iSopromat.ru
Рассмотрим три существующих способа задания движения материальной точки: координатный, векторный и естественный.
Чтобы иметь возможность определить параметры движения точки необходимо задать закон ее движения.
В зависимости от известных величин и поставленной задачи могут быть использованы следующие способы задания движения точки: векторный, координатный и естественный.
Векторный
При векторном способе задания движения положение точки определяется радиус-вектором, проведенным из неподвижной точки в выбранной системе отсчета.
Координатный
При координатном способе задания движения задаются координаты точки как функции времени:
Это параметрические уравнения траектории движущейся точки, в которых роль параметра играет время t. Чтобы записать ее уравнение в явной форме, надо исключить из них t.
Естественный
При естественном способе задания движения задаются траектория точки, начало отсчета на траектории с указанием положительного направления отсчета, закон изменения дуговой координаты: s=s(t). Этим способом удобно пользоваться, если траектория точки заранее известна.
Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах
Источник
Способы задания движения точки
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
Для задания движения точки можно применять один из следующих трех способов: 1) векторный, 2) координатный, 3) естественный.
1. Векторный способ задания движения точки. Пусть точка М движется по отношению к некоторой системе отсчета Oxyz. Положение этой точки в любой момент можно определить, задав ее радиус-вектор 
, проведенный из начала координат О в точку М (рис. 1).
При движении точки М вектор будет с течением времени изменяться и по модулю, и по направлению. Следовательно, является переменным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргумента t:
Равенство (1) и определяет закон движения точки в векторной форме, так как оно позволяет в любой момент времени построить соответствующий вектор и найти положение движущейся точки.
Геометрическое место концов вектора , т. е. годограф этого вектора, определяет траекторию движущейся точки.
Аналитически, как известно, вектор задается его проекциями на координатные оси. В прямоугольных декартовых координатах для вектора будет: rx=x, ry=y, rz=z (см. рис. 1), где х, у, z — декартовы координаты точки. Тогда, если ввести единичные векторы (орты) 
, 
, 
координатных осей, получим для выражение
Следовательно, зависимость (2) от t будет известна, если будут заданы координаты х, у, z точки как функции времени. Такой способ задания движения точки (координатный) рассмотрим ниже. Вектор может быть задан, как известно, и иными способами, например его модулем и углами с осями или проекциями на оси других систем координат. Для получения общих формул, не зависящих от того, как конкретно задан вектор , будем исходить из векторного закона движения, представленного равенством (2).
2. Координатный способ задания движения точки. Положение точки можно непосредственно определять ее декартовыми координатами х, у, z, которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон движения точки, т. е. ее положение в пространстве в любой момент времени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т. е. знать зависимости
Уравнения (3) представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения. Если движение точки происходит все время в одной и той же плоскости, то, приняв эту плоскость за плоскость Оху, получим в этом случае два уравнения движения:
Наконец, при прямолинейном движении точки, если вдоль ее траектории направить координатную ось Ох, движение будет определяться одним уравнением (законом прямолинейного движения точки)
Уравнения (3) и (4) представляют собой одновременно уравнения траектории точки в параметрической форме, где роль параметра играет время t. Исключив из уравнений движения время t, можно найти уравнение траектории в обычной форме, т. е. в виде, дающем зависимость между координатами точки.
Пример. Пусть движение точки в плоскости Оху дано уравнениями:
где х, у выражены в сантиметрах; t— в секундах.
По этим уравнениям можно найти, что в момент времени t = 0 точка находится в положении М0 (0, 0), т. е. в начале координат, в момент t = lc — в положении M1 (2,12) и т д. Таким образом, уравнения (а) действительно определяют положение точки в любой момент времени. Давая t разные значения и изображая соответствующие положения точки на рисунке, можем построить ее траекторию.
Другим путем траекторию можно найти, исключив t из уравнении (а). Из первого уравнения находим t = x/2 и, подставляя это значение t во второе уравнение, получаем y = x 2 . Следовательно, траекторией точки является парабола с вершиной в начале координат и осью, параллельной оси Оу. Другие примеры определения траектории точки будут рассмотрены на практических занятиях.
3. Естественный способ задания движения точки. Естественным (или траекторным) способом задания движения удобно пользоваться в тех случаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Пусть кривая АВ является траекторией точки М при ее движении относительно системы отсчета Oxyz (рис. 2). Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку О’, которую примем за начало отсчета, и установим на траектории положительное и отрицательное направления отсчета (как на координатной оси). Тогда положение точки М на траектории будет однозначно определяться криволинейной координатой s, которая равна расстоянию от точки О’ до точки М, измеренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком. При движении точка М перемещается в положения Ml, М2,. . ., следовательно, расстояние s будет с течением времени изменяться. Чтобы знать положение точки М на траектории в любой момент времени, надо знать зависимость
Уравнение (6) и выражает закон движения точки М вдоль траектории.
