Уравнивание геодезических сетей параметрическим способом

Сущность параметрического способа уравнивания

При уравнивании геодезических сетей параметрическим способом первоначально выбираются так называемые параметры, через которые посредством уравнений связи выражается каждая измеренная величина. Поэтому непосредственно уравниваемыми величинами являются параметры, а затем уже по уравненным значениям параметров вычисляются уравненные значения непосредственно измеренных величин..

Пусть в геодезической сети измерено величин , , …, , из которых величин являются избыточно измеренными. Далее выбирается ряд независимых неизвестных параметров , , …, , через которые могут быть выражены значения измеренных величин , ( ). Число таких параметров должно быть равно числу избыточно измеренных величин. Каждая избыточно измеренная величина в геодезической сети приводит к возникновению одного уравнения связи вида

, ( ) , (7.43)

где , ( ) – истинные значения измеренных величин;

, ( ) – истинные значения параметров.

Уравнения (7.43) называются параметрическими уравнениями связи в общем виде .

Как уже ранее отмечалось, целью уравнительных вычислений является вычисление таких поправок в измеренные величины , при которых удовлетворялись бы все существующие зависимости между элементами сети, причем не только измеренными, но и вычисляемыми. Это означает, что если в левой части выражений (7.43) поставить уравненные значения измеренных величин, то должны измениться и правые части, а именно, должны измениться значения параметров , т.е. в правой части должны стоять соответствующие уравненные значения параметров.

(7.44)

уравненные значения измеренных величин, а через

(7.45)

уравненные значения параметров, где – приближенные значения неизвестных параметров , а – поправки к приближенным значениям параметров. Тогда система уравнений (7.43) может быть переписана в виде

, ( ) , (7.46)

, (7.44)

1. Гудков В.М., Хлебников А.В. Математическая обработка маркшейдерско-геодезических измерений. Учеб. для вузов. – М.: Недра, 1990.– 335 с.

2. Большаков В.Д., Гайдаев П.А. Теория математической обработки геодезических измерений. – М.: Недра, 1977. 387 с.

3. Смолич Б.А. Уравнительные вычисления. Учеб. для техникумов – М.: Недра, 1989. – 245 с.

4. Мазмишвили А.И. Теория ошибок и метод наименьших квадратов. – М.: Недра, 1978. 311 с.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Учеб. для втузов. Т.1 – М.: Недра, 1970. 456с.

6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Учеб. для втузов. Т.2 – М.: Недра, 1970. 576с.

7. Бермант А.Ф. Курс математического анализа. Часть 1. – М.: Госуд. изд-во физ-мат. литературы. 1959, 466 с.

8. Селиханович В.Г. Геодезия. Учеб. для вузов.Ч. II – М.: Недра, 1981. 544 с.

Источник

Параметрический способ уравнивания

При уравнивании сложных по построению геодезических сетей, в которых имеется обычно большое число избыточных измерений, применение коррелатного способа является практически менее выгодным. Это связано с тем, что в сложных сетях образуется сравнительно большое число геометрических условий (см. § 134), т.е. возникает необходимость решения значительного числа нормальных уравнений. При уравнивании сложных геодезических сетей предпочтение отдают параметрическому способу. В данном случае его рекомендуется применять практически для любых построений: обширных геодезических сетей триангуляции и трилатерации, для весьма сложных фигур триангуляции 3 и 4 классов, в схемах различных линейно-угловых построений и др.

Чаще всего при уравнивании плановых геодезических построений параметрическим способом в качестве неизвестных величин (или необходимых параметров t_j ) выбирают координаты определяемых пунктов, для которых из предварительных вычислений находят приближённые значения t_j o , а затем определяют поправки τ_j к этим приближённым значениям. В качестве уравниваемых величин в плановых построениях принимают измеренные направления, углы, дирекционные углы (азимуты), длины сторон сетей. Промежуточными уравниваемыми величинами (как косвенными величинами) могут явиться и приращения координат точек планового построения.

Для нахождения поправок при уравнивании параметрическим способом необходимо составить параметрические уравнения связи, которые в полной мере обеспечат решение поставленной задачи. Все измеренные величины практически можно выразить через координаты точек сети, т.е. через выбранные параметры t_j, что и требуется при уравнивании параметрическим способом. Так, дирекционные углы α и длины s сторон можно найти по разностям координат, горизонтальные углы, в свою очередь, выразить через разность дирекционных углов и т.п.

Рассмотрим различные виды уравнений поправок, применяемых при уравнивании параметрическим способом.

