Уравнивание геодезических измерений коррелатным способом

Уравнивание геодезических измерений коррелатным способом

Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов — один из методов теории ошибок для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки.

Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке геодезических измерени.

Метод наименьших квадратов содержит в себе 2 основных способа: коррелатный и параметрический, которые при строгом уравнивании дают одинаковые результаты. Выбор способа обычно зависит от объема вычислений, определяемого в основном количеством совместно решаемых уравнений, т.е. конфигурацией сети. Коррелатный способ более оптимален для свободных сетей и сетей с небольшим числом исходных пунктов и большим числом определяемых — по-скольку количество уравнений равно числу избыточных измерений. Параметрический способ, наоборот, выгоден для сетей с большим числом исходных и малым числом определяемых, по-скольку количество уравнений будет равно числу необходимых измерений.

Идея коррелатного способа заключается в отыскании поправок к измеренным величинам через вспомогательные неопределенные множители, называемые коррелатами. Сущность уравнивания коррелатным способом состоит в том, что задачу нахождения минимума функции уравнения разложенного по ряду Тейлора решают по способу Лагранжа с определенными коррелатами, в результате чего получают коррелатные уравнения поправок (векторы поправок). Преобразовав уравнения поправок получают нормальные уравнения коррелат, через которые находят вероятнейшие значения поправок.

Параметрический способ подразумевает вычисление поправок не к измеренным величинам, а к каким-то приближенным значениям (параметрам), т.е. к конечным результатам уравнения, которыми в геодезических сетях являются координаты или высоты пунктов, и непосредственное получение вероятнейших значений параметров, минуя вероятнейшее значение измеренных элементов сети.

Метод наименьших квадратов был предложен К. Ф. Гауссом (1794-95) и А. Лежандром (1805-06). Первоначально этот метод использовался для обработки результатов астрономических и геодезических наблюдений. Строгое математическое обоснование и установление границ содержательной применимости метода наименьших квадратов даны А. А. Марковым и А. Н. Колмогоровым. Ныне способ представляет собой один из важнейших разделов математической статистики и широко используется для статистических выводов в различных областях науки и техники.

Источник

§ 153. Примеры коррелатного способа уравнивания

В этом разделе приводятся примеры уравнивания некоторых геодезических построений. Большее внимание уделено таким построениям, как системы полигонометрических ходов – практически единственного вида построений, используемых в подземных выработках. Такие же системы используются и на земной поверхности, наряду с построениями триангуляционных сетей, вставок в угол, геодезических четырехугольников и т.п. В примерах рассматривается алгоритм решения задачи уравнивания для разных вариантов геодезических построений со сравнительно небольшим числом измеренных величин, как это часто имеет место, например, в практике геодезических и маркшейдерских работ на земной поверхности при создании опорных сетей, либо в горных выработках при обработке результатов измере-ний в системах полигонометрических ходов. Уравнивание систем нивелир-ных ходов обычно производится при точных и высокоточных измерениях, например, при наблюдениях за деформациями горных выработок и наземных сооружений, что тоже имеет место и в практике маркшейдерских работ.

153.1. Уравнивание углов в полигоне

В полигоне, состоящем из четырех вершин (рис. 16.7), неравноточно

измерены горизонтальные углы: А = β 1 , В = β 2 , С = β 3 , D = β 4 (табл. 16.6). Выполнить уравнивание углов без учета измерения длин сторон.