Таким образом, чтобы задать движение точки естественным способом, надо задать: 1) траекторию точки; 2) начало отсчета на траектории с указанием положительного и отрицательного направлений отсчета; 3) закон движения точки вдоль траектории в виде s = f(t).
Заметим, что величина s в уравнении (6) определяет положение движущейся точки, а не пройденный ею путь. Например, если точка, двигаясь из начала О’, доходит до положения М1 (рис. 2), а затем, перемещаясь в обратном направлении, приходит в положение М, то в этот момент ее координата s = O’M, а пройденный за время движения путь будет равен O’M1 + M1M, т. е. не равен s.
Источник
iSopromat.ru
При координатном способе задания движения точки в выбранной системе координат задаются координаты движущейся точки как функции от времени.
В прямоугольной декартовой системе координат это будут уравнения:
Эти уравнения являются и уравнениями траектории в параметрической форме. Исключая из этих уравнений параметр t, можно получить три пары систем двух уравнений, каждая из которых представляет траекторию точки, как пересечение поверхностей.
Кроме декартовых могут быть использованы другие системы координат (сферическая, цилиндрическая). Всегда можно перейти от координатного способа задания движения к векторному (рисунок 1.3):
Поэтому, используя формулы для определения скорости и ускорения точки при векторном способе задания движения, можно получить аналогичные формулы для координатного способа:
Направление вектора скорости определяется с помощью направляющих косинусов:
Формулы (1.6) и (1.7) полностью определяют вектор скорости при координатном способе задания движения точки, т.е. по величине и направлению.
Аналогичны формулы для определения ускорения точки:
Формулы (1.8) определяют величину и направление вектора ускорения. В формулах (1.6) и (1.8) приведены используемые в различных учебниках обозначения проекций скоростей и ускорений точек на оси декартовой системы координат.
Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах
Источник
Способы задания движения точки
Чтобы задать движение точки, надо задать ее положение по отношению к выбранной системе отсчета в любой момент времени. Для этого задания можно применять один из трех способов: естественный, координатный, векторный.
1. Естественный способ задания движения точки
Естественным способом задания движения пользуются в тех случаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Непрерывная линия, которую описывает движущаяся точка относительно данной системы отсчета, называется траекторией точки. Если траектория является прямой линией, то движение точки называется прямолинейным, а если кривой линией – то криволинейным.
Пусть точка 
движется относительно системы отсчета вдоль некоторой траектории 
(рис. 40). Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку 
, которую примем за начало отсчета, а затем, рассматривая траекторию как координатную ось, установим на ней положительное и отрицательное направление, как на обычной координатной оси.
Тогда положение точки 
на траектории будет однозначно определяться криволинейной координатой 
, равной расстоянию от точки 
до точки 
, измеренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком. При движении точка 
будет перемещаться вдоль траектории, следовательно, расстояние 
будет с течением времени изменяться. Чтобы определить положение точки на траектории в любой момент времени, надо знать зависимость вида:
. (13)
Это уравнение выражает закон движения точки. Таким образом, чтобы задать движение точки естественным способом, необходимо знать:
1. Траекторию движения точки;
2. Начало отсчета на траектории с указанием положительного и отрицательного направлений отсчета;
3. Закон движения точки вдоль траектории 
.
Следует отметить, что величина 
определяет положение точки, а не пройденный ей путь. Например, если точка, двигаясь из начала отсчета
, доходит до положения 
, а затем, двигаясь в обратном направлении, приходит в положение 
, то в этот момент ее координата 
, а пройденный за это время путь будет равен
.
2.Координатный способ задания движения точки
В этом случае положение движущейся точки в пространстве определяют тремя ее декартовыми координатами относительно выбранной неподвижной прямоугольной системы (рис. 41). При движении точки эти координаты являются однозначными и непрерывными функциями времени, т.е. уравнения движения получают в виде
, 
,
.(14)
При координатном способе задания движения точки траектория в непосредственном виде не дается, но может быть получена из уравнений движения. Исключая из уравнений движения время, получаем два соотношения между координатами 
, которые определяют линию, описываемую в пространстве движущейся точкой, т.е. ее траекторию.
Если движущаяся точка остается за все время движения в одной и той же плоскости, то, приняв эту плоскость за координатную 
, получаем два уравнения движения
,
.
Уравнения движения точки в координатной форме представляют собой уравнение траектории в параметрической форме, где за независимый параметр принято время. Исключая его из уравнений движения, получаем уравнение траектории.
При движении точки в плоскости можно пользоваться не только декартовыми координатами. В этом случае можно ввести в рассмотрение полярные координаты (рис. 42).
Положение точки в этом случае будут определять полярными координатами 
и
, т.е. уравнения движения точки вполярных координатах имеют вид 
.
Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.
Источник