Уравнение поправок для измеренного дирекционного угла находится из параметрического уравнения связи между дирекционным углом и координатами точек данной линии:

(14.105)

. (14.106)

Известно, что и . С учётом этого возьмём частные производные от функции (14.106) по переменным x и y:

. (14.107)

Свободный член l_ki уравнения поправок может быть найден из уравнения

, (14.108)

где х о и у о – значения искомых координат точек i и k , полученные по результатам предварительных вычислений по измеренным величинам; α_ki o и α_ki‘ – соответственно вычисленное и измеренное значение дирекционного угла. (Вычисленные значения необходимо давать с тем же порядком точности (округления), что и непосредственно измеренные величины).

Параметрическое уравнение поправок для измеренного дирекционного угла имеет вид:

. (14.109)

Выразим поправки и в координаты х и у в дециметрах и обозначим их соответственно буквами ξ и η . Поправки в углы и свободный член уравнения – в секундах, а значение длины s — в километрах. С учётом этого можно записать, что

, (14.110)

, (14.111)

(14.112)

называются коэффициентами параметрического уравнения поправок.

При этом необходимо учитывать, что величины v_ki являются поправками для измеренных углов α_ki , а величины Δα_ki — поправками для вычисленных дирекционных углов α_ki o .

Уравнение поправок для измеренного направления может быть получено из следующего параметрического уравнения связи:

, (14.113)

где М_ki – измеренное направление; z_k – ориентирующий (дирекционный) угол начального направления в точке k.

Выразим значение α_ki через выбранные параметры (14.105) и запишем параметрическое уравнение связи (14.113) в виде

(14.114)

. (14.115)

Если при предварительных вычислениях значение ориентирующего угла z_k o определено с погрешностью δz_k , то для любого направления на данном пункте существует постоянная погрешность величиной δz_k.

Параметрическое уравнение поправок для измеренного направления M_ki будет иметь вид:

, (14.116)

похожий на уравнение (14.110). Если дирекционный (ориентирующий) угол в исходном пункте получен без погрешности (т.е. погрешность его определения весьма мала по сравнению с погрешностями измерений других величин), то в выражении (14.116) можно исключить δz_k .

Свободный член уравнения поправок в направления находят по формуле

где α_ki о — точное значение дирекционного угла, вычисленное по координатам точек (предварительным их значениям); M_ki‘ — измеренное значение направления; z_ki o — частные значения ориентирующего угла на пункте k ; z_k o — предварительное значение дирекционного (ориентирующего) угла находят как среднее арифметическое из его частных значений:

. (14.118)

В (14.118) n – число измеренных направлений на пункте k .

Отметим некоторые особенности уравнивания направлений на пункте k:

1. Сумма свободных членов на пункте должна быть равна нулю.

2. Из-за возможных погрешностей в вычислениях расстояния между пунктами следует определять дважды:

. (14.119)

3. Сумма поправок в направления на каждом пункте должна быть равна нулю.

4. Уравнения поправок для прямого и обратного направлений различаются только значениями δz и свободными членами.

5. Если а) – пункт i исходный, а пункт k определяемый, либо б) – пункт i определяемый, а пункт k исходный, либо в) – оба пункта исходные, то уравнения поправок в направления имеют соответственно следующий вид:

а)

б) (14.120)

в)

6. Порядок уравнивания направлений в триангуляции параметрическим способом следующий (в качестве измеренных величин обычно берут направления):

— вычисляют предварительные значения координат и дирекционных углов;

— составляют параметрические уравнения связи, вычисляют коэффициенты и свободные члены уравнений поправок; составляют уравнения поправок для направлений, измеренных на пункте;

— составляют и решают нормальные уравнения поправок к предварительно вычисленным координатам;

— вычисляют окончательные значения координат пунктов;

— вычисляют поправки в измеренные направления;

— выполняют контроль обработки и оценивают точность уравненных величин (элементов сети).

Уравнение поправок для угла может быть получено на основании того, что значение угла равно разности дирекционных углов двух направлений:

(14.121)

. (14.122)

С учетом (14.116) можно записать, что

(14.123)

. (14.124)

Вычисление свободных членов l_ij k контролируют невязками W треугольников:

вычисляют из предварительных определений дирекционных углов и значениям измеренных горизонтальных углов β.

Уравнение поправок для измеренного расстояния находят из параметрического уравнения связи

(14.127)

. (14.128)

Если продифференцировать функцию (14.128) по переменным х и у, то получим частные производные

. (14.129)

В этом случае параметрические уравнения поправок для измеренного расстояния будут иметь вид:

, (14.130)

, (14.131)

. (14.132)

определяют по значениям координат х о и у о , полученных из предварительных вычислений, а s_ki — измеренное значение расстояния.