Предварительно найдем веса p i и обратные веса q i , приняв s е = [ s 4 i ] ≈ 645 м

(см. табл. 16.6) без учета величин измеренных углов, считая их практически примерно одинаковыми (значения весов определяются по условию возможной погрешности в направлениях из-за центрирования теодолита; для веса угла применяется правило сложения обратных весов направлений):

Источник

Примеры коррелатного способа уравнивания

В этом разделе приводятся примеры уравнивания некоторых геодезических построений. В примерах рассматривается алгоритм решения задачи уравнивания для разных вариантов геодезических построений со сравнительно небольшим числом измеренных величин, как это часто имеет место, например, в практике геодезических и маркшейдерских работ на земной поверхности при создании опорных сетей либо в горных выработках при обработке результатов измерений в системах полигонометрических ходов. Уравнивание систем нивелирных ходов обычно производится при точных и высокоточных измерениях, например, при наблюдениях за деформациями горных выработок и наземных сооружений, что тоже имеет место и в практике геодезических и маркшейдерских работ.

В примерах рассмотрены сравнительно простые схемы геодезических построений, однако принцип расчётов и в сложных системах точно такой же, как и в простых.

137.1. Уравнивание углов в полигоне

В полигоне, состоящем из четырёх вершин (рис. 14.7), неравноточно измерены горизонтальные углы: А = β₁ , В = β₂ , С = β₃ , D = β₄ (табл. 14.4).

Выполнить уравнивание углов без учёта измерения длин сторон.

Предварительно найдем веса p_i и обратные веса q_i, приняв м (см. табл. 14.4) без учёта величин измеренных углов, считая их практически примерно одинаковыми (значения весов определяются по условию возможной погрешности в направлениях из-за центрирования теодолита; для веса угла применяется правило сложения обратных весов направлений):

, (14.91)

где s₁ и s₂ – стороны, образующие данный угол.

Шаг 1. Общее число измеренных величин n = 4, число необходимых измерений k = 3, число избыточных измерений r = 1.

Шаг 2. Составим условное уравнение (условие сумм углов полигона).

Всего одно уравнение, поскольку r = 1.

Шаг 3. Приводим условное уравнение к линейному виду, для чего продифференцируем его и найдем частные производные функции по аргументам β_i . Очевидно, что

Составим матрицу коэффициентов a_ij со строкой обратных весов q_i (таблица 14.5).

Рис. 14.7. Уравнивание углов в полигоне.

Обозначение	Значение угла	Вес pi	Обратный вес qi
β1	80 0 16′ 44,3″	0,221	4,520
β2	91 0 45′ 00,7″	0,459	2,181
β3	69 0 25′ 56,8″	0,473	2,113
β4	118 0 32′ 25,2″	0,225	4,452

Матрица коэффициентов, весов и обратных весов

i→ j↓
+ 1	+ 1	+ 1	+ 1
рi	0,221	0,459	0,473	0,225
qi	4,520	2,181	2,113	4,452

Свободный член уравнения

Шаг 4. Найдём коэффициенты b_jj нормальных уравнений (в данном случае – уравнений коррелат):

, (14.92)

. (14.93)

Для приведенного примера, с учётом значений a_ij и q_i , 13,266 k₁ + 7 = 0, откуда k₁ = — 0,528.

Шаг 5. Составляем условное уравнение поправок

(14.94)

и формулы для вычисления поправок (с вычислением их значений):

Контроль по формуле (14.94): условие выполнено! (проверьте сами). Отступление при округлениях значений поправок на 0,1″ является допустимым.

Вспомните загадку, которая прозвучала в начале этой главы. А если забыли, то возвратитесь к этому началу. Вот оно, что «под конец тонко» — это и есть хвостик решения всей задачи уравнивания: маленькие поправочки в измеренные величины. Ну а что тут было зелено, да посерёдке толсто – это уж понятно из решения данной задачи. Правда, приведенная задача – одна из самых простых. Дальше будет корнеплод посложнее. Но, всему своё время. А сейчас – закончим решение приведенной задачи.

Шаг 6. Вычисляем уравненные значения углов:

β₁ ‘ = 80° 16′ 44,3″ – 2,4″ = 80° 16′ 41,9″; β₂ ‘ = 91° 45′ 00,7″ – 1,1″ = 91° 44′ 59,6″;

β₃ ‘ = 69° 25′ 56,8″ – 1,2″ = 69° 25′ 55,6″; β₄ ‘ = 118° 32′ 25,2″ – 2,4″ = 181° 32′ 22,8″.

