на , где— транспонированная матрица коэффициентов уравнений поправок;P – диагональная матрица весовых коэффициентов измеренных величин. Веса измеренных величин определяются по формуле , где — ошибка единицы веса, назначаемая до уравнивания, — средняя квадратическая ошибкаj измерения. Система нормальных уравнений имеет вид:

, (23)

где — матрица коэффициентов нормальных уравнений;

.

Решение системы (23) находим в виде

, (24)

где — матрица, обратная к матрице нормальных уравнений.

Подставив решение системы нормальных уравнений в выражение (22), найдем вектор поправок в измеренные величины.

После этого необходимо произвести оценку точности. Вычисляют ошибку единицы веса после уравнивания по формуле :

, (25)

где n –число всех измерений,

k – число параметров;

V T – транспонированный вектор поправок в измеренные величины;

Р – матрица весов измеренных величин;

V — вектор поправок в измеренные величины.

Точность определения параметров из уравнивания характеризуется величиной средней квадратической ошибки, значение которой определяется из соотношения , гдеQ –обратные веса параметров, являющиеся диагональными элементами матрицы .

Источник

3. Уравнивание геодезической сети параметрическим способом

3.1. Краткие сведения из алгоритма способа

Сущность параметрического способа отражается в принципах, положенных в основу составления уравнений поправок. Дальнейшая задача сводится к их решению при условии метода наименьших квадратов.

Для составления уравнений поправок выбирают независимые параметры . В качестве параметров выбирают величины, которые связаны функциональными зависимостями с результатами измерений. Для всех независимых параметров назначают их предварительные значения. К ним из уравнивания отыскивают поправки.

Обозначим численные значения измеренных величин за ,j = 1. , n, где n – количество измеренных величин и будем называть их уравниваемыми величинами. Уравненные значения этих величин обозначим за . В качестве независимых параметров обычно принимают координаты пунктов.

Независимые параметры связаны функциональными зависимостями с уравниваемыми величинами

.

Это выражение называется уравнением связи, оно справедливо и по отношению к уравненным величинам и уравненным параметрам

, (19)

причем , где— измеренное значение,— поправка к измеренной величине,— поправки к предварительным значениям параметров.

Систему уравнений (19) приводят к линейному виду и получают систему линейных уравнений поправок:

,

или , (20)

где — свободный член уравнения поправок;

— коэффициенты уравнений поправок, вычисляемые по формулам:

. (21)

В матричной форме записи система параметрических уравнений имеет вид:

, (22)

где — вектор-столбец поправок в измеренные величины, количество строк которого (n) совпадает с количеством измеренных величин;

— матрица коэффициентов уравнений поправок, количество строк матрицы соответствует количеству измеренных величин(n), а столбцов – количеству параметров (k);

— вектор поправок к приближенным значениям параметров;

— вектор свободных членов уравнений поправок.

Для приведения системы уравнений к равноточному виду и переходу к системе нормальных уравнений умножим систему (22) слева на , где— транспонированная матрица коэффициентов уравнений поправок;P – диагональная матрица весовых коэффициентов измеренных величин. Веса измеренных величин определяются по формуле , где — ошибка единицы веса, назначаемая до уравнивания, — средняя квадратическая ошибкаj измерения. Система нормальных уравнений имеет вид:

, (23)

где — матрица коэффициентов нормальных уравнений;

.

Решение системы (23) находим в виде

, (24)

где — матрица, обратная к матрице нормальных уравнений.

Подставив решение системы нормальных уравнений в выражение (22), найдем вектор поправок в измеренные величины.

После этого необходимо произвести оценку точности. Вычисляют ошибку единицы веса после уравнивания по формуле :

, (25)

где n –число всех измерений,

k – число параметров;

V T – транспонированный вектор поправок в измеренные величины;

Р – матрица весов измеренных величин;

V — вектор поправок в измеренные величины.

Точность определения параметров из уравнивания характеризуется величиной средней квадратической ошибки, значение которой определяется из соотношения , гдеQ –обратные веса параметров, являющиеся диагональными элементами матрицы .

Источник