В уравнении поправок (14.130) все линейные величины должны быть выражены в одних и тех же единицах.

Как было сказано выше, решение задачи уравнивания параметрическим способом основано на представлении всех измеренных величин в виде функций некоторых выбранных параметров. Пусть, например, в треугольнике из n искомых элементов измерено k необходимых величин. В данном случае все избыточные элементы r можно выразить в виде их функций, т.е. здесь не возникает задачи уравнивания. Например, в треугольнике АВС измерены углы А и В и длина линии АВ = с. Остальные элементы можно найти из соотношений:

(14.133)

Если же измерены избыточные (r ) параметры С, а и b либо один из них, то возникает задача уравнивания.

Обозначим необходимые элементы буквой Т_j. Для указанного треугольника в этом случае имеем: А = Т₁, В = Т₂, с = Т₃. Соотношения (14.133) здесь можно записать в виде:

(14.134)

Пусть, как и в коррелатном способе уравнивания, истинные значения Х₁, Х₂, …, Х_n (нам неизвестные) измерены, в результате чего получены значения х₁, х₂, …, х_n , из которых k – необходимые, а r =( n – k) – избыточные. Значения x_i получены с весами p_i .

Выберем такие независимые между собой параметры Т_j (j = 1, 2, …, k), функциями которых можно выразить все измеренные величины x_i (i = 1, 2,…, n) Очевидно, что число таких параметров должно быть равно k необходимых измерений. Получим функции

(14.135)

Равенства (14.135) называют параметрическими уравнениями связи.

Поскольку истинные значения Т_j бывают неизвестными, то в процессе уравнивания получают их вероятнейшие значения, а затем находят уравненные значения всех измеренных величин.

Обозначим уравненные значения параметров T_j буквой t_j , тогда

Из (14.136) следует, что

Если уравнения (14.136) имеют нелинейный вид, то решение этой системы уравнений практически невозможно.

Для решения системы уравнений (14.136) для параметров t_j находят такие значения t_j о (с такой их точностью), чтобы равенства (14.136) можно было привести к линейному виду разложением в ряд Тейлора с ограничением только членами первого порядка.

Для значений t_j можно записать, что

где τ_j – поправки в приближенные значения параметров t_j о . Тогда

Разложим функцию (14.139) в ряд Тейлора, ограничиваясь первыми членами разложения:

. (14.140)

(14.141)

Первый индекс при параметре а показывает номер параметрического уравнения связи (измеренной величины), а второй – номер параметра t (и поправки τ. В общем виде

. (14.142)

Найдём разности между вычисленными значениями x_i o через приближённые значения параметров t_i o и измеренными значениями x_i . Эти разности l_i называются свободными членами параметрических уравнений поправок:

C учётом (14.143) систему уравнений (14.139) можно записать в развёрнутом виде:

(14.144)

В системе n уравнений (14.144) содержится (n+k) неизвестных, в связи с чем эта система является неопределённой. Так же, как и в коррелатном способе уравнивания, решение данной системы определяется условием минимума сумм квадратов поправок, т.е. [pv 2 ] = min.

Опуская промежуточные математические преобразования (о них можно посмотреть в соответствующей геодезической литературе), приведём окончательный вид системы нормальных уравнений, которая состоит из k уравнений с k неизвестными τ_j с учётом весов p_i измеренных величин и значений l_i свободных членов параметрических уравнений поправок:

В выражениях (14.145) индексы при коэффициентах а соответствуют вторым индексам коэффициентов a_ij в выражениях (14.144).

Для раскрытия гауссовых сумм в (14.145) составим матрицу коэффициентов a_ij с весами p_i результатов измерений и со свободными членами l_i (табл. 14.15).

C учётом табл. 14.15 и выражений (14.145) приведём принцип раскрытия гауссовых сумм.

Матрица коэффициентов, свободных членов и весов

j i	…	j	…	k	l_i	p_i
a₁₁	a₁₂	a₁₃	a_1j	a_1k	l₁	p₁
a₂₁	a₂₂	a₂₃	a_2j	a_2k	l₂	p₂
a₃₁	a₃₂	a₃₃	a_3j	a_3k	l₃	p₃
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
i	a_i1	a_i2	a_i3	a_ij	a_ik	li	p_i
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
n	a_n1	a_n2	a_n3	a_nj	a_nk	l_n	p_n

Уравнение 1.

Коэффициент при τ₁ равен сумме произведений веса с индексом аргумента (измеренной величины) на квадрат коэффициента 1-го столбца (диагональный коэффициент), т.е.

Коэффициент при τ₂ равен сумме произведений веса соответствующего аргумента и коэффициентов 1-го и 2-го столбцов, т.е.