Контроль: подстановка уравненных значений углов в уравнение (14.91) – условие выполнено! (проверьте это условие).

Очевидно, что при равноточных измерениях углов для них были бы получены одинаковые поправки, т.е. невязка была бы распределена поровну во все углы.

137.2. Уравнивание системы нивелирных ходов с несколькими узловыми точками

На местности пройдена система нивелирных ходов с четырьмя узловыми точками 1, 2, 3 и 4 (рис. 14.8). В результате измерений образовано 9 секций, превышения в которых по указанному направлению приведены непосредственно на схеме. Указаны также высоты исходных реперов Р10, Р20 и Р30. В табл. 14.6 приведены длины ходов в секциях и значения весов и обратных весов превышений в секциях, вычисленные по формулам:

Рис. 14.8. Схема нивелирных ходов с четырьмя узловыми точками.

№ секции	Превышение h, мм	Длина хода s в секции, км	Вес p пре-вышения	Обратный вес q пре-вышения
+3586	0,84	2,38	0,42
+2841	1,36	1,47	0,68
-752	2,15	0,93	1,08
-1243	0,78	2,56	0,39
+509	2,63	0,76	1,32
+5338	2,05	0,98	1,03
-5863	3,02	0,66	1,51
+4639	3,44	0,58	1,72
-3024	2,38	0,84	1,19

, (14.95)

где

Требуется определить уравненные значения высот узловых точек.

Шаг 1. Общее число измерений n = 9, число необходимых измерений k = 4, число избыточных измерений r = 5.

Шаг 2. Составим r = 5 условных уравнений:

Шаг 3. Приведём условные уравнения к линейному виду, продифференцировав их по аргументам h_i. Получим коэффициенты a_ij условных уравнений поправок:

Составим матрицу коэффициентов a_ij со строкой обратных весов q_i (табл. 14.7).

Матрица коэффициентов и обратных весов

→ i j↓
+1	-1	+1
-1	+1	+1
+1	+1	+1
+1	+1	-1
+1	+1	+1
qi	0,42	0,68	1,08	0,39	1,32	1,03	1,51	1,72	1,19

Вычислим свободные члены (в мм), подставив в уравнения (14.96) измеренные значения h_i в секциях:

Шаг 4. Найдём по формулам (14.88) коэффициенты b_jj нормальных уравнений коррелат:

(14.97)

После подстановки значений a_ij и q_i в уравнения (14.97) получим исходные нормальные уравнения коррелат:

Из решения системы уравнений (14.98) одним из способов получим:

Контроль вычисления коррелат выполняем подстановкой их значений в исходные уравнения (14.98):

1. 2,18 (-2,137) – 1,08 (-11,552) + 0,42 (-1,945) – 7 = + 0,001;

2. -1,08(-2,137) + 2,79(-11,552) + 1,32(+9,606) + 0,39(-1,945) + 18 = -0,001;

3. 1,32(-11,552) + 3,86(+9,606) + 1,51(-3,882) – 16 = — 0,031;

4. 1,51(+9,606) + 4,42(-3,882) + 1,72(-1,945) + 6 = +0,001;

5. 0,42(-2,137) + 0,39(-11,552) + 1,72(-3,882) + 2,53(-1,945) + 17 = -0,001.

Сравнительно большее невыполнение условия мы видим в уравнении 3. Это вызвано погрешностями округлений. При вычислении с большими значащими цифрами этого не наблюдалось бы. При этом результаты вычислений принимаем удовлетворительными, поскольку поправки в измеренные значения превышений для данных условий будут в дальнейшем округляться до 1 мм, а вычисления проведены с большим запасом точности.

Шаг 5. Составляем условные уравнения поправок v_i, пользуясь формулами (14.86) и табл. 14.7:

(14.99)

1. v₁ = 0,42 ∙1∙ (-2,137) + 0,42∙1∙ (-1,945) = — 1,714 = — 2 мм;

2. v₂ = 0,68 ∙ (-1) ∙ (-2,137) = + 1,453 = + 1 мм;

3. v₃ = 1,08 ∙ 1 ∙ (2,137) + 1,08 ∙ (-1) ∙ (-11,552) = +10,168 = + 10 мм;

4. v₄ = 0,39 ∙ 1 ∙ (-11,552) + 0,39 ∙1 ∙ (-1,945) = — 5,264 = — 5 мм;

5. v₅ = 1,32 ∙1∙ (-11,552) + 1,32 ∙ 1 ∙ (+9,606) = — 2,569 = — 3 мм;

6. v₆ = 1,03 ∙1 ∙ (+9,606) = + 9,894 = + 10 мм;

7. v₇ = 1,51 ∙ 1 ∙ (+9,606) + 1,51 ∙1 ∙ (-3,882) = + 8,643 = + 9 мм;

8. v₈ = 1,72 ∙ 1 ∙ (-3,882) + 1,72 ∙ 1 ∙ (-1,945) = — 10,022 = — 10 мм;

9. v₉ = 1,19 ∙ (-1) ∙ (-3,882) = + 4,620 = + 5 мм.

Контроль вычисления поправок можно выполнить по формулам (14.96), подставив в них вместо превышений значения поправок (суммы поправок должны быть равны значениям соответствующих невязок с обратным знаком):

Шаг 6. Вычисляем уравненные значения превышений в секциях и контролируем уравнивание по выполнению условия (14.96):

h₆ ‘= + 5338 + 10 = + 5348 мм;

Подстановка в уравнения (14.96) подтверждает выполнение указанного условия.

Вычисляем уравненные значения высот узловых точек 1, 2 , 3 и 4:

Контроль вычислений здесь можно выполнить вторичным получением высот искомых точек по другим направлениям. Должны получиться те же результаты. Например, H₁ = H_P30 – h₈‘ – h₄‘ = 85,301 – 4,629 + 1,248 = 81,920 м.

137.3. Уравнивание системы полигонометрических ходов с двумя узловыми точками

Уравнивание таких систем полигонометрических ходов аналогично уравниванию как одиночного полигонометрического хода, так и системы полигонометрических ходов с одной узловой точкой. В такой системе (рис. 14.9) образуется три независимых полигонометрических хода [(1), (2), (3)], в которых возникает по три условия: три условия дирекционных углов и шесть условий координат, т.е. получается девять условных уравнений.

Рис. 14.9. Система полигонометрических ходов с двумя узловыми точками.

В табл. 14.8, 14.9 и 14.10 приведены необходимые исходные данные для решения задачи уравнивания, заключающейся в определении уравненных значений координат точек 1, 2, 3, M, N, а также уравненного значения дирекционного угла узловой линии MN. (В данном примере узловые точки M и N образуют и узловую линию).

Часто между узловыми точками прокладывают полигонометрический ход в две и более линии. Тогда понятие узловой линии не будет иметь места. Ею может быть любая линия с началом в какой-либо узловой точке).

Горизонтальные углы измерены равноточно с погрешностью m_β = 2,0″. Расстояния измерены светодальномером с погрешностью, примерно одинаковой для всех линий (m_s = 18 мм = 1,8 см). В соответствии с указанной точностью измерения расстояний и углов веса углов принимаем равными единице (p_β = 1; q_β = 1), а веса расстояний –

Координаты исходных пунктов

Координаты, м	B	C	F	G
Х	7183,652	8137,565	6124,924	7894,521
Y	4380,124	6463,782	4718,048	7173,596