Подобные действия производятся для остальных параметров τ перемножением коэффициентов 1-го столбца и столбца с индексом τ .

Свободный член уравнения 1 равен сумме произведений веса р_i, свободного члена l_i и коэффициента a соответствующего столбца, т.е.

Уравнение 2.

Коэффициент при τ₁ равен сумме произведений веса соответствующего аргумента и коэффициентов 2-го и 1-го столбцов, т.е.

Коэффициент при τ₂ равен сумме произведений веса с индексом аргумента на квадрат коэффициента 2-го столбца (диагональный коэффициент), т.е.

Коэффициент при τ₃ равен сумме произведений веса соответствующего аргумента и коэффициентов 2-го и 3-го столбцов, т.е.

Далее выполняются действия со 2-м столбцом и последующими оставшимися столбцами.

Свободный член уравнения 2 равен сумме произведений веса р_i, свободного члена l_i и коэффициента a соответствующего столбца, т.е.

Вычисление коэффициентов остальных уравнений аналогично. Коэффициенты последнего уравнения с индексом k являются диагональными.

Здесь, как и в коррелатном способе уравнивания, коэффициенты с с противоположными индексами равны друг другу. Следовательно, достаточно определить все диагональные коэффициенты и все коэффициенты, находящиеся справа от диагональных, а остальные записать в уравнениях поправок такими же, как и противоположные им по индексам.

Таким образом, получается система линейных уравнений поправок τ_j:

(14.146)

Из решения системы уравнений (14.146) находят значения неизвестных поправок τ_j к приближенным значениям параметров t_j 0 , определяют поправки ν_i по формулам (14.144) и вычисляют уравненные значения измеренных величин и выбранных параметров T_j (t_j = t_j 0 + τ_j).

Приведем последовательность уравнивания геодезических построений параметрическим способом.

Шаг 1.Определяют число необходимых (k), число избыточных (r) в массиве общего числа n измерений x_i, имеющих веса p_i .

Шаг 2.Осуществляют выбор параметров t_j таким образом, чтобы они не имели между собой никаких математических связей, т.е. были независимыми. Число таких параметров должно быть равно k – числу необходимых измерений. При этом все измеренные величины должны выражаться функционально через выбранные параметры t_j .

Шаг 3.Определяют вид функций значений x_i от аргументов t_j , т.е. вид параметрических уравнений связи (14.135).

Шаг 4.Вычисляют приближенные значения t_j 0 параметров t_j. Часто для этого выполняют предварительные вычисления (обработку) в схемах геодезических построений. Иногда выполняют предварительное уравнивание упрощенными способами, часто способом раздельного уравнивания.

Шаг 5.Вычисляют по формулам (14.141), в общем виде – (14.142) или (14.144), коэффициенты a_ij и свободные члены l_i параметрических уравнений поправок v_i (14.143), т.е. функции (14.135) приводят к линейному виду.

Шаг 6. Составляют таблицу коэффициентов a_ij, свободных членов l_i и весов p_i (табл. 14.15) и с помощью неё получают нормальные уравнения (14.145), из решения которых находят значения поправок τ_j к параметрам t_j o .

Шаг 7. Выражают поправки v_i к измеренным величинам x_i через значения поправок τ_j (14.143) и определяют их значения.

Шаг 8. Bыполняют уравнивание измеренных величин x_i‘ =( x_i + v_i) и параметров t_j =( t_j o + τ_j) и контролируют правильность решения задачи по равенствам (14.135).

Возможны несоблюдения указанных равенств из-за неточного выбора параметров t_j либо их приближённых значений t_j o . Из-за этого могли использоваться такие величины поправок, при которых необходимо было учитывать нелинейность систем уравнений. Несоблюдение равенств может быть также и из-за погрешностей в вычислениях. Поэтому в первую очередь следует выполнить повторные вычисления (контрольные, лучше во вторую руку: т.е. взаимно попросить кого-нибудь из друзей повторить Ваши вычисления, а Вы такие же вычисления повторно сделаете в его задании; поверьте, так будет и быстрее, и надёжнее).

Если уравнивание, при отсутствии погрешностей в вычислениях, не удовлетворяет условиям (14.135), то полученные значения считают их первым приближением, т.е. уточнёнными значениями t_j o , и уравнивают систему вторично.

В качестве рекомендации следует отметить, что предварительные вычисления в уравниваемых построениях лучше выполнять после предварительного, нестрогого уравнивания. Например, в полигонометрическом ходе выполнить уравнивание углов, затем – приращений координат. В цепочке треугольников выполнить предварительное уравнивание углов отдельных треугольников и т.п.

Источник