Исходные дирекционные углы

αАВ	71º 08′ 14,3″	α BA	251º 08′ 14,3″
α CD	118º 19′ 14,7″	α DC	298º 19′ 14,7″
α EF	324º 21′ 18,0″	α FE	144º 21′ 18,0″
α GH	159º 58′ 14,2″	α HG	339º 58′ 14,2″

Измеренные горизонтальные углы и расстояния

Обозначение угла	Значение угла	Обозначение расстояния	Значение расстояния, м
β 1	226º 15′ 25″	s 1	475,885
β 2	201º 36′ 36″	s 2	693,027
β 3	85º 02′ 31″	s 3	857,338
β 4	170º 15′ 07″	s 4	401,239
β 5	172º 53′ 18″	s 5	841,215
β 6	271º 07′ 58″	s 6	625,329
β 7	280º 34′ 07″	s 7	573,421
β 8	84º 46′ 52″	s 8	989,716
β 9	337º 03′ 44″
β 10	178º 54 26″
β 11	78º 21 28″

Выполним предварительные вычисления в полигонометрических ходах (1), (2) и (3), т.е. определим координаты точек ходов, используя только измеренные величины (табл. 14.11).

Шаг 1. Общее число измерений n = 19 (11 углов и 8 расстояний), число необходимых измерений k = 10, число избыточных измерений r = 9.

№№ точек	Гориз.углы β	Дирекц.углы α	Рассто-яния s , м	Приращения координат, м	Координаты, м	№№ точек
Δх	Δу	Х	Y
A	Ход (1)
71°08’14,3″
B	226°15’25»	7183,652	4380,124	B
117°23’39,3″	475,885	-218,960	+422,520
201°36’36»	6964,692	4802,644
139°00’15,3″	693,027	-523,068	+454,628
M	280°34’07»	6441,624	5257,272	M
239°34’22,3″	625,329	-316,693	-539,205
F	84°46’52»	6124,931 6124,924 +0,7 см	4718,067 4718,048 +1,9 см	F o FИСХ
144°21’14,3″ 144°21’18,0″ -3,7″
E
Ход (2)
A
71°08’14,3″
B	226°15’25»	7183,652	4380,124	B
117°23’39,3″	475,885	-218,960	+422,520
201°36’36»	6964,692	4802,644	1
139°00’15,3″	693,027	-523,068	+454,628
M	85°02’31»	6441,624	5257,272	M
44°02’46,3″	857,338	+616,237	+596,054
N	170°15’07»	7057,861	5853,326	N
34°17’53,3″	401,239	+331,470	+226,098
172°53’18»	7389,331	6079,424
27°11’11,3″	841,215	+748,281	+384,341
C	271°07’58»	8137,612 8137,565	6463,765 6463,782	C o СИСХ
118°19’09,3″ 118°19’14,7″ -5,4″
D	+4,7 см	-1,7 см
Ход (3)
H
339°58’14,2″
G	78°21’28»	7894,521	7173,596	G
238°19’42,2″	573,421	-301,075	-488,022
178°54’26»	7593,446	6685,574
237°14’08,2″	989,716	-535,620	-832,255
N	337°03’44»	7057,826	5853,320	N
34°17’52,2″	401,239	+331,471	+226,096
172°53’18»	7389,297	6079,415
27°11’10,2″	841,215	+748,283	+384,337
C	271°07’58»	8137,580 8137,565	6463,752 6463,782	C o СИСХ
118°19’08,2″ 118°19’14,7″ -6,5″
D	+1,5 см	-3,0 см

Шаг 2. Составление условных уравнений.

Для трёх независимых ходов, будем иметь три условных уравнения для дирекционных углов и шесть условных уравнений для координат ( три – для абсцисс, три – для ординат).

1.

2.

3.

4.

5. (14.100)

6.

7.

8.

9.

В уравнениях (14.100) индексы (1), (2) и (3) относятся к соответствующим ходам (см. табл. 14.11), например, n₍₁₎ = 4, n₍₂₎ = 6, n₍₃₎ = 5.

Приведём условные уравнения к линейному виду по правилам, изложенным выше. В полученные выражения введём знак гауссовых сумм.

1.

2.

3.

4.

5. (14.101)

6.

7.

8.

9.

В уравнениях (14.101) значения координат берут в километрах, а значение ρ = 206265″ уменьшают на 100000.

Вычислим значения невязок в уравнениях (14.101) с учётом данных измерений и предварительных вычислений:

где T_i o – результат вычисления исходной величины T_i(исх).

W₁ = 144º 21′ 14,3″ – 144º 21′ 18,0″ = — 3,7″ ;

W₂ = 118º 19′ 09,3″ – 118º 19′ 14,7″ = — 5,4″ ;

W₃ = 118º 19′ 08,2″ – 118º 19′ 14,7″ = — 6,5″ ;

W₄ = 6124,931 – 6124,924 = +0,007 м = + 0,7 см;

W₅ = 4718,067 – 4718,048 = + 0,019 м = + 1,9 см;

W₆ = 8137,612 – 8137,565 = + 0,047м = + 4,7 см;

W₇ = 6463,765 – 6463,782 = — 0,017 м = — 1,7 см;

W₈ = 8137,580 – 8137,565 = + 0,015 м = + 1,5 см;

W₉ = 6463,752 – 6463,782 = — 0,030 м = — 3.0 см .

По данным табл. 14.11 составим табл. 14.12 значений синусов и косинусов дирекционных углов и разностей абсцисс и ординат. Получим окончательные условные уравнения поправок:

Значения синусов и косинусов дирекционных углов, значения разностей координат

№№ точек	Sin αi	Cos αi	(хn 0 -xi 0 ), км	(yn 0 -yi 0 ), км
Ход 1
В	(В-1) 0,8879	-0,4601	-1,0587	0,3379
(1-М) 0,6560	-0,7548	-0,8398	-0,0846
М	(M-F) -0,8623	-0,5064	-0,3167	-0,5392
F
Ход 2
В	(В-1) 0,8879	-0,4601	0,9540	2,0836
(1-М) 0,6560	-0,7548	1,1729	1,6611
М	(M-N) 0,6952	0,7188	1,6960	1,2065
N	(N-2) 0,5635	0,8261	1,0798	0,6104
(2-C) 0,4569	0,8895	0,7483	0,3843
C
Ход 3
G	(G-3)-0,8511	-0,5250	0,2431	-0,7098
(3-N)-0,8409	-0,5412	0,5441	-0,2218
N	(N-2)0,5635	0,8261	1,0798	0,6104
(2-C)0,4569	0,8895	0,7483	0,3843
C

Составим матрицу коэффициентов a_ij и обратных весов q_i , необходимую для определения коэффициентов нормальных уравнений коррелат (табл. 14.13).

Матрица коэффициентов и обратных весов

i→ j↓	β1	β2	β3	β4	β5	β6	β7	β8	β9
-0,1638	0,0410	0,2614
-0,5133	-0,4071	-0,1535
-1,0102	-0,8053	-0,5849	-0,2959	-0,1863
0,4625	0,5686	0,8222	0,5235	0,3628
-0,1863	-0,2959
0,3628	0,5235
qi

(продолжение табл. 14.13)

β10	β11	s1	s2	s3	s4	s5	s6	s7	s8
-0,4601	-0,7548	-0,5064
0,8879	0,6560	-0,8623
-0,4601	-0,7548	0,7188	0,8261	0,8895
0,8879	0,6560	0,6952	0,5635	0,4569
0,1076	0,3441	0,8261	0,8895	-0,5250	-0,5412
0,2638	0,1178	0,5635	0,4569	-0,8511	-0,8409
0,810	0,810	0,810	0,810	0,810	0,810	0,810	0,810

Шаг 4. Составление нормальных уравнений коррелат.

Источник